Fiche de révision : Probabilités et dénombrement

📋 Plan du Cours

1. Expérience aléatoire et événements
2. Équiprobabilité et probabilités
3. Représentations et dénombrement
4. Opérations sur les événements
5. Fréquences et estimation
6. Applications aux exercices CRPE

📖 1. Expérience aléatoire et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience qui permet de lister tous les résultats possibles, dont l’issue ne peut pas être prévue avec certitude et qui peut être répétée dans les mêmes conditions.
• Issue : Résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Univers : Ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire, souvent noté Ω.
• Événement : Ensemble d’issues de l’univers d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Pour un lancer de dé cubique, l’univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et l’événement « obtenir un nombre pair » contient les issues 2, 4 et 6.

💡 Astuce mémo

Expérience → issue → univers → événement

📖 2. Équiprobabilité et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Il y a équiprobabilité lorsque chaque issue a la même probabilité de se réaliser.

★ À maîtriser

📐 Formule - En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vérifie $P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}$.

• Pour deux lancers d’une pièce équilibrée, les quatre couples d’issues sont (Pile ; Pile), (Pile ; Face), (Face ; Pile) et (Face ; Face), et la probabilité d’obtenir au moins une fois pile est $\frac{3}{4}=0{,}75=75\%$.

Compléments

• Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité d’obtenir un as est $P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$.

• Dans une urne contenant 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule jaune, la probabilité de tirer une boule bleue est $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

💡 Astuce mémo

Issues équiprobables : mêmes chances ; issues non équiprobables : chances différentes

📖 3. Représentations et dénombrement

★ À maîtriser

• Un arbre permet de représenter les issues successives d’une expérience et de les dénombrer.

• Le lancement de trois jetons équilibrés portant 0 et 1 produit 8 issues équiprobables.

Compléments

• Pour trois jetons portant 0 et 1, la probabilité d’obtenir une somme égale à 3 est $\frac{1}{8}$, car seule l’issue 111 convient.

• Pour trois jetons portant 0 et 1, la probabilité d’obtenir trois faces identiques est $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$, car les issues favorables sont 111 et 000.

• Le tirage successif de deux bonbons parmi quatre parfums différents, sans remise et en tenant compte de l’ordre, produit 12 couples possibles.

• Le lancement de deux dés cubiques est représenté efficacement par un tableau à double entrée qui contient 36 issues.

💡 Astuce mémo

Arbre, tableau, diagramme : représenter puis dénombrer

📖 4. Opérations sur les événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : Ensemble des issues qui appartiennent à A ou à B, éventuellement aux deux.
• Événement contraire : Événement constitué de toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.

📝 Points essentiels

• Si A = {1 ; 2} et B = {1 ; 4 ; 5} lors d’un lancer de dé, alors A ∩ B = {1}, A ∪ B = {1 ; 2 ; 4 ; 5} et Ā = {3 ; 4 ; 5 ; 6}.

• Pour une pièce présentant un défaut mécanique M ou esthétique E, l’événement « aucun défaut » s’écrit M̄ ∩ Ē, l’événement « au moins un défaut » s’écrit M ∪ E et l’événement « uniquement un défaut esthétique » s’écrit M̄ ∩ E.

💡 Astuce mémo

Intersection = les deux ; réunion = au moins l’un

📖 5. Fréquences et estimation

🔑 Notions clés & Définitions

• Aspect fréquentiel : Lorsque les issues ne sont pas équiprobables, estimation d’une probabilité par la fréquence observée lors de nombreuses répétitions.

★ À maîtriser

📐 Formule - Après N lancers, la fréquence d’obtention d’un six vaut $f=\frac{\text{nombre cumulé de six}}{N}$.

📌 Quand une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche de sa probabilité.

Compléments

• Pour un dé pipé lancé 900 fois, le six apparaît 277 fois et la fréquence cumulée vaut 0,308, qui est retenu comme estimation de la probabilité d’obtenir un six.

• Les fréquences obtenues sur des séries de 100 lancers fluctuent autour de la probabilité, tandis que la fréquence cumulée se stabilise progressivement.

💡 Astuce mémo

Répétitions nombreuses → fréquence stabilisée → estimation de la probabilité

📖 6. Applications aux exercices CRPE

★ À maîtriser

• Dans un club comptant 250 adhérents, dont 80 pratiquent à la fois le padel et le tennis, la probabilité de choisir un adhérent pratiquant les deux sports est $\frac{80}{250}=\frac{8}{25}=0{,}32$.

• Pour deux dés cubiques équilibrés, 9 issues sur 36 donnent deux chiffres pairs, donc la probabilité d’obtenir deux chiffres pairs est $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.

Compléments

• Dans ce même club, 130 adhérents pratiquent le tennis, donc la probabilité de choisir un adhérent pratiquant le tennis est $\frac{130}{250}=0{,}52$.

• Pour deux bonbons tirés sans remise parmi quatre, la probabilité d’obtenir la menthe et la fraise, quel que soit l’ordre, est $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations des issues