QCM : Étude des fonctions (24 questions)

Question 1

1. Que représente le domaine de définition d’une fonction ?

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est positive

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe

L’ensemble des valeurs de f(x) atteintes par la fonction

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) vaut zéro

Explication

Le domaine regroupe les valeurs de x pour lesquelles l’expression f(x) est définie. L’ensemble des valeurs prises par f(x) correspond plutôt à l’image de la fonction.

Answer

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe

Question 2

2. Quel ensemble de conditions permet de déterminer le domaine d’une expression comportant un dénominateur, une racine carrée et un logarithme ?

Le dénominateur est non nul, le radicande est positif ou nul et l’argument du logarithme est strictement positif

Le dénominateur est positif ou nul, le radicande est positif ou nul et l’argument du logarithme est strictement positif

Le dénominateur est positif, le radicande est strictement positif et l’argument du logarithme est non nul

Le dénominateur est non nul, le radicande est strictement positif et l’argument du logarithme est positif ou nul

Explication

Ces conditions garantissent que la division, la racine carrée et le logarithme sont définis. En particulier, le radicande peut être nul, contrairement à l’argument du logarithme.

Answer

Le dénominateur est non nul, le radicande est positif ou nul et l’argument du logarithme est strictement positif

Question 3

3. Que décrit la limite de f(x) lorsque x se rapproche d’une valeur ou tend vers l’infini ?

Le comportement de f(x), qui peut tendre vers une valeur réelle, devenir infinie ou ne pas avoir de limite

Le domaine de f, qui indique si la fonction est croissante ou décroissante

L’ensemble des valeurs prises par f(x), qui exclut les comportements à l’infini

La valeur exacte de f(x) au point considéré, qui peut être réelle ou infinie

Explication

Une limite décrit le comportement de la fonction lorsque x s’approche d’une valeur ou s’éloigne vers l’infini, et elle peut être réelle, infinie ou inexistante. La valeur de f au point n’est pas nécessairement égale à sa limite.

Answer

Le comportement de f(x), qui peut tendre vers une valeur réelle, devenir infinie ou ne pas avoir de limite

Question 4

4. Lorsque x tend vers $-\infty$ , que vaut la limite de $x^n$ si n est un entier impair positif ?

-\infty

0

Elle n’existe pas

+\infty

Explication

Une puissance impaire conserve le signe négatif lorsque x tend vers $-\infty$ , donc $x^n$ tend vers $-\infty$ . Pour une puissance paire, la limite serait plutôt $+\infty$ .

Answer

$$-\infty$$

Question 5

5. Une fraction rationnelle a un numérateur de degré 3 et un dénominateur de degré 3. Comment déterminer sa limite à l’infini ?

Conclure que la limite est infinie puisque le numérateur contient un terme cubique

Prendre le quotient des coefficients des termes de plus haut degré

Étudier uniquement le signe du terme dominant du dénominateur

Conclure que la limite vaut zéro puisque les degrés sont égaux

Explication

Lorsque les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux, la limite à l’infini est le quotient de leurs coefficients dominants. Une limite nulle correspond au cas où le degré du numérateur est inférieur.

Answer

Prendre le quotient des coefficients des termes de plus haut degré

Question 6

6. Après substitution directe dans une expression, on obtient $\frac{0}{0}$ . Quelle conclusion convient ?

La limite vaut zéro, car le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro

La limite n’existe pas, car une fraction ne peut pas avoir cette forme

La limite est infinie, car le dénominateur tend vers zéro

C’est une forme indéterminée qui exige de transformer l’expression avant de conclure

Explication

La forme $\frac{0}{0}$ ne détermine pas à elle seule la limite et impose de transformer l’expression, par exemple en factorisant. Conclure directement que la limite vaut zéro confond la forme obtenue avec la valeur de la limite.

Answer

C’est une forme indéterminée qui exige de transformer l’expression avant de conclure

Question 7

7. À quelle condition la droite $x=a$ est-elle une asymptote verticale de f ?

Si f(x) tend vers

+\infty

ou

-\infty

lorsque x tend vers a par au moins un côté

Si f(x) tend vers zéro lorsque x tend vers

+\infty

ou

-\infty

Si la fonction est définie en a et y possède une dérivée non nulle

Si f(x) tend vers une valeur réelle lorsque x tend vers a des deux côtés

Explication

La droite $x=a$ est une asymptote verticale si au moins une limite latérale de f(x) en a est infinie. Une limite réelle en a ne remplit pas ce critère.

Answer

Si f(x) tend vers $$+\infty$$ ou $$-\infty$$ lorsque x tend vers a par au moins un côté

Question 8

8. La fonction f vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale ?

y=4

x=4

y=x+4

y=0

Explication

Une limite finie de f(x) lorsque x tend vers $-\infty$ donne une asymptote horizontale de la forme $y=\ell$ ; ici, $\ell=4$ . La droite $x=4$ est verticale et ne décrit pas cette limite.

Answer

La différence $$f(x)-(ax+b)$$ tend vers zéro à l’un des infinis

Answer

Qu’au moins une limite latérale de f en a est infinie

Answer

Comme la limite finie du taux d’accroissement de f entre a et a+h lorsque h tend vers 0

Answer

$$2x(x+2)+(x^2+1)$$

Answer

La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle

Answer

Un minimum local

Answer

La limite de f(x) lorsque x tend vers a existe et vaut f(a)

Answer

La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n’implique pas la dérivabilité

Answer

Il existe au moins un x dans [a;b] tel que f(x)=k

Answer

Elle possède exactement un zéro dans [a;b]

Answer

Elle teste successivement des valeurs de x afin d’encadrer une solution grâce à un changement de signe de f(x)

Answer

Le TVI établit l’existence d’une solution, tandis que le balayage en fournit un encadrement numérique sans garantir à lui seul l’unicité

Answer

Étudier $$f(x)-(ax+b)$$ : un signe positif indique que la courbe est au-dessus, un signe négatif qu’elle est en dessous, et un zéro une intersection.

Answer

Sur $$]0;2[$$, car $$x(x-2)$$ y est négatif.

Answer

Déterminer le domaine, calculer les limites et les asymptotes, étudier la dérivée et les variations, résoudre les équations demandées, puis examiner continuité et position relative si nécessaire.

Answer

Non, car elle n’est pas continue sur tout l’intervalle, condition requise pour appliquer le TVI.

Question 9

9. Quelle condition caractérise la droite $y=ax+b$ comme asymptote oblique à une courbe ?

La différence

f(x)-(ax+b)

devient infinie à l’un des infinis

La différence

f(x)-(ax+b)

tend vers zéro à l’un des infinis

La fonction f(x) tend vers b lorsque x tend vers a

Le quotient de f(x) par

ax+b

tend vers zéro près de b

Explication

Une asymptote oblique est caractérisée par une différence entre la fonction et la droite qui tend vers zéro lorsque x tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ . Une différence qui devient infinie indique que la courbe ne se rapproche pas de cette droite selon ce critère.

Question 10

10. Une valeur a est interdite dans le domaine de f. Que faut-il vérifier avant d’affirmer que $x=a$ est une asymptote verticale ?

Que f possède une limite horizontale lorsque x tend vers l’infini

Que le numérateur de f s’annule en a

Que les limites latérales de f en a sont égales et finies

Qu’au moins une limite latérale de f en a est infinie

Explication

Une valeur interdite ne suffit pas à établir une asymptote verticale : il faut qu’au moins une limite latérale soit infinie. L’interdiction peut aussi correspondre à une discontinuité sans asymptote verticale.

Question 11

11. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a lorsqu’il existe ?

Comme la valeur de f(a) divisée par a, lorsqu'a est non nul

Comme la limite finie du taux d’accroissement de f entre a et a+h lorsque h tend vers 0

Comme le taux d’accroissement de f entre a et a+h pour une valeur fixée de h

Comme la limite de f(a+h) lorsque h tend vers 0, sans la comparer à f(a)

Explication

Le nombre dérivé est la limite finie de $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsque h tend vers 0. La limite de f(a+h) seule ne mesure pas le taux d’accroissement autour de a.

Question 12

12. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

\frac{2x(x+2)-(x^2+1)}{(x+2)^2}

2x+(x+2)

2x(x+2)+(x^2+1)

2x(x+2)-(x^2+1)

Explication

La dérivée d’un produit est $u'v+uv'$ ; ici, cela donne $2x(x+2)+(x^2+1)$ . La soustraction et le dénominateur au carré correspondent à la règle du quotient, pas à celle du produit.

Question 13

13. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative partout ?

La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle

La fonction présente un maximum local en chaque point

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle

La fonction est constante sur cet intervalle

Explication

Une dérivée strictement négative sur un intervalle indique que la fonction y est strictement décroissante. Une dérivée positive, contrairement à une dérivée négative, indique une croissance.

Question 14

14. En un point critique a, la dérivée passe de valeurs négatives à des valeurs positives : quel type d’extremum cela indique-t-il ?

Un maximum local

Un minimum local

Un point d’inflexion nécessairement

Aucun extremum local, puisque la dérivée s’annule

Explication

Le passage de f′ de − à + indique que la fonction cesse de décroître et commence à croître, ce qui caractérise un minimum local. Un passage de + à − correspond plutôt à un maximum local.

Question 15

15. Quelle condition caractérise la continuité de f en a ?

La limite de f(x) lorsque x tend vers a existe et vaut f(a)

La limite de f(x) lorsque x tend vers a existe, quelle que soit sa valeur par rapport à f(a)

La dérivée de f en a existe et vaut f(a)

La fonction est définie en a et prend la même valeur de part et d’autre de a

Explication

La continuité en a exige que la limite de f(x) en a existe et soit égale à f(a). L’existence d’une dérivée est une condition plus forte, et non la définition de la continuité.

Question 16

16. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre continuité et dérivabilité en un point ?

La continuité et la dérivabilité sont deux propriétés équivalentes

La continuité implique la dérivabilité, mais la dérivabilité n’implique pas la continuité

La dérivabilité implique une continuité seulement si la fonction est polynomiale

La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n’implique pas la dérivabilité

Explication

Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais une fonction continue peut ne pas y être dérivable, comme la valeur absolue en 0. La continuité seule ne suffit donc pas à garantir la dérivabilité.

Question 17

17. Une fonction continue sur [a;b] vérifie f(a)=2 et f(b)=7. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une valeur k comprise entre 2 et 7 ?

Il existe au moins un x dans [a;b] tel que f(x)=k

La fonction est strictement croissante sur [a;b]

Il existe exactement un x dans [a;b] tel que f(x)=k

La dérivée de la fonction s’annule en un point où f(x)=k

Explication

Une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre ses valeurs aux extrémités, donc k est atteinte au moins une fois. L’unicité ne découle pas de la continuité seule.

Question 18

18. Une fonction continue sur [a;b] prend des valeurs de signes opposés aux deux extrémités et est strictement monotone sur l’intervalle. Que peut-on conclure sur ses zéros ?

Elle ne possède aucun zéro, car ses valeurs aux extrémités sont différentes

Elle possède au moins un zéro, sans que son unicité puisse être établie

Elle possède exactement un zéro dans [a;b]

Elle possède exactement deux zéros, un près de chaque extrémité

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’un zéro, et la stricte monotonie garantit qu’il ne peut y en avoir qu’un. Le TVI seul établit l’existence, mais pas l’unicité.

Question 19

19. Comment fonctionne la méthode du balayage pour rechercher une solution de f(x)=0 ?

Elle choisit une valeur initiale puis applique une formule algébrique donnant exactement une solution

Elle vérifie la continuité de f sans évaluer ses valeurs en différents points

Elle calcule une dérivée pour trouver directement un point où f(x) atteint un extremum

Elle teste successivement des valeurs de x afin d’encadrer une solution grâce à un changement de signe de f(x)

Explication

Le balayage évalue f pour des valeurs successives de x et utilise un changement de signe pour encadrer une solution. Le calcul d’un extremum par la dérivée est une autre démarche et ne décrit pas cette méthode.

Question 20

20. Quelle distinction entre le théorème des valeurs intermédiaires et le balayage est correcte lors de la recherche d’une racine ?

Le TVI et le balayage établissent tous deux l’unicité dès qu’un changement de signe est observé

Le TVI établit l’existence d’une solution, tandis que le balayage en fournit un encadrement numérique sans garantir à lui seul l’unicité

Le TVI fournit un encadrement numérique, tandis que le balayage démontre l’existence et l’unicité de la solution

Le balayage démontre l’existence, tandis que le TVI sert à rapprocher numériquement la racine

Explication

Le TVI justifie l’existence d’une solution, tandis que le balayage permet de l’approcher par un encadrement numérique et ne prouve pas à lui seul son unicité. Un changement de signe utilisé par balayage ne suffit donc pas à établir l’unicité.

Question 21

21. Pour déterminer la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=ax+b$ , quelle expression faut-il étudier et comment interpréter son signe ?

Étudier

f(x)+(ax+b)

: un signe positif indique que la courbe est au-dessus, un signe négatif qu’elle est en dessous, et un zéro une intersection.

Étudier

f(x)-(ax+b)

: un signe positif indique que la courbe est au-dessus, un signe négatif qu’elle est en dessous, et un zéro une intersection.

Étudier

f'(x)-a

: un signe positif indique que la courbe est au-dessus, un signe négatif qu’elle est en dessous, et un zéro une intersection.

Étudier

f(x)-(ax+b)

: un signe positif indique que la courbe est en dessous, un signe négatif qu’elle est au-dessus, et un zéro une intersection.

Explication

La différence entre les ordonnées de la courbe et de la droite, $f(x)-(ax+b)$ , donne leur position relative par son signe et s’annule aux abscisses d’intersection. Étudier $f'(x)-a$ renseigne sur la comparaison des pentes, pas directement sur la position des courbes.

Question 22

22. Pour $f(x)=x^2$ et la droite $y=2x$ , sur quels intervalles la courbe de $f$ se trouve-t-elle en dessous de la droite ?

Sur

]0;2[

, car

x(x-2)

y est négatif.

Sur

]-\infty;0[

, car

x(x-2)

y est positif.

Sur

]2;+\infty[

, car

x(x-2)

y y est négatif.

Sur

]0;2[

, car

x(x-2)

y est positif.

Explication

La différence des ordonnées vaut $x^2-2x=x(x-2)$ et est négative entre ses deux zéros, 0 et 2, ce qui place la courbe en dessous de la droite. Sur les intervalles extérieurs, cette différence est positive et la courbe est au-dessus.

Question 23

23. Lors d’une étude complète de fonction, quelle démarche respecte l’enchaînement général des étapes ?

Calculer la dérivée, étudier les variations, déterminer le domaine, résoudre les équations demandées, puis calculer les limites et examiner les asymptotes.

Déterminer le domaine, calculer les limites et les asymptotes, étudier la dérivée et les variations, résoudre les équations demandées, puis examiner continuité et position relative si nécessaire.

Déterminer le domaine, résoudre les équations demandées, examiner la continuité, étudier les variations, puis calculer les limites et les asymptotes.

Calculer les limites, étudier les variations sans dérivée, déterminer les asymptotes, puis fixer le domaine et examiner la position relative.

Explication

La démarche commence par le domaine, puis les limites permettent de déduire les asymptotes avant l’étude de la dérivée, de son signe et des variations. Commencer par résoudre les équations avant d’établir le domaine ne respecte pas cet ordre général.

Question 24

24. Une fonction rationnelle n’étant pas définie en un point intérieur d’un intervalle, peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur cet intervalle ?

Non, car le TVI s’applique aux fonctions continues seulement lorsque leur dérivée est définie partout.

Oui, car toute fonction rationnelle est continue sur l’ensemble des réels, même aux points exclus de son domaine.

Oui, si ses limites à gauche et à droite du point exclu existent.

Non, car elle n’est pas continue sur tout l’intervalle, condition requise pour appliquer le TVI.

Explication

Une fonction rationnelle est continue sur son domaine, mais un intervalle contenant un point où elle n’est pas définie ne se trouve pas entièrement dans ce domaine. L’existence de limites au point exclu ne suffit pas à établir la continuité nécessaire à l’application du TVI.

QCM : Étude des fonctions (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le domaine de définition d’une fonction ?

2. Quel ensemble de conditions permet de déterminer le domaine d’une expression comportant un dénominateur, une racine carrée et un logarithme ?

3. Que décrit la limite de f(x) lorsque x se rapproche d’une valeur ou tend vers l’infini ?

4. Lorsque x tend vers $-\infty$ , que vaut la limite de $x^n$ si n est un entier impair positif ?

5. Une fraction rationnelle a un numérateur de degré 3 et un dénominateur de degré 3. Comment déterminer sa limite à l’infini ?

6. Après substitution directe dans une expression, on obtient $\frac{0}{0}$ . Quelle conclusion convient ?

7. À quelle condition la droite $x=a$ est-elle une asymptote verticale de f ?

8. La fonction f vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale ?

9. Quelle condition caractérise la droite $y=ax+b$ comme asymptote oblique à une courbe ?

10. Une valeur a est interdite dans le domaine de f. Que faut-il vérifier avant d’affirmer que $x=a$ est une asymptote verticale ?

11. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a lorsqu’il existe ?

12. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

13. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative partout ?

14. En un point critique a, la dérivée passe de valeurs négatives à des valeurs positives : quel type d’extremum cela indique-t-il ?

15. Quelle condition caractérise la continuité de f en a ?

16. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre continuité et dérivabilité en un point ?

17. Une fonction continue sur [a;b] vérifie f(a)=2 et f(b)=7. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une valeur k comprise entre 2 et 7 ?

18. Une fonction continue sur [a;b] prend des valeurs de signes opposés aux deux extrémités et est strictement monotone sur l’intervalle. Que peut-on conclure sur ses zéros ?

19. Comment fonctionne la méthode du balayage pour rechercher une solution de f(x)=0 ?

20. Quelle distinction entre le théorème des valeurs intermédiaires et le balayage est correcte lors de la recherche d’une racine ?

21. Pour déterminer la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=ax+b$ , quelle expression faut-il étudier et comment interpréter son signe ?

22. Pour $f(x)=x^2$ et la droite $y=2x$ , sur quels intervalles la courbe de $f$ se trouve-t-elle en dessous de la droite ?

23. Lors d’une étude complète de fonction, quelle démarche respecte l’enchaînement général des étapes ?

24. Une fonction rationnelle n’étant pas définie en un point intérieur d’un intervalle, peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur cet intervalle ?

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QCM : Étude des fonctions (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que représente le domaine de définition d’une fonction ?

2. Quel ensemble de conditions permet de déterminer le domaine d’une expression comportant un dénominateur, une racine carrée et un logarithme ?

3. Que décrit la limite de f(x) lorsque x se rapproche d’une valeur ou tend vers l’infini ?

4. Lorsque x tend vers −∞-\infty−∞, que vaut la limite de xnx^nxn si n est un entier impair positif ?

5. Une fraction rationnelle a un numérateur de degré 3 et un dénominateur de degré 3. Comment déterminer sa limite à l’infini ?

6. Après substitution directe dans une expression, on obtient 00\frac{0}{0}00​. Quelle conclusion convient ?

7. À quelle condition la droite x=ax=ax=a est-elle une asymptote verticale de f ?

8. La fonction f vérifie lim⁡x→−∞f(x)=4\lim_{x\to-\infty} f(x)=4limx→−∞​f(x)=4. Quelle droite est une asymptote horizontale ?

9. Quelle condition caractérise la droite y=ax+by=ax+by=ax+b comme asymptote oblique à une courbe ?

10. Une valeur a est interdite dans le domaine de f. Que faut-il vérifier avant d’affirmer que x=ax=ax=a est une asymptote verticale ?

11. Comment définit-on le nombre dérivé de f en a lorsqu’il existe ?

12. Si u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(x)=x+2v(x)=x+2v(x)=x+2, quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

13. Sur un intervalle, que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est strictement négative partout ?

14. En un point critique a, la dérivée passe de valeurs négatives à des valeurs positives : quel type d’extremum cela indique-t-il ?

15. Quelle condition caractérise la continuité de f en a ?

16. Quelle affirmation décrit correctement le lien entre continuité et dérivabilité en un point ?

17. Une fonction continue sur [a;b] vérifie f(a)=2 et f(b)=7. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une valeur k comprise entre 2 et 7 ?

18. Une fonction continue sur [a;b] prend des valeurs de signes opposés aux deux extrémités et est strictement monotone sur l’intervalle. Que peut-on conclure sur ses zéros ?

19. Comment fonctionne la méthode du balayage pour rechercher une solution de f(x)=0 ?

20. Quelle distinction entre le théorème des valeurs intermédiaires et le balayage est correcte lors de la recherche d’une racine ?

21. Pour déterminer la position de la courbe de fff par rapport à la droite y=ax+by=ax+by=ax+b, quelle expression faut-il étudier et comment interpréter son signe ?

22. Pour f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et la droite y=2xy=2xy=2x, sur quels intervalles la courbe de fff se trouve-t-elle en dessous de la droite ?

23. Lors d’une étude complète de fonction, quelle démarche respecte l’enchaînement général des étapes ?

24. Une fonction rationnelle n’étant pas définie en un point intérieur d’un intervalle, peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur cet intervalle ?

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4. Lorsque x tend vers $-\infty$ , que vaut la limite de $x^n$ si n est un entier impair positif ?

6. Après substitution directe dans une expression, on obtient $\frac{0}{0}$ . Quelle conclusion convient ?

7. À quelle condition la droite $x=a$ est-elle une asymptote verticale de f ?

8. La fonction f vérifie $\lim_{x\to-\infty} f(x)=4$ . Quelle droite est une asymptote horizontale ?

9. Quelle condition caractérise la droite $y=ax+b$ comme asymptote oblique à une courbe ?

10. Une valeur a est interdite dans le domaine de f. Que faut-il vérifier avant d’affirmer que $x=a$ est une asymptote verticale ?

12. Si $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

21. Pour déterminer la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite $y=ax+b$ , quelle expression faut-il étudier et comment interpréter son signe ?

22. Pour $f(x)=x^2$ et la droite $y=2x$ , sur quels intervalles la courbe de $f$ se trouve-t-elle en dessous de la droite ?