QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Question 1

1. Dans une expérience, on sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

0{,}22

0{,}45

0{,}18

2{,}22

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , donc $0{,}18\div0{,}4=0{,}45$ . La valeur $2{,}22$ inverse le rapport, tandis que $0{,}18$ omet le conditionnement.

Answer

$$0{,}45$$

Question 2

2. Dans un établissement, 800 élèves ont répondu à une enquête et 480 d’entre eux préfèrent les cours le matin. Quelle proportion des élèves préfère le matin ?

\frac{320}{800}=0{,}4

\frac{480}{1000}=0{,}48

\frac{480}{800}=0{,}6

\frac{480}{560}\approx0{,}86

Explication

La proportion recherchée parmi les élèves est le nombre d’élèves préférant le matin divisé par le nombre total d’élèves : $480/800=0{,}6$ . Le dénominateur 1000 confond l’effectif des élèves avec celui de toutes les personnes interrogées.

Answer

$$\frac{480}{800}=0{,}6$$

Question 3

3. À un nœud d’un arbre pondéré, les probabilités de deux branches sont $0{,}37$ et $x$ . Quelle valeur de $x$ assure la cohérence de l’arbre ?

0{,}73

1

0{,}37

0{,}63

Explication

Les probabilités issues d’un même nœud doivent totaliser 1 ; ainsi $x=1-0{,}37=0{,}63$ . La valeur $0{,}37$ reproduit la première branche au lieu de compléter la somme.

Answer

$$0{,}63$$

Question 4

4. Dans un arbre, $P(A)=0{,}6$ et la probabilité d’obtenir $B$ sachant $A$ vaut $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de suivre le chemin correspondant à $A\cap B$ ?

0{,}25

0{,}10

0{,}15

0{,}85

Explication

La probabilité de l’intersection est le produit de la probabilité de la première branche et de la probabilité conditionnelle : $P(A\cap B)=0{,}6\times0{,}25=0{,}15$ . La valeur $0{,}25$ omet la probabilité de $A$ .

Answer

$$0{,}15$$

Question 5

5. Dans un arbre pondéré, un événement peut être atteint par trois chemins distincts de probabilités respectives 0,12, 0,08 et 0,15. Quelle est sa probabilité ?

0,15

0,35

0,19

0,00144

Explication

La probabilité de l’événement est la somme des probabilités des chemins qui le contiennent : $0{,}12+0{,}08+0{,}15=0{,}35$ . Le produit combine les chemins au lieu de les additionner, 0,15 ne retient qu’un chemin et 0,19 omet un chemin.

Answer

Ils sont incompatibles, car leur intersection est vide.

Answer

Une partition de l’univers

Answer

Ils sont dépendants, car $$0{,}18\neq 0{,}4\times 0{,}5$$.

Question 6

6. Dans une expérience, l’événement A correspond à « obtenir un nombre pair » et B à « obtenir un nombre impair » lors d’un lancer d’un dé classique. Quelle relation existe entre A et B ?

Ils sont indépendants, car leurs probabilités sont égales.

Ils sont identiques, car ils couvrent les mêmes issues.

Ils sont incompatibles, car leur intersection est vide.

Ils forment seuls une partition dans toute expérience.

Explication

Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide ; un lancer ne peut donner à la fois un résultat pair et impair. L’indépendance concerne une relation entre probabilités, l’identité signifie avoir les mêmes issues, et la partition porte sur une réunion qui couvre l’univers.

Question 7

7. Un laboratoire classe chaque échantillon dans l’une de trois catégories : conforme, non conforme ou indéterminé. Chaque échantillon appartient à une seule catégorie, et les trois catégories couvrent tous les résultats possibles. Que forment ces événements ?

Un ensemble d’événements de probabilité égale

Une famille d’événements indépendants

Une réunion qui ne couvre qu’une partie de l’univers

Une partition de l’univers

Explication

Une partition est constituée d’événements deux à deux disjoints dont la réunion est l’univers. Une réunion non exhaustive ne couvre pas tous les résultats, des événements simplement disjoints sans couverture ne suffisent pas, et l’égalité des probabilités n’est pas requise.

Question 8

8. Les événements A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers. On sait que $P(A_1\cap B)=0{,}06$ , $P(A_2\cap B)=0{,}11$ et $P(A_3\cap B)=0{,}09$ . Quelle est $P(B)$ ?

0,11

0,0594

0,26

0,08

Explication

Pour une partition, la probabilité de B est la somme des probabilités des intersections avec chacun des événements de la partition : $0{,}06+0{,}11+0{,}09=0{,}26$ . Le produit et la soustraction ne suivent pas la formule, tandis que 0,11 ne correspond qu’à une seule intersection.

Question 9

9. Dans une expérience, on mesure $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur l’indépendance de A et B ?

Ils sont indépendants, car

0{,}4+0{,}5=0{,}9

.

Ils sont indépendants, car

0{,}18<0{,}4

.

Ils sont dépendants, car

0{,}4\times 0{,}5<0{,}18

.

Ils sont dépendants, car

0{,}18\neq 0{,}4\times 0{,}5

.

Explication

L’indépendance exige que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ; ici, le produit vaut $0{,}2$ , différent de $0{,}18$ . Comparer l’intersection à $P(A)$ , additionner les probabilités ou inverser l’inégalité ne vérifie pas ce critère.

Question 10

10. On sait que $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle valeur de $P_A(B)$ permet de conclure qu'A et B sont indépendants ?

0{,}7

0{,}3

0{,}18

0{,}6

Explication

Comme $P(A)\neq 0$ , l’indépendance équivaut à $P_A(B)=P(B)$ , donc la valeur recherchée est $0{,}3$ . La valeur $0{,}18$ est l’intersection, $0{,}6$ est $P(A)$ et $0{,}7$ est le complément de $P(B)$ .

Question 11

11. Dans une population, 30 % des personnes appartiennent au groupe A. Parmi elles, 20 % présentent le caractère B ; parmi les autres, 5 % présentent B. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard présente B ?

5 %

25 %

20 %

9,5 %

Explication

La formule des probabilités totales pondère chaque probabilité conditionnelle par la probabilité du groupe correspondant : $0{,}30\times0{,}20+0{,}70\times0{,}05=0{,}095$ , soit 9,5 %. La réponse 20 % confond une probabilité conditionnelle avec la probabilité globale, tandis que 5 % omet la contribution du groupe A et 25 % additionne les taux conditionnels sans pondération.

QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une expérience, on sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

2. Dans un établissement, 800 élèves ont répondu à une enquête et 480 d’entre eux préfèrent les cours le matin. Quelle proportion des élèves préfère le matin ?

3. À un nœud d’un arbre pondéré, les probabilités de deux branches sont $0{,}37$ et $x$ . Quelle valeur de $x$ assure la cohérence de l’arbre ?

4. Dans un arbre, $P(A)=0{,}6$ et la probabilité d’obtenir $B$ sachant $A$ vaut $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de suivre le chemin correspondant à $A\cap B$ ?

5. Dans un arbre pondéré, un événement peut être atteint par trois chemins distincts de probabilités respectives 0,12, 0,08 et 0,15. Quelle est sa probabilité ?

6. Dans une expérience, l’événement A correspond à « obtenir un nombre pair » et B à « obtenir un nombre impair » lors d’un lancer d’un dé classique. Quelle relation existe entre A et B ?

7. Un laboratoire classe chaque échantillon dans l’une de trois catégories : conforme, non conforme ou indéterminé. Chaque échantillon appartient à une seule catégorie, et les trois catégories couvrent tous les résultats possibles. Que forment ces événements ?

8. Les événements A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers. On sait que $P(A_1\cap B)=0{,}06$ , $P(A_2\cap B)=0{,}11$ et $P(A_3\cap B)=0{,}09$ . Quelle est $P(B)$ ?

9. Dans une expérience, on mesure $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur l’indépendance de A et B ?

10. On sait que $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle valeur de $P_A(B)$ permet de conclure qu'A et B sont indépendants ?

11. Dans une population, 30 % des personnes appartiennent au groupe A. Parmi elles, 20 % présentent le caractère B ; parmi les autres, 5 % présentent B. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard présente B ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et indépendance (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une expérience, on sait que P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et P(A∩B)=0,18P(A\cap B)=0{,}18P(A∩B)=0,18. Quelle est la valeur de PA(B)P_A(B)PA​(B) ?

2. Dans un établissement, 800 élèves ont répondu à une enquête et 480 d’entre eux préfèrent les cours le matin. Quelle proportion des élèves préfère le matin ?

3. À un nœud d’un arbre pondéré, les probabilités de deux branches sont 0,370{,}370,37 et xxx. Quelle valeur de xxx assure la cohérence de l’arbre ?

4. Dans un arbre, P(A)=0,6P(A)=0{,}6P(A)=0,6 et la probabilité d’obtenir BBB sachant AAA vaut 0,250{,}250,25. Quelle est la probabilité de suivre le chemin correspondant à A∩BA\cap BA∩B ?

5. Dans un arbre pondéré, un événement peut être atteint par trois chemins distincts de probabilités respectives 0,12, 0,08 et 0,15. Quelle est sa probabilité ?

6. Dans une expérience, l’événement A correspond à « obtenir un nombre pair » et B à « obtenir un nombre impair » lors d’un lancer d’un dé classique. Quelle relation existe entre A et B ?

7. Un laboratoire classe chaque échantillon dans l’une de trois catégories : conforme, non conforme ou indéterminé. Chaque échantillon appartient à une seule catégorie, et les trois catégories couvrent tous les résultats possibles. Que forment ces événements ?

8. Les événements A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers. On sait que P(A1∩B)=0,06P(A_1\cap B)=0{,}06P(A1​∩B)=0,06, P(A2∩B)=0,11P(A_2\cap B)=0{,}11P(A2​∩B)=0,11 et P(A3∩B)=0,09P(A_3\cap B)=0{,}09P(A3​∩B)=0,09. Quelle est P(B)P(B)P(B) ?

9. Dans une expérience, on mesure P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4, P(B)=0,5P(B)=0{,}5P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,18P(A\cap B)=0{,}18P(A∩B)=0,18. Quelle conclusion peut-on tirer sur l’indépendance de A et B ?

10. On sait que P(A)=0,6P(A)=0{,}6P(A)=0,6, P(B)=0,3P(B)=0{,}3P(B)=0,3 et P(A∩B)=0,18P(A\cap B)=0{,}18P(A∩B)=0,18. Quelle valeur de PA(B)P_A(B)PA​(B) permet de conclure qu'A et B sont indépendants ?

11. Dans une population, 30 % des personnes appartiennent au groupe A. Parmi elles, 20 % présentent le caractère B ; parmi les autres, 5 % présentent B. Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard présente B ?

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1. Dans une expérience, on sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

3. À un nœud d’un arbre pondéré, les probabilités de deux branches sont $0{,}37$ et $x$ . Quelle valeur de $x$ assure la cohérence de l’arbre ?

4. Dans un arbre, $P(A)=0{,}6$ et la probabilité d’obtenir $B$ sachant $A$ vaut $0{,}25$ . Quelle est la probabilité de suivre le chemin correspondant à $A\cap B$ ?

8. Les événements A₁, A₂ et A₃ forment une partition de l’univers. On sait que $P(A_1\cap B)=0{,}06$ , $P(A_2\cap B)=0{,}11$ et $P(A_3\cap B)=0{,}09$ . Quelle est $P(B)$ ?

9. Dans une expérience, on mesure $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur l’indépendance de A et B ?

10. On sait que $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}18$ . Quelle valeur de $P_A(B)$ permet de conclure qu'A et B sont indépendants ?