Fiche de révision : Probabilités et calcul combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les ensembles
2. Algèbre des événements
3. Axiomes et propriétés des probabilités
4. Dénombrement et équiprobabilité
5. Probabilités conditionnelles

📖 1. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Événement « S et L », constitué des éléments communs à S et à L.
• Différence ensembliste : Événement « S et pas L » et vérifie $S\setminus L=S\cap L^c$.
• Événements disjoints : Deux événements S et L sont disjoints ou incompatibles si et seulement si $S\cap L=\varnothing$.

📝 Points essentiels

• Dans R, un ensemble est fini si son cardinal appartient à N, dénombrable si son cardinal est celui de N, de Q ou de N², et continu si son cardinal est celui de R ou de R\Q, strictement supérieur à celui de N.

💡 Astuce mémo

S∩L signifie « S et L », tandis que S\L signifie « S et pas L ».

📖 2. Algèbre des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Atome : Événement qui n’est pas composé, c’est-à-dire qui ne peut pas être décomposé en deux événements distincts dont la réunion est lui-même.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de distributivité sont $S\cap(L\cup T)=(S\cap L)\cup(S\cap T)$ et $S\cup(L\cap T)=(S\cup L)\cap(S\cup T)$.

• Une algèbre possédant n atomes contient $2^n$ éléments.

Compléments

📐 Formule — Les identités remarquables des différences symétriques sont $S\cap L=\varnothing\Rightarrow S\mathbin{\Delta}L=S\cup L$, $S=L\Rightarrow S\mathbin{\Delta}L=\varnothing$ et $S\cup L=(S\mathbin{\Delta}L)\cup(S\cap L)$.

💡 Astuce mémo

Visualiser les ensembles comme des régions qui se recouvrent, se séparent ou se soustraient.

📖 3. Axiomes et propriétés des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Application sur (Ω,R) qui vérifie p(Ω)=1, prend ses valeurs dans [0,1] et est additive sur toute famille dénombrable d’événements disjoints.
• Système complet d’événements : Partition de Ω dont l’union est Ω et dont les probabilités vérifient $1=\sum_i p(E_i)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des événements disjoints (E_i), la probabilité de leur union est $p\left(\bigcup_i E_i\right)=\sum_i p(E_i)$.

📐 Formule — La probabilité du complémentaire vérifie $p(S^c)=1-p(S)$.

📐 Formule — Pour un système complet d’événements (E_i), la formule des probabilités totales est $p(S)=\sum_i p(S\cap E_i)$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux événements S et L, $p(S\cup L)+p(S\cap L)=p(S)+p(L)$ et $p(S\mathbin{\Delta}L)=p(S)+p(L)-2p(S\cap L)$.

💡 Astuce mémo

Disjonction → addition des probabilités ; complémentarité → probabilité égale à 1 moins celle de l’événement.

📖 4. Dénombrement et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement : Nombre d’éléments choisis parmi n, sans remise et avec ordre, égal à $A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}$.
• Combinaison : Nombre de p éléments choisis parmi n, sans tenir compte de l’ordre, égal à $C_n^p=\frac{n!}{(n-p)!p!}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — En équiprobabilité, si Ω contient n issues, chaque issue a la probabilité $p(a)=\frac{1}{n}$ et $p(E)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

Compléments

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $C_n^p=C_n^{n-p}$, $C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}$ et $\sum_{p=0}^{n}C_n^p=2^n$.

💡 Astuce mémo

Les arrangements tiennent compte de l’ordre ; les combinaisons n’en tiennent pas compte.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si p(S)≠0, la probabilité de L sachant S est $p(L\mid S)=\frac{p(L\cap S)}{p(S)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de multiplication des probabilités est $p(S\cap L)=p(S)\,p(L\mid S)$.

• Pour n événements, la probabilité de leur intersection se calcule par conditionnements successifs : $p\left(\bigcap_{i=1}^{n}L_i\right)=p(L_1)p(L_2\mid L_1)p(L_3\mid L_1\cap L_2)\cdots p\left(L_n\mid\bigcap_{i=1}^{n-1}L_i\right)$.

Compléments

• Pour un événement S, l’application L↦p(L|S) définit une probabilité sur les événements lorsque p(S)≠0, mais la différence symétrique ne définit pas une probabilité conditionnelle.

💡 Astuce mémo

Intersection → probabilité initiale → conditionnement successif.

📊 Tableaux de synthèse

Arrangements et combinaisons