Fiche de révision : Probabilités et statistiques

📋 Plan du Cours

1. Systèmes de numération historiques
2. Bases et écritures positionnelles
3. Ensembles de nombres
4. Calcul numérique et algébrique
5. Résolution des systèmes par substitution
6. Résolution par combinaison linéaire
7. Divisibilité et nombres premiers
8. PGCD, PPCM et proportionnalité
9. Applications de proportionnalité
10. Dénombrement et événements
11. Calcul des probabilités
12. Vocabulaire statistique et indicateurs
13. Objets et constructions géométriques
14. Propriétés et démonstrations géométriques
15. Pythagore et trigonométrie
16. Théorème de Thalès
17. Transformations du plan
18. Géométrie dans l’espace

📖 1. Systèmes de numération historiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Numération : Code permettant de représenter un nombre, au moyen de signes et de règles d’agencement, sous une forme gestuelle, écrite ou orale.

★ À maîtriser

• La numération égyptienne est un système additif non positionnel utilisant des groupements-échanges par 10, avec des symboles valant notamment 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 et 1 000 000.

📌 En numération romaine, un signe placé à droite d’un signe de valeur supérieure ou égale s’additionne, tandis qu’un signe placé à gauche d’un signe de valeur supérieure se soustrait, avec I, X et C comme seuls signes soustractibles dans les conditions prévues.

Compléments

• La numération babylonienne est un système positionnel de base 60, avec une base secondaire 10 et un système additif pour les nombres inférieurs à 60.

💡 Astuce mémo

Égyptiens additifs, Romains additifs-soustractifs, Babyloniens positionnels

📖 2. Bases et écritures positionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation positionnelle : Procédé d’écriture dans lequel chaque position d’un chiffre est reliée à la position voisine par un multiplicateur appelé base du système de numération.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une base b, l’écriture $a_na_{n-1}\ldots a_1a_0$ représente la somme $a_n\times b^n+\cdots+a_1\times b^1+a_0\times b^0$.

• Pour convertir un nombre décimal en base b, on effectue des divisions successives par b jusqu’à obtenir un quotient nul, puis on lit les restes successifs de droite à gauche.

Compléments

• Le nombre 43 en base 10 s’écrit $101011_2$ en base 2, car $43=32+8+2+1=1\times2^5+0\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0$.

💡 Astuce mémo

Diviser par la base pour descendre, lire les restes pour remonter

📖 3. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombre positif ou nul permettant de dénombrer des objets.
• Nombres décimaux : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{10^n}$ avec p entier relatif et n entier naturel, et qui possède donc un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec p et q entiers relatifs et q non nul.

📝 Points essentiels

📌 Une fraction irréductible représente un nombre décimal si son dénominateur ne comporte que des facteurs premiers 2 et 5, c’est-à-dire s’il est de la forme $2^n\times5^p$.

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, et les nombres réels correspondent aux abscisses des points d’une droite graduée.

💡 Astuce mémo

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

📖 4. Calcul numérique et algébrique

★ À maîtriser

📌 Le produit ou le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes différents est négatif.

📐 Formule — Pour des fractions de même dénominateur, $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ et $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

📐 Formule — Pour tous réels non nuls a et b, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

📌 Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire $A\times B=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

📌 Dans une inéquation, l’ordre est conservé lors d’une addition, d’une soustraction ou d’une multiplication par un nombre positif, mais il est inversé lors d’une multiplication ou d’une division par un nombre négatif.

Compléments

• Pour résoudre un problème par une équation, on choisit l’inconnue, on met le problème en équation, on résout l’équation, puis on interprète et vérifie le résultat.

💡 Astuce mémo

Signe négatif au diviseur → ordre inversé dans une inégalité

📖 5. Résolution des systèmes par substitution

📝 Points essentiels

• La méthode par substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation, à remplacer cette inconnue dans l’autre équation, à résoudre l’équation obtenue puis à calculer la seconde inconnue.

• Pour le système 2x − 4y = 4 et x − 3y = 6, la méthode par substitution donne y = −4 et x = −6, soit l’unique couple solution (−6 ; −4).

💡 Astuce mémo

Isoler → substituer → résoudre → remplacer

📖 6. Résolution par combinaison linéaire

📝 Points essentiels

• La méthode par combinaison linéaire consiste à multiplier une ou plusieurs équations par des nombres choisis afin de rendre les coefficients d’une même inconnue opposés ou égaux, puis à additionner ou soustraire les équations.

• Pour le système 2x − 4y = 4 et x − 3y = 6, multiplier la seconde équation par −2 puis additionner donne y = −4, puis x = −6.

💡 Astuce mémo

Coefficients opposés → addition des équations → inconnue éliminée

📖 7. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Un entier a est un multiple d’un entier b, et b est un diviseur de a, lorsqu’il existe un entier k tel que a = k × b, ce qui équivaut à dire que le reste de la division de a par b est nul.
• Nombre premier : Entier naturel p supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et p.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ou de 9 ; par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; et par 10 s’il se termine par 0.

Compléments

• Pour vérifier qu’un nombre est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10 : les critères de divisibilité

📖 8. PGCD, PPCM et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux entiers.
• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux entiers.

★ À maîtriser

📌 Si n est multiple de a et de b et si a et b sont premiers entre eux, alors n est multiple de a × b.

📌 On utilise le PGCD pour trouver le plus grand diviseur commun, notamment pour former un maximum de paquets identiques, et le PPCM pour trouver le plus petit multiple commun, notamment pour synchroniser des événements ou obtenir un dénominateur commun.

Compléments

📐 Formule — Pour deux entiers a et b, le PGCD et le PPCM vérifient $\operatorname{PGCD}(a,b)\times\operatorname{PPCM}(a,b)=a\times b$.

💡 Astuce mémo

PGCD : plus grand diviseur commun ; PPCM : plus petit multiple commun

📖 9. Applications de proportionnalité

★ À maîtriser

📐 Formule — La conversion d’une température t en degrés Celsius vers une température T en degrés Fahrenheit est donnée par $T=1{,}8t+32$.

📌 Une relation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine, tandis qu’une relation affine peut être représentée par une droite ne passant pas par l’origine.

📐 Formule — Pour un prix unitaire de 12,40 € et une réduction de 20 %, le coût du tarif 1 est $f(x)=12{,}40x$ et celui du tarif 2 est $g(x)=30+0{,}8\times12{,}40x$.

📐 Formule — La distance d’arrêt vérifie $d_A=v\times t_R+k\times v^2$, avec $k=0{,}14$ sur route mouillée et $k=0{,}073$ sur route sèche.

Compléments

• Pour un trajet aller-retour de 45 km, un cycliste roulant à 30 km/h à l’aller met 1 h 30, se repose 1 h, puis met 54 min au retour à 50 km/h.

💡 Astuce mémo

Proportionnalité : rapport constant ; fonction affine : variation avec terme fixe

📖 10. Dénombrement et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Dénombrement : Utiliser un moyen approprié pour déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble.

★ À maîtriser

• Les méthodes présentées sont:
  • le dénombrement sans support
  • le diagramme de Venn
  • le tableau
  • l’arbre

📐 Formule — Si un menu comporte 2 entrées, 3 plats et 1 dessert, le nombre de menus possibles est $2\times3\times1=6$.

Compléments

• Lorsque deux ensembles comportent respectivement 23 et 15 éléments et que 6 éléments appartiennent aux deux ensembles, leur réunion contient 32 éléments.

💡 Astuce mémo

Ensemble → tableau ou arbre → dénombrement

📖 11. Calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine.
• Univers : L’ensemble formé par toutes les éventualités d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

📌 Un événement est une partie de l’univers, l’événement impossible est noté ∅ et l’événement certain est constitué de toutes les éventualités de l’univers.

📐 Formule — En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vérifie $P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}$.

📐 Formule — Pour tout événement A, on a $P(\varnothing)=0$, $0\leq P(A)\leq1$, $P(\Omega)=1$ et $P(\overline A)=1-P(A)$.

• Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches, et les probabilités d’événements incompatibles se cumulent par addition.

💡 Astuce mémo

Équiprobabilité → nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

📖 12. Vocabulaire statistique et indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : L’ensemble des individus sur lesquels porte une étude statistique.
• Moyenne : La moyenne arithmétique pondérée d’une série de valeurs x_i d’effectifs n_i est $\bar{x}=\frac{\sum n_i x_i}{N}$.
• Médiane : La médiane d’une série ordonnée partage la série en deux sous-groupes de même effectif.

★ À maîtriser

📌 Un caractère quantitatif prend des valeurs numériques, tandis qu’un caractère qualitatif prend des modalités qui ne sont pas des nombres.

📌 Un caractère quantitatif est discret s’il ne prend que des valeurs isolées et continu dans le cas contraire.

📐 Formule — La fréquence d’une valeur d’effectif n_i dans une population d’effectif total N est $f_i=\frac{n_i}{N}$ et appartient à l’intervalle [0;1].

Compléments

• L’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur, tandis que l’écart interquartile vaut Q3−Q1.

💡 Astuce mémo

Population → caractère → effectif → fréquence → indicateur

📖 13. Objets et constructions géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite, demi-droite et segment : Une droite est une ligne rectiligne, infinie et sans épaisseur, une demi-droite est une portion de droite limitée d’un seul côté par son origine, et un segment est une portion de droite limitée par deux extrémités.
• Médiatrice d’un segment : droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu
• Bissectrice d’un angle : droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure
• Polygone régulier : polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure
• Cercle, rayon et diamètre : Un cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance r de O, une corde relie deux points du cercle, et une corde passant par le centre est un diamètre.

📝 Points essentiels

• 🔄 La construction d’une perpendiculaire au compas suit ces étapes:
  1. Tracer deux arcs centrés au point donné et intersectant la droite
  2. Tracer deux paires d’arcs de même écartement à partir des intersections
  3. Tracer la droite passant par les deux dernières intersections

💡 Astuce mémo

Droites, angles, cercles, polygones : définir puis construire

📖 14. Propriétés et démonstrations géométriques

★ À maîtriser

• Si un point situé sur un segment est à égale distance de ses deux extrémités, alors ce point est le milieu du segment.

• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

• Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

• Si un rectangle possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.

• Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$.

Compléments

📌 Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité, situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.

💡 Astuce mémo

Une propriété géométrique précise → une conclusion sur la figure

📖 15. Pythagore et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit.
• Cosinus sinus tangente : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse, le sinus est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse et la tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en B, l’égalité de Pythagore est $AC^2=AB^2+BC^2$.

📌 Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus grand côté est l’hypoténuse.

Compléments

📐 Formule — Pour un angle aigu α, on a $0<\alpha<90^\circ$, $0<\cos\alpha<1$, $0<\sin\alpha<1$, $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ et $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA

📖 16. Théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : Si deux droites sécantes en A portent respectivement les points M et B, puis N et C, et si les droites MN et BC sont parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles et vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📝 Points essentiels

📌 Si les points sont alignés dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites MN et BC sont parallèles.

📌 Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de ce troisième côté.

💡 Astuce mémo

Rapports égaux → parallélisme

📖 17. Transformations du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : La symétrie axiale d’axe Δ transforme un point M en M′ lorsque Δ est la médiatrice du segment [MM′].
• Symétrie centrale : La symétrie centrale de centre O transforme un point M en M′ lorsque O est le milieu du segment [MM′].
• Rotation : Une rotation de centre O et d’angle α transforme M en M′ lorsque OM=OM′ et que l’angle MOM′ mesure α.

📝 Points essentiels

📌 Une isométrie conserve les longueurs, le parallélisme, l’orthogonalité, les angles, les formes et les figures, tandis qu’une homothétie réduit ou agrandit une figure.

• Une homothétie de rapport k multiplie les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

💡 Astuce mémo

Isométrie conserve, homothétie agrandit ou réduit

📖 18. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Polyèdre : Solide de l’espace délimité par un nombre fini de polygones appelés faces.
• Patron : Surface plane d’un seul tenant qui permet, par pliage et sans recouvrement, de reconstituer le solide.
• Orthogonalité : Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires.
• Grandeur mesurable : Lorsque la grandeur de deux objets réunis est égale à la somme des grandeurs de chacun des objets.
• Périmètre : La mesure du contour de la figure.
• Aire : Le nombre d’unités d’aire contenues dans sa surface intérieure.
• Volume : Une grandeur qui caractérise les solides et dont la mesure est le nombre d’unités de volume qu’ils contiennent.
• Tableur : Un logiciel d’édition et de présentation de tableaux composé de feuilles de calcul organisées en lignes, colonnes et cellules.

📝 Points essentiels

📌 Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors elle est orthogonale à ce plan et à toute droite de ce plan.

📌 Pour calculer le périmètre d’un polygone, on additionne les mesures de chacun des segments qui le composent.

📐 Formule — Pour les figures classiques, les aires vérifient $A_{rectangle}=L\ell$, $A_{parallélogramme}=b\times h$, $A_{triangle}=\frac{b\times h}{2}$, $A_{trapèze}=\frac{(b+B)h}{2}$ et $A_{disque}=\pi r^2$.

📐 Formule — Les périmètres classiques vérifient $P_{carré}=4c$ et $P_{disque}=2\pi r$.

📐 Formule — Les volumes usuels vérifient $V_{parallélépipède}=L\ell h$, $V_{prisme}=Ah$, $V_{cylindre}=\pi r^2h$, $V_{cône}=\frac{1}{3}\pi r^2h$, $V_{pyramide}=\frac{1}{3}Ah$ et $V_{sphère}=\frac{4}{3}\pi r^3$.

• Un litre est une unité de capacité égale à un décimètre cube, soit $1\ \mathrm{L}=1\ \mathrm{dm}^3$.

📐 Formule — La vitesse moyenne d’un objet qui parcourt une distance d en un temps t vérifie $v=\frac{d}{t}$.

📌 Pour saisir une formule dans une cellule de tableur, il faut commencer par le signe égal ; ainsi, =1+2 produit 3 alors que 1+2 reste du texte.

💡 Astuce mémo

Perpendiculaires sécantes ≠ droites orthogonales non coplanaires

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres

PGCD et PPCM