Fiche de révision : Étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Domaine et notations des fonctions
2. Limites et formes indéterminées
3. Asymptotes et comportement des courbes
4. Dérivées et variations
5. Continuité et valeurs intermédiaires
6. Balayage et approximation numérique
7. Position relative d’une courbe
8. Méthode d’étude complète

📖 1. Domaine et notations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

★ À maîtriser

📌 Pour déterminer un domaine, un dénominateur doit être non nul, le radicande d’une racine carrée doit être positif ou nul et l’argument d’un logarithme doit être strictement positif.

Compléments

• Pour la fonction définie par f(x)=2/(x−3), le dénominateur impose x≠3 et le domaine est ℝ{3}.

• La notation x→a− signifie que x tend vers a par la gauche, tandis que x→a+ signifie que x tend vers a par la droite.

📖 2. Limites et formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : Comportement de f(x) lorsque x se rapproche d’une valeur ou tend vers l’infini ; elle peut être réelle, infinie ou ne pas exister.

★ À maîtriser

• Pour tout entier n≥1, 1/xⁿ tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou −∞ ; xⁿ tend vers +∞ en +∞, et en −∞ sa limite vaut +∞ si n est pair et −∞ si n est impair.

📌 Pour une fraction de polynômes à l’infini, si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la limite est 0 ; si les degrés sont égaux, elle est le quotient des coefficients dominants ; si le degré du numérateur est supérieur, il faut étudier le terme dominant et son signe.

• Les formes indéterminées classiques sont :
  • ∞−∞
  • ∞/∞
  • 0×∞
  • 0/0

Compléments

• Pour calculer une limite, on tente d’abord le remplacement direct ; si une forme indéterminée apparaît, on factorise, simplifie ou divise par la plus grande puissance de x ; si un dénominateur tend vers 0, on étudie son signe à gauche et à droite avant de conclure.

💡 Astuce mémo

Une forme indéterminée n’est pas une limite : elle impose une transformation.

📖 3. Asymptotes et comportement des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite x=a est une asymptote verticale si f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers a par au moins un côté.
• Asymptote horizontale : La droite y=ℓ est une asymptote horizontale si f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers +∞ ou −∞.
• Asymptote oblique : La droite y=ax+b est une asymptote oblique si f(x)−(ax+b) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

★ À maîtriser

📌 Une valeur interdite du domaine ne suffit pas à établir une asymptote verticale : il faut vérifier qu’au moins une limite latérale est infinie.

Compléments

• Pour une fraction rationnelle dont le degré du numérateur dépasse d’une unité celui du dénominateur, une division euclidienne permet souvent d’obtenir l’équation de l’asymptote oblique.

📖 4. Dérivées et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite finie, lorsqu’elle existe, du taux d’accroissement [f(a+h)−f(a)]/h lorsque h tend vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v, la dérivée d’une somme est $(u+v)'=u'+v'$, celle d’un produit est $(uv)'=u'v+uv'$, celle d’un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ avec v≠0, et celle d’une puissance composée est $(u^n)'=nu^{n-1}u'$.

📌 Sur un intervalle, si f′>0 alors f est strictement croissante, si f′<0 alors f est strictement décroissante, et si f′=0 partout alors f est constante.

📌 Un changement de signe de f′ de + vers − indique un maximum local, tandis qu’un changement de − vers + indique un minimum local ; sans changement de signe, f′(a)=0 n’établit pas un extremum.

Compléments

• La dérivée de xⁿ est $nx^{n-1}$ ; celles de 1/x, √x, eˣ et ln x sont respectivement −1/x², 1/(2√x) pour x>0, eˣ et 1/x pour x>0.

📐 Formule - Si f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point d’abscisse a a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive → fonction croissante ; dérivée négative → fonction décroissante.

📖 5. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a lorsque la limite de f(x) quand x tend vers a existe et vaut f(a).

★ À maîtriser

• La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point, mais la continuité n’implique pas la dérivabilité ; la fonction valeur absolue est continue mais non dérivable en 0.

• Si f est continue sur [a;b], elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) ; ainsi, toute valeur k comprise entre ces images est atteinte au moins une fois sur l’intervalle.

• Si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution de f(x)=0 dans [a;b] ; la stricte monotonie sur l’intervalle permet d’en établir l’unicité.

Compléments

• Les fonctions polynomiales sont continues sur ℝ et les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.

💡 Astuce mémo

Le TVI garantit l’existence ; la stricte monotonie permet l’unicité.

📖 6. Balayage et approximation numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Balayage : Le balayage est une méthode numérique qui teste successivement des valeurs de x pour encadrer une solution à partir d’un changement de signe de f(x).

★ À maîtriser

📌 Le TVI démontre l’existence d’une solution, tandis que le balayage en fournit un encadrement numérique ; le balayage seul ne prouve pas toujours l’unicité et un pas trop grand peut faire manquer des solutions.

Compléments

• Pour f(x)=x³+x−1, les valeurs f(0,6)=−0,184 et f(0,7)=0,043 encadrent une solution α telle que 0,6<α<0,7.

• Pour la même fonction, f(0,68)=−0,005568 et f(0,69)=0,018509 donnent l’encadrement plus précis 0,68<α<0,69.

• Pour affiner un encadrement par balayage, on teste des valeurs avec un pas plus petit dans l’intervalle déjà repéré et on conserve deux valeurs dont les images sont de signes opposés.

💡 Astuce mémo

Tester, repérer le changement de signe, réduire le pas.

📖 7. Position relative d’une courbe

★ À maîtriser

📌 Pour comparer la courbe de f à la droite y=ax+b, on étudie le signe de f(x)−(ax+b) : un signe positif place la courbe au-dessus, un signe négatif en dessous et un zéro indique une intersection.

Compléments

• Pour f(x)=x²−2x+1 et la droite y=2x−3, la différence vaut (x−2)² ; la courbe est au-dessus ou sur la droite et les deux se rencontrent en (2;1).

• Pour f(x)=x² et la droite y=2x, la différence x(x−2) s’annule en 0 et 2 ; la courbe est au-dessus sur ]−∞;0[ et ]2;+∞[, et en dessous sur ]0;2[.

• Pour f(x)=x+1/x et son asymptote y=x, la différence f(x)−x=1/x est positive pour x>0 et négative pour x<0 ; la courbe est donc au-dessus de l’asymptote à droite et en dessous à gauche.

💡 Astuce mémo

Fonction moins droite positif : courbe au-dessus ; négatif : courbe en dessous.

📖 8. Méthode d’étude complète

★ À maîtriser

• Une étude complète de fonction peut s’organiser ainsi : déterminer le domaine, calculer les limites, en déduire les asymptotes, calculer la dérivée, étudier son signe et les variations, résoudre les équations demandées, puis examiner continuité et position relative si nécessaire.

Compléments

• Pour f(x)=(x−2)/(x+1), le domaine est ℝ{−1} puisque le dénominateur s’annule en −1.

• Une fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition ; le TVI ne peut donc pas être appliqué sur un intervalle contenant une valeur où elle n’est pas définie.

💡 Astuce mémo

Domaine, limites, asymptotes, dérivée, variations, équations, continuité, position.

📊 Tableaux de synthèse

Conditions des asymptotes