Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Arbres pondérés
3. Formule des probabilités totales
4. Incompatibilité et partitions
5. Indépendance des événements

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si $P(A)\neq 0$, la probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$, vaut $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau lycée, la proportion d’élèves préférant les cours le matin parmi tous les élèves vaut $\frac{P(E\cap M)}{P(E)}=\frac{6}{10}$.

📖 2. Arbres pondérés

★ À maîtriser

📌 Si $P(A)\neq 0$, alors $P(A\cap B)=P_A(B)\times P(A)$.

• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.

Compléments

📌 La probabilité d’un événement correspondant à un chemin d’un arbre pondéré est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

• Dans un arbre pondéré, les probabilités portées par les branches de deuxième niveau et des niveaux suivants sont des probabilités conditionnelles.

• La probabilité qu’un logement soit une maison individuelle et une résidence principale vaut $P(M\cap R)=0{,}822\times0{,}558\approx0{,}459$. - INSEE, 2024

📖 3. Formule des probabilités totales

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout événement A tel que $0<P(A)<1$ et son contraire $\overline A$, on a $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline A)\times P_{\overline A}(B)$.

📌 La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins d’un arbre pondéré qui le contiennent.

Compléments

• Avec une prévalence de maladie de 2 %, une sensibilité de 95 % et une spécificité de 98 %, la probabilité qu’un test soit positif vaut $0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}02=0{,}0388\approx0{,}04$.

• Dans le même exemple, la probabilité qu’une personne en bonne santé ait un test positif vaut $0{,}98\times0{,}02=0{,}0196\approx0{,}02$.

• Pour les pièces provenant des fournisseurs A, B et C, les parts sont respectivement 40 %, 35 % et 25 %, et les taux de défaut respectifs sont 2 %, 4 % et 5 % ; la probabilité qu’une pièce tirée au hasard soit défectueuse vaut $0{,}4\times0{,}02+0{,}35\times0{,}04+0{,}25\times0{,}05=0{,}0345$.

📖 4. Incompatibilité et partitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.
• Partition de Ω : Des événements $A_1,A_2,\ldots,A_n$ forment une partition de Ω lorsqu’ils sont deux à deux disjoints et que leur réunion est Ω.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $A_1,A_2,\ldots,A_n$ forment une partition de Ω, alors pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)$.

📖 5. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

📝 Points essentiels

📌 Si $P(A)\neq 0$, A et B sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.

📌 Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si A et le contraire de B sont indépendants.

• Dans l’exemple des meubles, $P(F)=0{,}3$, $P(C)=0{,}2$ et $P(F\cap C)=0{,}06=P(F)\times P(C)$ ; le choix d’un fauteuil et le choix d’un meuble en cuir sont donc indépendants.