Fiche de révision : Probabilités totales et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Partitions de l’univers
2. Formule des probabilités totales
3. Retrouver la cause après observation
4. Indépendance de deux événements
5. Répétitions de Bernoulli indépendantes

📖 1. Partitions de l’univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de Ω : Famille d’au moins deux événements non vides, deux à deux incompatibles, dont la réunion est Ω.

★ À maîtriser

• Pour tout événement B non vide et distinct de Ω, B et son contraire forment la partition {B, B̄}, car ils sont non vides, leur intersection est vide et leur réunion vaut Ω.

Compléments

• Dans une partition de Ω, chaque issue appartient à un événement de la partition et à un seul.

• Tout arbre dont le premier niveau porte deux branches repose sur la partition formée par un événement et son contraire.

📖 2. Formule des probabilités totales

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition {B₁, …, Bₙ} de Ω, tout événement A vérifie $P(A)=\sum_{i=1}^{n}P_{B_i}(A)\times P(B_i)$.

📐 Formule - Pour un événement B tel que 0 < P(B) < 1, tout événement A vérifie $P(A)=P_B(A)\times P(B)+P_{\overline{B}}(A)\times P(\overline{B})$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque P(B) ≠ 0, la probabilité de l’intersection de A et B vérifie $P(A\cap B)=P_B(A)\times P(B)$.

📖 3. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

★ À maîtriser

📌 L’indépendance n’est pas l’incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, car leur intersection a une probabilité nulle tandis que le produit de leurs probabilités est positif.

📌 Si P(A) ≠ 0, A et B sont indépendants si et seulement si P_A(B)=P(B), c’est-à-dire si la réalisation de A ne change pas la probabilité de B.

Compléments

• Si P(B) ≠ 0, l’indépendance de A et B équivaut aussi à P_B(A)=P(A).

• Les autres couples indépendants sont :

  • (A, B̄)
  • (Ā, B)
  • (Ā, B̄)

💡 Astuce mémo

Indépendants : le recoupement suit le produit ; incompatibles : le recoupement est nul.

📖 4. Répétitions de Bernoulli indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuves indépendantes : Une succession de deux épreuves est indépendante lorsque tout événement lié à la première épreuve est indépendant de tout événement lié à la seconde.
• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[ est une expérience aléatoire à deux issues, succès et échec, où le succès a la probabilité p.
• Répétition de Bernoulli : Répéter n≥2 fois de façon identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p signifie que le succès a une probabilité p à chaque épreuve et que le résultat de chacune n’influence aucun des autres.

★ À maîtriser

• Dans une succession de deux épreuves indépendantes, une issue est un couple et sa probabilité est le produit des probabilités de ses deux composantes.

• Dans la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p, un chemin comportant k succès et n−k échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$.

Compléments

• Pour une épreuve de Bernoulli qui s’intéresse à un événement A, le succès est A, l’échec est son contraire et le paramètre vaut P(A).

• Dans une répétition de Bernoulli, deux chemins comportant le même nombre de succès ont la même probabilité, quel que soit l’ordre des succès et des échecs.