Produit scalaire et projections orthogonales

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire et norme euclidienne
2. Calculs et inégalités du produit scalaire
3. Distance dans l’espace euclidien
4. Coordonnées en base orthonormée
5. Orthogonal d’un sous-espace
6. Projection orthogonale et propriétés
7. Formules de projection
8. Matrices orthogonales et symétriques

📖 1. Produit scalaire et norme euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Pour des vecteurs de coordonnées $(x_1,[0m\ldots,x_n)$ et $(y_1,\ldots,y_n)$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$, leur produit scalaire est $u\cdot v=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k.$
• Norme euclidienne : La norme euclidienne d’un vecteur $u=(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb R^n$ est $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}.$
• Orthogonalité : Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si $u\cdot v=0$.
• Vecteur unitaire : Un vecteur est unitaire, ou normé, lorsque sa norme vaut 1.

📝 Points essentiels

📌 Une famille orthogonale est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux, tandis qu’une famille orthonormée est orthogonale et composée de vecteurs unitaires.