QCM : Probabilités et dénombrement (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant l’expérience aléatoire :

Elle permet de prévoir avec certitude l’issue obtenue.
Elle produit nécessairement une seule issue possible.
Elle peut être répétée dans des conditions identiques.
Elle permet de recenser les résultats possibles avant sa réalisation.
Elle ne garantit pas la connaissance de l’issue avant l’expérience.

Elle peut être répétée dans des conditions identiques. · Elle permet de recenser les résultats possibles avant sa réalisation. · Elle ne garantit pas la connaissance de l’issue avant l’expérience.

Explication

Une expérience aléatoire permet de lister les résultats possibles et peut être répétée dans les mêmes conditions. Son issue ne peut pas être prévue avec certitude et elle ne se limite pas à un résultat possible.

2. Concernant l’événement contraire d’un événement A :

L’événement contraire de A regroupe les issues appartenant simultanément à A et à Ω.
L’événement contraire de A est noté Ā.
L’événement contraire de A correspond aux issues réalisant au moins un événement associé à A.
L’événement contraire dépend de l’ensemble univers Ω considéré.
L’événement contraire de A contient les issues de Ω qui ne sont pas dans A.

L’événement contraire de A est noté Ā. · L’événement contraire dépend de l’ensemble univers Ω considéré. · L’événement contraire de A contient les issues de Ω qui ne sont pas dans A.

Explication

Le contraire Ā contient toutes les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A et sa définition dépend donc de Ω. Il ne regroupe ni les issues de A, ni celles réalisant au moins un événement associé.

3. Après N lancers d’un dé, la fréquence d’obtention d’un six s’écrit :

Le numérateur correspond au nombre cumulé de six obtenus.
Le dénominateur correspond au nombre cumulé de résultats différents.
La fréquence vaut f=nombre cumuleˊ de sixNf=\frac{\text{nombre cumulé de six}}{N}.
La fréquence vaut f=Nnombre cumuleˊ de sixf=\frac{N}{\text{nombre cumulé de six}}.
La fréquence utilise N comme nombre total de lancers.

Le numérateur correspond au nombre cumulé de six obtenus. · La fréquence vaut $$f=\frac{\text{nombre cumulé de six}}{N}$$. · La fréquence utilise N comme nombre total de lancers.

Explication

La fréquence est le quotient du nombre cumulé de six par le nombre total de lancers N. Le nombre de résultats différents n’intervient pas dans cette formule, et l’inversion du quotient est incorrecte.

4. À propos de l’équiprobabilité :

Toutes les issues possèdent la même probabilité de réalisation.
L’équiprobabilité concerne des issues ayant des chances égales.
L’équiprobabilité signifie que certaines issues sont privilégiées.
Une issue favorisée peut coexister avec l’équiprobabilité.
Une situation équiprobable donne des probabilités différentes aux issues.

Toutes les issues possèdent la même probabilité de réalisation. · L’équiprobabilité concerne des issues ayant des chances égales.

Explication

L’équiprobabilité signifie que chaque issue a la même probabilité. Elle est donc incompatible avec des issues favorisées ou avec des probabilités différentes selon les issues.

5. Deux lancers d’une pièce équilibrée sont réalisés. Quelles sont les réponses exactes au sujet de cet essai ?

Le couple (Pile ; Face) fait partie des résultats possibles.
Les quatre couples d’issues possibles sont équiprobables.
La probabilité d’obtenir au moins une fois pile vaut 34\frac{3}{4}.
Cette probabilité peut aussi s’écrire 0,75 ou 75 %.
La probabilité d’obtenir au moins une fois pile vaut 12\frac{1}{2}.

Le couple (Pile ; Face) fait partie des résultats possibles. · Les quatre couples d’issues possibles sont équiprobables. · La probabilité d’obtenir au moins une fois pile vaut $$\frac{3}{4}$$. · Cette probabilité peut aussi s’écrire 0,75 ou 75 %.

Explication

Les quatre couples Pile-Pile, Pile-Face, Face-Pile et Face-Face sont équiprobables. Trois comportent au moins un Pile, soit une probabilité de 34\frac{3}{4}, également égale à 0,75 et 75 % ; 12\frac{1}{2} est incorrect.

6. Lors d’un lancer d’un dé cubique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’événement « obtenir un nombre pair » contient 2, 4 et 6.
L’univers contient six issues, de 1 à 6.
Le résultat 5 n’appartient pas à l’événement « obtenir un nombre pair ».
Le résultat 3 appartient à l’univers du lancer.
Les issues favorables à l’événement pair sont au nombre de trois.

L’événement « obtenir un nombre pair » contient 2, 4 et 6. · L’univers contient six issues, de 1 à 6. · Le résultat 5 n’appartient pas à l’événement « obtenir un nombre pair ». · Le résultat 3 appartient à l’univers du lancer. · Les issues favorables à l’événement pair sont au nombre de trois.

Explication

L’univers du dé est constitué de 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L’événement pair contient 2, 4 et 6 ; 3 appartient à l’univers mais pas à cet événement, pas plus que 5, et trois issues sont favorables.

7. Dans un club de 250 adhérents, 80 pratiquent simultanément le padel et le tennis. Concernant la probabilité correspondante :

Le nombre total d’adhérents concernés par les deux sports est 130.
La fraction 80250\frac{80}{250} se simplifie en 825\frac{8}{25}.
La probabilité recherchée est égale à 0,32.
La probabilité de choisir un adhérent pratiquant les deux sports vaut 80250\frac{80}{250}.
La probabilité recherchée vaut 130250\frac{130}{250}.

La fraction $$\frac{80}{250}$$ se simplifie en $$\frac{8}{25}$$. · La probabilité recherchée est égale à 0,32. · La probabilité de choisir un adhérent pratiquant les deux sports vaut $$\frac{80}{250}$$.

Explication

Les 80 adhérents pratiquant les deux sports sont rapportés aux 250 adhérents, soit 80250=825=0,32\frac{80}{250}=\frac{8}{25}=0,32. Le nombre 130 correspond aux adhérents pratiquant le tennis, pas nécessairement aux pratiquants des deux sports.

8. À propos de l’estimation d’une probabilité par fréquence observée :

La fréquence observée constitue une estimation expérimentale de la probabilité.
L’estimation repose sur les réalisations observées lors de répétitions de l’expérience.
Une fréquence observée peut estimer une probabilité lorsque les issues ne sont pas équiprobables.
Une fréquence observée fournit directement la probabilité exacte du modèle.
De nombreuses répétitions améliorent l’interprétation de la fréquence obtenue.

La fréquence observée constitue une estimation expérimentale de la probabilité. · L’estimation repose sur les réalisations observées lors de répétitions de l’expérience. · Une fréquence observée peut estimer une probabilité lorsque les issues ne sont pas équiprobables. · De nombreuses répétitions améliorent l’interprétation de la fréquence obtenue.

Explication

Lorsque les issues ne sont pas équiprobables, la fréquence observée lors de nombreuses répétitions peut servir d’estimation expérimentale. Elle repose sur les réalisations observées et améliore son interprétation quand le nombre de répétitions augmente, mais elle ne fournit pas directement la probabilité exacte du modèle.

9. Concernant l’intersection de deux événements, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une issue appartient à A ∩ B lorsqu’elle réalise simultanément A et B.
L’intersection A ∩ B contient les issues réalisant au moins un événement.
L’intersection A ∩ B rassemble les issues extérieures aux deux événements.
L’intersection peut être utilisée lorsque les deux événements doivent être réalisés.
L’intersection A ∩ B regroupe les issues communes aux deux événements.

Une issue appartient à A ∩ B lorsqu’elle réalise simultanément A et B. · L’intersection peut être utilisée lorsque les deux événements doivent être réalisés. · L’intersection A ∩ B regroupe les issues communes aux deux événements.

Explication

L’intersection regroupe les issues appartenant à A et à B, donc réalisant les deux événements. Elle ne correspond ni aux issues réalisant au moins un événement, qui relèvent de la réunion, ni aux issues extérieures aux événements.

10. Pour deux dés cubiques équilibrés, quelles propositions décrivent la probabilité d’obtenir deux chiffres pairs ?

La probabilité d’obtenir deux chiffres pairs vaut 936\frac{9}{36}.
Les deux dés offrent douze issues favorables à deux résultats pairs.
Neuf issues sur trente-six donnent deux résultats pairs.
La probabilité d’obtenir deux chiffres pairs vaut 13\frac{1}{3}.
La fraction 936\frac{9}{36} se simplifie en 14\frac{1}{4}.

La probabilité d’obtenir deux chiffres pairs vaut $$\frac{9}{36}$$. · Neuf issues sur trente-six donnent deux résultats pairs. · La fraction $$\frac{9}{36}$$ se simplifie en $$\frac{1}{4}$$.

Explication

Parmi les 36 issues équiprobables, 9 donnent deux résultats pairs, donc la probabilité vaut 936=14\frac{9}{36}=\frac{1}{4}. Elle n’est pas égale à 13\frac{1}{3} et le nombre d’issues favorables est 9, non 12.

11. Trois jetons équilibrés portant les valeurs 0 et 1 sont lancés. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le lancement produit six issues équiprobables.
L’issue 101 fait partie des résultats possibles.
Les huit issues sont équiprobables.
Chaque jeton contribue par une valeur 0 ou une valeur 1.
Le nombre total d’issues est égal à huit.

L’issue 101 fait partie des résultats possibles. · Les huit issues sont équiprobables. · Chaque jeton contribue par une valeur 0 ou une valeur 1. · Le nombre total d’issues est égal à huit.

Explication

Trois jetons, chacun pouvant donner 0 ou 1, produisent 23=82^3=8 issues équiprobables. L’issue 101 en fait partie, tandis que le nombre six ne correspond pas au dénombrement attendu.

12. Parmi les propositions suivantes concernant la réunion de deux événements, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une issue réalisant simultanément A et B appartient également à A ∪ B.
La réunion A ∪ B conserve les issues appartenant à A ou au contraire de B.
La réunion A ∪ B contient les issues appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux.
La réunion A ∪ B désigne les issues qui ne réalisent ni A ni B.
Une issue réalisant A mais pas B appartient à A ∪ B.

Une issue réalisant simultanément A et B appartient également à A ∪ B. · La réunion A ∪ B contient les issues appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux. · Une issue réalisant A mais pas B appartient à A ∪ B.

Explication

La réunion contient les issues d’au moins un des deux événements, y compris celles communes. Elle inclut donc une issue réalisant A mais pas B, ainsi qu’une issue réalisant simultanément A et B. Elle ne se limite pas aux issues appartenant à A ou au contraire de B, et les issues ne réalisant ni A ni B relèvent du contraire de la réunion.

13. L’univers d’une expérience aléatoire possède les caractéristiques suivantes :

Il rassemble toutes les issues possibles de l’expérience.
Il décrit l’ensemble des résultats envisageables.
Il peut être noté par le symbole Ω.
Il correspond à une seule issue particulière.
Il désigne les issues favorables à une expérience.

Il rassemble toutes les issues possibles de l’expérience. · Il décrit l’ensemble des résultats envisageables. · Il peut être noté par le symbole Ω.

Explication

L’univers est l’ensemble de toutes les issues et se note souvent Ω. Il regroupe donc tous les résultats possibles, et non une issue particulière ni les résultats favorables à une expérience.

14. Concernant le calcul de la probabilité en situation d’équiprobabilité, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

La formule s’applique lorsque les issues ont des probabilités égales.
La formule s’applique pareillement lorsque certaines issues sont favorisées.
Le dénominateur correspond au nombre de cas favorables.
La probabilité d’un événement A s’écrit P(A)=nombre de cas favorablesnombre de cas totalP(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}.
La probabilité compare le nombre de cas favorables au nombre total de cas.

La formule s’applique lorsque les issues ont des probabilités égales. · La probabilité d’un événement A s’écrit $$P(A)=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}$$. · La probabilité compare le nombre de cas favorables au nombre total de cas.

Explication

En équiprobabilité, la probabilité est le rapport entre les cas favorables et le nombre total de cas. Le dénominateur est donc le nombre total de cas, et la formule ne s’applique pas directement à des issues de probabilités différentes.

15. Une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois. Quelles sont les réponses exactes au sujet de la fréquence observée ?

Une seule série courte suffit à fixer précisément la fréquence de l’événement.
La stabilisation progressive concerne la fréquence cumulée de l’événement étudié.
La fréquence observée s’éloigne de la probabilité lorsque les répétitions augmentent.
L’augmentation du nombre d’essais rend généralement la fréquence plus représentative.
La fréquence de réalisation d’un événement se rapproche progressivement de sa probabilité.

La stabilisation progressive concerne la fréquence cumulée de l’événement étudié. · L’augmentation du nombre d’essais rend généralement la fréquence plus représentative. · La fréquence de réalisation d’un événement se rapproche progressivement de sa probabilité.

Explication

Lorsqu’une expérience est répétée en grand nombre, la fréquence se rapproche de la probabilité et la fréquence cumulée se stabilise progressivement. Les répétitions ne provoquent pas un éloignement systématique, et une série courte ne suffit pas à fixer précisément une fréquence.

16. Parmi les propositions suivantes concernant une issue, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Une issue désigne l’ensemble des résultats possibles.
Une issue appartient à l’univers des résultats possibles.
Une issue est la notation habituelle de l’univers Ω.
Une issue rassemble toutes les issues de l’expérience.
Une issue correspond à un résultat possible de l’expérience.

Une issue appartient à l’univers des résultats possibles. · Une issue correspond à un résultat possible de l’expérience.

Explication

Une issue est un résultat possible et constitue un élément de l’univers. L’ensemble de toutes les issues forme l’univers, tandis qu’un événement peut regrouper plusieurs issues et se distingue de la notation Ω.

17. Concernant l’utilisation d’un arbre en probabilités :

Il sert à représenter uniquement les résultats d’une étape.
Il peut aider à dénombrer les issues obtenues.
Il s’applique à une expérience dépourvue d’étapes successives.
Un arbre représente les issues successives d’une expérience.
Il remplace la liste des issues par une probabilité calculée.

Il peut aider à dénombrer les issues obtenues. · Un arbre représente les issues successives d’une expérience.

Explication

Un arbre représente les issues successives et permet de les dénombrer. Il ne se limite pas à une seule étape, ne remplace pas le calcul des probabilités et sa fonction décrite concerne les expériences à issues successives.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 41 flashcards sur Probabilités et dénombrement.

Quelles conditions définit une expérience aléatoire ?

Lister tous les résultats possibles, ne pas prévoir l’issue avec certitude, pouvoir être répétée dans les mêmes conditions.

Qu'appelle-t-on une issue dans une expérience aléatoire ?

Un résultat possible de cette expérience.

Que désigne l’univers d’une expérience aléatoire ?

L’ensemble de toutes ses issues.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Probabilités et dénombrement.

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