Fiche de révision : Produit scalaire et projections orthogonales

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire et norme euclidienne
2. Calculs et inégalités du produit scalaire
3. Distance dans l’espace euclidien
4. Coordonnées en base orthonormée
5. Orthogonal d’un sous-espace
6. Projection orthogonale et propriétés
7. Formules de projection
8. Matrices orthogonales et symétriques

📖 1. Produit scalaire et norme euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Pour des vecteurs de coordonnées $(x_1,[0m\ldots,x_n)$ et $(y_1,\ldots,y_n)$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$, leur produit scalaire est $u\cdot v=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k.$
• Norme euclidienne : La norme euclidienne d’un vecteur $u=(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb R^n$ est $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}.$
• Orthogonalité : Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si $u\cdot v=0$.
• Vecteur unitaire : Un vecteur est unitaire, ou normé, lorsque sa norme vaut 1.

📝 Points essentiels

📌 Une famille orthogonale est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux, tandis qu’une famille orthonormée est orthogonale et composée de vecteurs unitaires.

📖 2. Calculs et inégalités du produit scalaire

★ À maîtriser

• Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

📐 Formule - Les identités de polarisation donnent $\|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2$ et $\|u-v\|^2=\|u\|^2-2u\cdot v+\|v\|^2.$

• L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit $|u\cdot v|\leq\|u\|\|v\|$.

Compléments

📐 Formule - La norme vérifie $\|\lambda u\|=|\lambda|\|u\|$ pour tout scalaire réel $\lambda$.

📐 Formule - Le produit scalaire se déduit des normes par $u\cdot v=\frac{1}{4}\bigl(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\bigr).$

• L’inégalité triangulaire de Minkowski affirme que $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$.

📌 Le théorème de Pythagore donne $u\perp v\iff\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$, et sa généralisation affirme que la norme au carré d’une somme de vecteurs orthogonaux est la somme de leurs normes au carré.

📖 3. Distance dans l’espace euclidien

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance euclidienne : La distance entre $u=(x_1,\ldots,x_n)$ et $v=(y_1,\ldots,y_n)$ dans $\mathbb R^n$ est $d(u,v)=\|u-v\|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2}.$
• Distance à un sous-espace : La distance d’un vecteur $u$ à un sous-espace vectoriel $H$ est l’infimum des distances entre $u$ et les vecteurs de $H$, soit $d(u,H)=\inf_{h\in H}\|u-h\|.$

📝 Points essentiels

• La distance euclidienne est symétrique : $d(u,v)=d(v,u)$.

• La distance entre deux vecteurs est nulle si et seulement si ces vecteurs sont égaux.

• La distance euclidienne vérifie l’inégalité triangulaire $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)$.

📖 4. Coordonnées en base orthonormée

★ À maîtriser

• Toute famille orthonormée de $\mathbb R^n$ est une base de $\mathbb R^n$.

📐 Formule - Dans toute base orthonormée, le produit scalaire se calcule par $u\cdot v=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k=X^{T}Y$ et la norme au carré par $\|u\|^2=\sum_{k=1}^{n}x_k^2=X^{T}X.$

Compléments

📐 Formule - Dans une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$, si $u=\sum_{i=1}^{n}x_i e_i$, alors $x_i=u\cdot e_i.$

📐 Formule - Dans une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$, tout vecteur vérifie $u=\sum_{i=1}^{n}(u\cdot e_i)e_i.$

📖 5. Orthogonal d’un sous-espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonal d’un sous-espace : L’orthogonal $A^\perp$ d’un sous-espace vectoriel $A$ est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de $A$, soit $A^\perp=\{u\in\mathbb R^n:\forall a\in A,\ u\cdot a=0\}.$

★ À maîtriser

• Pour tout sous-espace vectoriel $A$ de $\mathbb R^n$, on a $(A^\perp)^\perp=A$ et $A+A^\perp=\mathbb R^n$.

• Tout vecteur de $\mathbb R^n$ s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de $A$ et d’un vecteur de $A^\perp$.

Compléments

• L’orthogonal $A^\perp$ d’un sous-espace vectoriel $A$ est lui-même un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$.

• L’orthogonal de $\mathbb R^n$ est le sous-espace nul, et l’orthogonal du sous-espace nul est $\mathbb R^n$.

• Si $A\subseteq B$, alors $B^\perp\subseteq A^\perp$.

📖 6. Projection orthogonale et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : La projection orthogonale sur un sous-espace $A$ associe à chaque vecteur $u$ sa composante dans $A$ dans la décomposition unique $u=p(u)+(u-p(u))$, où $u-p(u)\in A^\perp$.

★ À maîtriser

• La projection orthogonale $p(u)$ est l’unique vecteur de $A$ qui minimise la distance de $u$ aux vecteurs de $A$.

Compléments

📐 Formule - Une projection orthogonale est idempotente : $p\circ p=p$, donc sa matrice $M$ vérifie $M^2=M$.

• Pour une projection orthogonale $p$ sur $A$, on a $\operatorname{Im}(p)=A$, $\ker(p)=A^\perp$ et les vecteurs invariants par $p$ sont ceux de $A$.

• Les seules valeurs propres possibles d’une projection orthogonale sont 0 et 1.

📐 Formule - Pour toute projection orthogonale, $\|u\|^2=\|p(u)\|^2+\|u-p(u)\|^2.$

📖 7. Formules de projection

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $(e_1,\ldots,e_r)$ est une base orthonormée de $A$, la projection de $u$ sur $A$ est $p(u)=\sum_{i=1}^{r}(u\cdot e_i)e_i.$

Compléments

📐 Formule - Pour une droite $A=\operatorname{Vect}(a)$ avec $\|a\|=1$, la projection de $u$ est $p(u)=(u\cdot a)a.$

📐 Formule - Pour un plan $A=\operatorname{Vect}(e_1,e_2)$ muni d’une base orthonormée $(e_1,e_2)$, la projection de $u$ est $p(u)=(u\cdot e_1)e_1+(u\cdot e_2)e_2.$

• Un endomorphisme $f$ est la projection orthogonale sur $\operatorname{Im}(f)$ s’il vérifie $f\circ f=f$ et $\ker(f)=(\operatorname{Im}(f))^\perp$.

📖 8. Matrices orthogonales et symétriques

📝 Points essentiels

• La matrice de passage entre deux bases orthonormées vérifie $P^TP=I_n$ et $P^{-1}=P^T$.

• Dans une base orthonormée, la matrice d’une projection orthogonale est une matrice réelle symétrique.

• Deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d’une matrice réelle symétrique sont orthogonaux.

• Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.