QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (10 questions)

Question 1

1. Si $P(B)>0$ , comment exprime-t-on la probabilité de A sachant B ?

P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

P_B(A)=\frac{P(A\cup B)}{P(B)}

P_B(A)=P(A)\times P(B)

P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Explication

La probabilité conditionnelle de A sachant B est le rapport entre la probabilité de leur intersection et celle de B. Le rapport avec $P(A)$ au dénominateur correspondrait à la probabilité de B sachant A.

Answer

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Question 2

2. Lorsqu'A et B ont des probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer $P(A\cap B)$ à partir de probabilités conditionnelles ?

P(A\cap B)=\frac{P_B(A)}{P(B)}=\frac{P_A(B)}{P(A)}

P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)=P(A)\times P_A(B)

P(A\cap B)=P(B)+P_B(A)=P(A)+P_A(B)

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\times P_A(B)

Explication

L’intersection s’obtient en multipliant la probabilité de l’événement conditionnant par la probabilité conditionnelle correspondante. Additionner ces probabilités ne donne pas, en général, la probabilité de l’intersection.

Answer

$$P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A)=P(A)\times P_A(B)$$

Question 3

3. Dans quelle situation un arbre de probabilités est-il particulièrement adapté ?

Pour classer des événements selon leur probabilité sans représenter leur succession ni leurs liens conditionnels

Pour décrire une partition sans associer de probabilités aux événements qui la composent

Pour représenter une expérience aléatoire décomposée en plusieurs épreuves ou faisant intervenir des probabilités conditionnelles

Pour représenter une expérience dont les résultats sont nécessairement équiprobables et issus d’une seule épreuve

Explication

Un arbre représente une situation aléatoire à plusieurs étapes ou comportant des probabilités conditionnelles. Un classement des événements par probabilité ne montre pas les étapes ni les dépendances de l’expérience.

Answer

Pour représenter une expérience aléatoire décomposée en plusieurs épreuves ou faisant intervenir des probabilités conditionnelles

Question 4

4. Dans un arbre de probabilités, que portent respectivement les branches du premier niveau et celles du dernier niveau ?

Les probabilités des chemins complets, puis les probabilités des événements correspondants

Les probabilités conditionnelles, puis les probabilités des événements correspondants

Les probabilités des événements correspondants, puis les probabilités conditionnelles

Les probabilités des événements correspondants, puis les probabilités des chemins complets

Explication

Les branches du premier niveau portent les probabilités des événements correspondants, tandis que celles du dernier niveau portent des probabilités conditionnelles. Inverser ces rôles confond les probabilités initiales avec celles calculées sachant un événement précédent.

Answer

Les probabilités des événements correspondants, puis les probabilités conditionnelles

Question 5

5. À un nœud d’un arbre, les probabilités des différentes branches qui en partent ont une somme égale à quelle valeur ?

La probabilité du nœud précédent

La probabilité du chemin qui mène à ce nœud

1

0

Explication

Les branches issues d’un même nœud décrivent les possibilités qui se partagent la situation à cette étape, et leurs probabilités totalisent $1$ . La probabilité du chemin menant au nœud concerne l’arrivée à ce nœud, pas la somme des branches qui en partent.

Answer

En multipliant les probabilités des branches qui composent le chemin

Answer

Les événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $$\Omega$$

Answer

$$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)$$

Answer

70 % sont vaccinés ; 5 % des vaccinés et 60 % des non-vaccinés sont malades.

Answer

$$0,215$$, soit 21,5 %, en pondérant les deux taux de maladie par la taille de chaque groupe.

Question 6

6. Dans un arbre, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin complet ?

En additionnant les probabilités des branches qui composent le chemin

En prenant la plus petite probabilité parmi les branches du chemin

En divisant la probabilité de la dernière branche par celle de la première

En multipliant les probabilités des branches qui composent le chemin

Explication

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches successives. Leur somme décrit une autre opération et ne fournit pas la probabilité conjointe du chemin.

Question 7

7. Quelle condition caractérise une partition de $\Omega$ formée par $A_1,\ldots,A_n$ ?

Les événements sont deux à deux incompatibles et leur intersection est

\Omega

Les événements sont deux à deux compatibles et leur intersection est

\Omega

Les événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est

\Omega

Les événements ont tous la même probabilité et leur réunion est

\Omega

Explication

Une partition couvre tout $\Omega$ et ses événements sont deux à deux incompatibles. Une réunion égale à $\Omega$ sans incompatibilité ne suffit pas à former une partition.

Question 8

8. Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles ?

P(B)=\prod_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B)\times P_{A_i}(B)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)+P_{A_i}(B)

Explication

La formule des probabilités totales additionne, pour chaque événement de la partition, le produit de sa probabilité par la probabilité de B sachant cet événement. Le produit des termes ne convient pas, car les contributions des différentes parties de la partition doivent être additionnées.

Question 9

9. Dans un exemple de vaccination, quelles proportions sont données pour les habitants vaccinés et les personnes malades dans chaque groupe ?

60 % sont vaccinés ; 5 % des vaccinés et 70 % des non-vaccinés sont malades.

70 % sont vaccinés ; 5 % des vaccinés et 60 % des non-vaccinés sont malades.

5 % sont vaccinés ; 70 % des vaccinés et 60 % des non-vaccinés sont malades.

70 % sont vaccinés ; 60 % des vaccinés et 5 % des non-vaccinés sont malades.

Explication

L’exemple indique que 70 % des habitants sont vaccinés, avec une proportion de malades de 5 % parmi eux et de 60 % parmi les non-vaccinés. Une inversion des taux de maladie entre les deux groupes modifierait les données de départ.

Question 10

10. En utilisant les proportions de vaccination et de maladie de l’exemple, quelle est la probabilité qu’un habitant choisi au hasard soit malade ?

0,305

, soit 30,5 %, en additionnant les deux taux de maladie sans tenir compte des groupes.

0,050

, soit 5 %, en utilisant le taux de maladie des vaccinés pour toute la population.

0,215

, soit 21,5 %, en pondérant les deux taux de maladie par la taille de chaque groupe.

0,365

, soit 36,5 %, en appliquant le taux de maladie des non-vaccinés à toute la population.

Explication

La probabilité totale se calcule en pondérant chaque taux de maladie par la proportion correspondante : $0,7\times0,05+0,3\times0,6=0,215$ . Additionner les deux taux sans pondération ne tient pas compte du fait que les groupes n’ont pas la même taille.

QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si $P(B)>0$ , comment exprime-t-on la probabilité de A sachant B ?

2. Lorsqu'A et B ont des probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer $P(A\cap B)$ à partir de probabilités conditionnelles ?

3. Dans quelle situation un arbre de probabilités est-il particulièrement adapté ?

4. Dans un arbre de probabilités, que portent respectivement les branches du premier niveau et celles du dernier niveau ?

5. À un nœud d’un arbre, les probabilités des différentes branches qui en partent ont une somme égale à quelle valeur ?

6. Dans un arbre, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin complet ?

7. Quelle condition caractérise une partition de $\Omega$ formée par $A_1,\ldots,A_n$ ?

8. Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles ?

9. Dans un exemple de vaccination, quelles proportions sont données pour les habitants vaccinés et les personnes malades dans chaque groupe ?

10. En utilisant les proportions de vaccination et de maladie de l’exemple, quelle est la probabilité qu’un habitant choisi au hasard soit malade ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si P(B)>0P(B)>0P(B)>0, comment exprime-t-on la probabilité de A sachant B ?

2. Lorsqu'A et B ont des probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer P(A∩B)P(A\cap B)P(A∩B) à partir de probabilités conditionnelles ?

3. Dans quelle situation un arbre de probabilités est-il particulièrement adapté ?

4. Dans un arbre de probabilités, que portent respectivement les branches du premier niveau et celles du dernier niveau ?

5. À un nœud d’un arbre, les probabilités des différentes branches qui en partent ont une somme égale à quelle valeur ?

6. Dans un arbre, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin complet ?

7. Quelle condition caractérise une partition de Ω\OmegaΩ formée par A1,…,AnA_1,\ldots,A_nA1​,…,An​ ?

8. Si A1,…,AnA_1,\ldots,A_nA1​,…,An​ forment une partition de Ω\OmegaΩ, quelle expression donne P(B)P(B)P(B) à partir des probabilités conditionnelles ?

9. Dans un exemple de vaccination, quelles proportions sont données pour les habitants vaccinés et les personnes malades dans chaque groupe ?

10. En utilisant les proportions de vaccination et de maladie de l’exemple, quelle est la probabilité qu’un habitant choisi au hasard soit malade ?

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2. Lorsqu'A et B ont des probabilités non nulles, quelle relation permet de calculer $P(A\cap B)$ à partir de probabilités conditionnelles ?

7. Quelle condition caractérise une partition de $\Omega$ formée par $A_1,\ldots,A_n$ ?

8. Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de $\Omega$ , quelle expression donne $P(B)$ à partir des probabilités conditionnelles ?