Fiche de révision : Probabilités et nombres relatifs

📋 Plan du Cours

1. Expériences aléatoires et événements
2. Probabilité d’un événement
3. Probabilité et fréquence
4. Expériences à deux épreuves
5. Calculs avec les nombres relatifs
6. Expressions littérales et usages des lettres
7. Conventions de réduction des produits
8. Réduction des sommes de termes
9. Opposé d’une expression littérale
10. Développement et distributivité
11. Théorème de Thalès et applications

📖 1. Expériences aléatoires et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience est aléatoire si son résultat n’est pas connu à l’avance et fait intervenir le hasard, si elle est reproductible dans les mêmes conditions et si tous ses résultats possibles sont connus.
• Événement : Un événement est un critère portant sur les résultats d’une expérience aléatoire, réalisé ou non par chacune de ses issues, et il est assimilable à l’ensemble de ses issues favorables.

📝 Points essentiels

• Choisir une carte dans un jeu classique de 32 cartes n’est pas une expérience aléatoire, car le choix ne fait pas intervenir le hasard.

• Un lancer de pile ou face avec une pièce non truquée et un lancer de dé non truqué sont des expériences aléatoires.

• Lors d’un lancer de dé à six faces numérotées de 1 à 6, les issues de l’événement « obtenir un nombre pair » sont 2, 4 et 6.

📖 2. Probabilité d’un événement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Une expérience aléatoire est équiprobable lorsque chacune de ses issues a la même probabilité de se réaliser.
• Événement impossible : Un événement impossible ne possède aucune issue possible et sa probabilité est 0.
• Événement certain : Un événement certain est réalisé par toutes les issues possibles et sa probabilité est 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une expérience équiprobable, la probabilité d’un événement est $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}$.

📌 La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1.

Compléments

• Pour un dé équilibré à six faces, la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à 3 est $P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, car les issues favorables sont 1 et 2.

📌 La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.

📖 3. Probabilité et fréquence

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence d’un événement est proche de sa probabilité.

Compléments

• Sur 10 000 lancers d’une pièce non truquée, la fréquence d’obtention de pile est proche de 50 %, soit 0,5.

💡 Astuce mémo

Répétitions très nombreuses → fréquence proche de la probabilité.

📖 4. Expériences à deux épreuves

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience à deux épreuves : Une expérience aléatoire à deux épreuves est constituée de deux réalisations.

★ À maîtriser

📌 On peut utiliser un tableau pour calculer la probabilité des issues ou d’un événement d’une expérience à deux épreuves lorsque les résultats des épreuves sont indépendants et que chacune est équiprobable.

Compléments

• Pour un lancer de pièce suivi d’un lancer de dé équilibré à six faces, les 12 couples possibles associent Pile ou Face à chacun des nombres de 1 à 6.

• Dans cette expérience, la probabilité d’obtenir pile et un nombre pair au dé est $P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\%$.

📖 5. Calculs avec les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Un nombre relatif est composé d’un signe et d’une distance à zéro ; par exemple, le signe de −6 est négatif et sa distance à zéro est 6.

★ À maîtriser

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, le résultat prend le signe du terme ayant la plus grande distance à zéro et sa distance à zéro est la différence des deux distances.

• Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif et sa distance à zéro est le produit des distances à zéro des facteurs.

Compléments

📌 La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro.

• 🔄 Pour calculer une somme de plusieurs nombres relatifs :
  1. Repérer les sommes astucieuses, notamment les nombres opposés.
  2. Réordonner les termes en plaçant les positifs puis les négatifs.
  3. Sommer séparément les termes positifs et les termes négatifs.
  4. Additionner les deux résultats.

📌 Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif et sa distance à zéro est le produit des distances à zéro des facteurs.

📌 Pour diviser par un nombre relatif non nul, on multiplie le premier nombre par l’inverse du second : $\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}$ si $b\ne 0$.

📐 Formule - Pour tout nombre relatif $a$, $a\times(-1)=-a$.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne les distances ; signes contraires : on les soustrait.

📖 6. Expressions littérales et usages des lettres

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.
• Inconnue : Nombre dont la valeur n’est pas connue et qui est désigné par une lettre dans un exercice.

📝 Points essentiels

• Une lettre peut remplacer un nombre comportant beaucoup de décimales afin de ne l’écrire qu’une seule fois et de gagner du temps et de la place.

• La lettre π désigne le rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre, qui comporte une infinité de décimales.

• Une lettre peut nommer une expression numérique, comme C dans C = 4 × 3 + (6 − 5) − 3 × 3 + 8, ce qui permet ensuite d’écrire 2 × C pour désigner le double de cette expression.

• Si x désigne le salaire de Paul en 2014, une augmentation de 5 % donne un salaire de 1,05x en 2015.

• Dans une formule, une lettre désigne un nombre qui varie selon les situations, comme le rayon r dans la formule de l’aire d’un disque πr².

📖 7. Conventions de réduction des produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduire une expression : La simplifier au maximum afin d’en alléger l’écriture.

★ À maîtriser

📌 Dans un produit, le signe de multiplication disparaît entre deux lettres, entre un nombre connu et une lettre, et entre un facteur et une expression entre parenthèses.

• Dans un produit à plusieurs facteurs, on écrit dans l’ordre :
  • les nombres connus
  • les lettres dans l’ordre alphabétique
  • les expressions entre parenthèses

Compléments

• Dans un produit, a × a s’écrit a², a × a × a s’écrit a³, a × 1 = 1 × a = a et a × 0 = 0 × a = 0.

📌 Dans une expression, le produit de deux nombres connus se calcule, par exemple 2 × 5 + r = 10 + r.

📖 8. Réduction des sommes de termes

★ À maîtriser

📌 Dans une somme, les termes identiques peuvent être regroupés et leurs coefficients additionnés, tandis que les constantes se calculent entre elles.

📌 Les termes semblables peuvent être réduits, mais des termes de formes différentes comme a² et a ne peuvent pas être regroupés.

Compléments

• La somme 3 + t + 5 + m + m + 2 + t + 1 + 2t se réduit à 11 + 2m + 4t.

• L’expression t + 4t + 3 + t² + 3t² − 6t + 5 + t³ se réduit à t³ + 4t² − t + 8.

📖 9. Opposé d’une expression littérale

★ À maîtriser

• Pour obtenir l’opposé d’une somme ou d’une différence, on change le signe de chacun de ses termes.

Compléments

📌 Pour obtenir l’opposé d’un produit, il suffit de changer le signe d’un seul facteur du produit.

📌 Pour obtenir l’opposé d’un quotient, il suffit de changer le signe du dividende.

• L’opposé de (3 − a)/(5 + b) est (a − 3)/(5 + b).

📖 10. Développement et distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Le développement consiste à transformer un produit en une somme ou une différence.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité par rapport à une somme s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule - La distributivité par rapport à une différence s’écrit $k(a-b)=ka-kb$.

📐 Formule - La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Compléments

• Les variantes de la double distributivité avec des différences s’obtiennent en remplaçant une ou plusieurs lettres de la formule par leur opposé.

• Les formules de double distributivité se déduisent de la distributivité simple.

📖 11. Théorème de Thalès et applications

★ À maîtriser

📐 Formule - Si (ED) et (CB) sont parallèles et si (EC) et (BD) sont sécantes en A, alors $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{ED}{CB}$.

Compléments

📌 Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.

• Pour appliquer le théorème de Thalès, on vérifie le parallélisme des droites et la sécance des deux autres droites, on écrit l’égalité des rapports correspondants, puis on calcule la longueur inconnue.

• Dans la configuration où (VT) // (BH), les droites (BV) et (TH) sont sécantes en M, avec BM = 6 cm, VM = 1,5 cm, VT = 1,7 cm et MH = 8 cm, le théorème de Thalès donne BH = 6,8 cm et MT = 2 cm.

• Dans la configuration où (BA) et (CD) sont perpendiculaires à (AC), les droites (BD) et (AC) sont sécantes en K, avec CK = 2,5 cm, KA = 7,5 cm, CD = 1,5 cm et BK = 9 cm, on obtient BA = 4,5 cm et KD = 3 cm.