QCM : Produit scalaire et projections orthogonales (19 questions)

Question 1

1. Dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ , on prend $u=(2,-1,3)$ et $v=(4,5,-2)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

9

13

-7

-3

Explication

On multiplie les coordonnées correspondantes puis on additionne : $2\times4+(-1)\times5+3\times(-2)=8-5-6=-3$ . La valeur 9 omet le dernier produit, -7 traduit une erreur de signe, et 13 ne respecte pas la somme des produits.

Answer

Ils sont orthogonaux, car leur produit scalaire est nul.

Answer

$$v\cdot u=1$$

Answer

$$d(A,C)\leq 13$$

Answer

Une base de $$\mathbb{R}^4$$

Answer

$$(-1,9)$$

Answer

$$(A^\perp)^\perp=A$$ et $$A+A^\perp=\mathbb{R}^3$$

Answer

Elle existe et elle est unique.

Answer

$$p(u)\in A$$ et $$u-p(u)\in A^\perp$$

Answer

L’unique vecteur qui minimise la distance à $$u$$.

Answer

$$2e_1-e_2$$

Answer

$$f$$ est la projection orthogonale sur $$\operatorname{Im}(f)$$

Answer

$$P^{-1}=P^T$$

Answer

Ils sont orthogonaux

Answer

Elle est diagonalisable dans une base orthonormée

Question 2

2. Pour $u=(-3,4,12)$ dans $\mathbb{R}^3$ , quelle est sa norme euclidienne ?

\sqrt{151}

12

169

13

Explication

La norme est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées : $\|u\|=\sqrt{(-3)^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ . La valeur 169 oublie la racine, $\sqrt{151}$ soustrait à tort le carré de la coordonnée négative, et 12 omet une contribution.

Question 3

3. Dans $\mathbb{R}^2$ , on considère $u=(2,3)$ et $v=(3,-2)$ . Quelle relation décrit ces deux vecteurs ?

Ils sont parallèles, car leurs coordonnées sont proportionnelles.

Ils sont orthogonaux, car leur produit scalaire est nul.

Ils sont égaux en norme, donc ils sont orthogonaux.

Ils sont orthogonaux, car la somme de leurs coordonnées est nulle.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul ; ici $2\times3+3\times(-2)=0$ . L’égalité des normes ne suffit pas, les coordonnées ne sont pas proportionnelles, et le critère porte sur le produit scalaire, pas sur la somme des coordonnées.

Question 4

4. Pour $u=(1,2)$ et $v=(3,-1)$ , quel calcul exprime le produit scalaire en inversant l’ordre des vecteurs ?

v\cdot u=-1

v\cdot u=(4,1)

v\cdot u=(3,-2)

v\cdot u=1

Explication

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $v\cdot u=u\cdot v=1\times3+2\times(-1)=1$ . La valeur -1 change à tort le signe, tandis que les résultats vectoriels correspondent à des opérations coordonnées et non à un produit scalaire.

Question 5

5. Deux vecteurs vérifient $\|u\|=5$ et $\|v\|=2$ . Quelle borne supérieure l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne-t-elle pour $|u\cdot v|$ ?

10

25

7

3

Explication

Cauchy-Schwarz affirme que $|u\cdot v|\leq\|u\|\|v\|$ , donc ici $|u\cdot v|\leq5\times2=10$ . La valeur 7 additionne les normes, 3 leur fait prendre la différence, et 25 ne correspond pas au produit des deux normes.

Question 6

6. Trois points vectoriels $A,B,C$ vérifient $d(A,B)=5$ et $d(B,C)=8$ . Quelle borne la distance $d(A,C)$ doit-elle respecter ?

d(A,C)=13

d(A,C)\leq 13

d(A,C)\geq 13

d(A,C)\leq 3

Explication

L’inégalité triangulaire donne $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)=5+8=13$ . La borne inférieure inverse le sens, l’égalité suppose un alignement particulier, et la différence ne donne pas la borne supérieure.

Question 7

7. Dans $\mathbb{R}^4$ , une famille contient quatre vecteurs orthonormés. Quel rôle cette famille peut-elle jouer dans $\mathbb{R}^4$ ?

Une famille génératrice qui ne peut pas être libre

Une base d’un sous-espace de dimension trois

Une base de

\mathbb{R}^4

Une famille libre qui ne peut pas engendrer

\mathbb{R}^4

Explication

Toute famille orthonormée de $\mathbb{R}^n$ est une base de cet espace; les quatre vecteurs forment donc une base de $\mathbb{R}^4$ . Une famille orthogonale non normalisée n’est pas la même hypothèse, et une base de $\mathbb{R}^4$ comporte quatre vecteurs.

Question 8

8. Dans une base orthonormée, les coordonnées de $u$ sont $X=(1,-2,2)$ et celles de $v$ sont $Y=(3,1,-1)$ . Quel est le couple formé du produit scalaire $u\cdot v$ et de la norme au carré $\|u\|^2$ ?

(-1,3)

(-1,9)

(9,-1)

(2,9)

Explication

Le produit scalaire vaut $1\times3+(-2)\times1+2\times(-1)=-1$ , et la norme au carré de $u$ vaut $1^2+(-2)^2+2^2=9$ . La racine donnerait la norme, tandis que la norme au carré de $v$ vaut $11$ .

Question 9

9. Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $A$ le sous-espace engendré par $a=(1,1,0)$ . Quelle condition caractérise un vecteur $u=(x,y,z)$ appartenant à $A^\perp$ ?

x-y=0

x+y+z=0

x+y=0

x=0

Explication

Un vecteur de $A^\perp$ doit être orthogonal à chaque vecteur de $A$ ; comme $A$ est engendré par $(1,1,0)$ , il suffit que $u\cdot(1,1,0)=x+y=0$ . La condition $x-y=0$ correspond à l’orthogonalité à $(1,-1,0)$ , tandis que les autres conditions ne traduisent pas l’orthogonalité au générateur donné.

Question 10

10. Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace $A$ est un plan passant par l’origine. Quelle relation décrit l’orthogonal de son orthogonal, et quelle somme obtient-on avec son orthogonal ?

(A^\perp)^\perp=\{0\}

et

A+A^\perp=\mathbb{R}^3

(A^\perp)^\perp=\mathbb{R}^3

et

A+A^\perp=A^\perp

(A^\perp)^\perp=A^\perp

et

A+A^\perp=A

(A^\perp)^\perp=A

et

A+A^\perp=\mathbb{R}^3

Explication

Dans un espace euclidien de dimension finie, le double orthogonal d’un sous-espace est ce sous-espace, et celui-ci ajouté à son orthogonal engendre tout l’espace. Prendre $A^\perp$ pour le double orthogonal confond les deux espaces, tandis que les réponses avec $\mathbb{R}^3$ ou $\{0\}$ comme double orthogonal ne respectent pas cette propriété.

Question 11

11. Un vecteur $u\in\mathbb{R}^n$ est décomposé en une partie appartenant à un sous-espace $A$ et une partie appartenant à $A^\perp$ . Que peut-on affirmer de cette décomposition ?

Elle s’écrit comme différence de deux vecteurs de A.

Elle existe, mais elle peut avoir plusieurs choix.

La composante de A appartient à

A^\perp

.

Elle existe et elle est unique.

Explication

Tout vecteur de $\mathbb{R}^n$ s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de $A$ et d’un vecteur de $A^\perp$ . L’absence d’unicité contredit le théorème de décomposition, et les autres réponses attribuent incorrectement les composantes ou la forme de la décomposition.

Question 12

12. Pour projeter orthogonalement un vecteur $u$ sur un sous-espace $A$ , quel rôle joue $p(u)$ dans la décomposition de $u$ ?

p(u)\in A

et

u-p(u)\in A^\perp

p(u)=u

et

u-p(u)\in A^\perp

p(u)\in A

et

u-p(u)\in A

p(u)\in A^\perp

et

u-p(u)\in A

Explication

La projection est la composante dans $A$ de la décomposition, tandis que le résidu $u-p(u)$ appartient à $A^\perp$ . Intervertir ces espaces ou placer le résidu dans $A$ méconnaît la décomposition orthogonale; prendre systématiquement $p(u)=u$ confond le vecteur et sa composante projetée.

Question 13

13. Un vecteur $u$ est projeté orthogonalement sur un sous-espace $A$ . Parmi les vecteurs de $A$ , lequel est $p(u)$ ?

L’unique vecteur qui minimise la distance à

u

.

Un vecteur de

A

qui réalise une distance minimale, même s’il y en a plusieurs.

Un vecteur de

A

qui maximise la distance à

u

.

Le vecteur de

A

dont la norme est minimale.

Explication

La projection orthogonale est l’unique vecteur de $A$ minimisant la distance à $u$ . Un minimiseur non unique contredit cette caractérisation, la maximisation inverse le critère, et minimiser la norme ne correspond pas à minimiser la distance à $u$ .

Question 14

14. Dans $\mathbb{R}^3$ , une base orthonormée de $A$ est $(e_1,e_2)$ . Pour un vecteur $u$ tel que $u\cdot e_1=2$ et $u\cdot e_2=-1$ , quelle est sa projection sur $A$ ?

2e_1-e_2

-e_1+2e_2

2e_1+e_2

2e_1-e_2+u

Explication

Dans une base orthonormée de $A$ , la projection est la somme des composantes de $u$ selon chaque vecteur de base, multipliées par ces vecteurs. Omettre la composante selon $e_2$ néglige un terme, permuter les coefficients les attribue aux mauvais vecteurs, et ajouter $u$ ne correspond pas à la formule de projection.

Question 15

15. Un endomorphisme $f$ vérifie $f\circ f=f$ et $\ker(f)=(\operatorname{Im}(f))^\perp$ . Quelle interprétation peut-on en déduire ?

f

est la projection orthogonale sur

\ker(f)

f

est une réflexion orthogonale par rapport à

\operatorname{Im}(f)

f

est la projection orthogonale sur

\operatorname{Im}(f)

f

est une projection sur

\operatorname{Im}(f)

sans garantie d’orthogonalité

Explication

L’idempotence, accompagnée de l’égalité du noyau avec l’orthogonal de l’image, caractérise la projection orthogonale sur l’image. Une idempotence seule ne garantit pas l’orthogonalité; une réflexion n’est pas caractérisée par ces conditions, et le sous-espace projeté est l’image, non le noyau.

Question 16

16. Une matrice de passage $P$ relie deux bases orthonormées. Quelle relation permet de calculer son inverse ?

P^{-1}=P

P^{-1}=I_n

P^{-1}=P^T

P^{-1}=-P^T

Explication

Pour une matrice de passage entre bases orthonormées, $P^TP=I_n$ , donc sa transposée est son inverse. L’opposée de la transposée, la matrice elle-même et l’identité ne découlent pas de cette relation.

Question 17

17. Dans une base orthonormée, la matrice $M$ représente une projection orthogonale. Quelle propriété doit-elle satisfaire ?

M^2=M

M^T=-M

M^T=M

M^TM=I_n

Explication

Dans une base orthonormée, la matrice d’une projection orthogonale est réelle et symétrique, donc $M^T=M$ . L’antisymétrie est une autre propriété, l’orthogonalité concerne les matrices de passage, et l’idempotence seule ne suffit pas à exprimer la symétrie.

Question 18

18. Une matrice réelle symétrique possède deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Quelle relation existe entre ces vecteurs ?

Ils sont orthogonaux

Ils sont de même norme

Ils sont proportionnels

Ils sont associés à la même valeur propre

Explication

Pour une matrice réelle symétrique, deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Des valeurs propres distinctes ne rendent pas les vecteurs proportionnels, n’imposent pas leurs normes, et ne peuvent être égales entre elles.

Question 19

19. Quelle propriété spectrale vaut pour toute matrice réelle symétrique ?

Elle est diagonalisable dans une base qui n’est pas nécessairement orthonormée

Elle est diagonalisable dans une base orthonormée

Elle est diagonalisable quelle que soit sa nature réelle ou complexe

Elle est orthogonale dans une base orthonormée

Explication

Le théorème spectral affirme que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. Une base propre quelconque ne garantit pas l’orthonormalité, la symétrie n’est pas l’orthogonalité, et cette conclusion ne concerne pas toute matrice sans hypothèse.

QCM : Produit scalaire et projections orthogonales (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ , on prend $u=(2,-1,3)$ et $v=(4,5,-2)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

2. Pour $u=(-3,4,12)$ dans $\mathbb{R}^3$ , quelle est sa norme euclidienne ?

3. Dans $\mathbb{R}^2$ , on considère $u=(2,3)$ et $v=(3,-2)$ . Quelle relation décrit ces deux vecteurs ?

4. Pour $u=(1,2)$ et $v=(3,-1)$ , quel calcul exprime le produit scalaire en inversant l’ordre des vecteurs ?

5. Deux vecteurs vérifient $\|u\|=5$ et $\|v\|=2$ . Quelle borne supérieure l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne-t-elle pour $|u\cdot v|$ ?

6. Trois points vectoriels $A,B,C$ vérifient $d(A,B)=5$ et $d(B,C)=8$ . Quelle borne la distance $d(A,C)$ doit-elle respecter ?

7. Dans $\mathbb{R}^4$ , une famille contient quatre vecteurs orthonormés. Quel rôle cette famille peut-elle jouer dans $\mathbb{R}^4$ ?

8. Dans une base orthonormée, les coordonnées de $u$ sont $X=(1,-2,2)$ et celles de $v$ sont $Y=(3,1,-1)$ . Quel est le couple formé du produit scalaire $u\cdot v$ et de la norme au carré $\|u\|^2$ ?

9. Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $A$ le sous-espace engendré par $a=(1,1,0)$ . Quelle condition caractérise un vecteur $u=(x,y,z)$ appartenant à $A^\perp$ ?

10. Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace $A$ est un plan passant par l’origine. Quelle relation décrit l’orthogonal de son orthogonal, et quelle somme obtient-on avec son orthogonal ?

11. Un vecteur $u\in\mathbb{R}^n$ est décomposé en une partie appartenant à un sous-espace $A$ et une partie appartenant à $A^\perp$ . Que peut-on affirmer de cette décomposition ?

12. Pour projeter orthogonalement un vecteur $u$ sur un sous-espace $A$ , quel rôle joue $p(u)$ dans la décomposition de $u$ ?

13. Un vecteur $u$ est projeté orthogonalement sur un sous-espace $A$ . Parmi les vecteurs de $A$ , lequel est $p(u)$ ?

14. Dans $\mathbb{R}^3$ , une base orthonormée de $A$ est $(e_1,e_2)$ . Pour un vecteur $u$ tel que $u\cdot e_1=2$ et $u\cdot e_2=-1$ , quelle est sa projection sur $A$ ?

15. Un endomorphisme $f$ vérifie $f\circ f=f$ et $\ker(f)=(\operatorname{Im}(f))^\perp$ . Quelle interprétation peut-on en déduire ?

16. Une matrice de passage $P$ relie deux bases orthonormées. Quelle relation permet de calculer son inverse ?

17. Dans une base orthonormée, la matrice $M$ représente une projection orthogonale. Quelle propriété doit-elle satisfaire ?

18. Une matrice réelle symétrique possède deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Quelle relation existe entre ces vecteurs ?

19. Quelle propriété spectrale vaut pour toute matrice réelle symétrique ?

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QCM : Produit scalaire et projections orthogonales (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans la base canonique de R3\mathbb{R}^3R3, on prend u=(2,−1,3)u=(2,-1,3)u=(2,−1,3) et v=(4,5,−2)v=(4,5,-2)v=(4,5,−2). Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

2. Pour u=(−3,4,12)u=(-3,4,12)u=(−3,4,12) dans R3\mathbb{R}^3R3, quelle est sa norme euclidienne ?

3. Dans R2\mathbb{R}^2R2, on considère u=(2,3)u=(2,3)u=(2,3) et v=(3,−2)v=(3,-2)v=(3,−2). Quelle relation décrit ces deux vecteurs ?

4. Pour u=(1,2)u=(1,2)u=(1,2) et v=(3,−1)v=(3,-1)v=(3,−1), quel calcul exprime le produit scalaire en inversant l’ordre des vecteurs ?

5. Deux vecteurs vérifient ∥u∥=5\|u\|=5∥u∥=5 et ∥v∥=2\|v\|=2∥v∥=2. Quelle borne supérieure l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne-t-elle pour ∣u⋅v∣|u\cdot v|∣u⋅v∣ ?

6. Trois points vectoriels A,B,CA,B,CA,B,C vérifient d(A,B)=5d(A,B)=5d(A,B)=5 et d(B,C)=8d(B,C)=8d(B,C)=8. Quelle borne la distance d(A,C)d(A,C)d(A,C) doit-elle respecter ?

7. Dans R4\mathbb{R}^4R4, une famille contient quatre vecteurs orthonormés. Quel rôle cette famille peut-elle jouer dans R4\mathbb{R}^4R4 ?

8. Dans une base orthonormée, les coordonnées de uuu sont X=(1,−2,2)X=(1,-2,2)X=(1,−2,2) et celles de vvv sont Y=(3,1,−1)Y=(3,1,-1)Y=(3,1,−1). Quel est le couple formé du produit scalaire u⋅vu\cdot vu⋅v et de la norme au carré ∥u∥2\|u\|^2∥u∥2 ?

9. Dans R3\mathbb{R}^3R3, soit AAA le sous-espace engendré par a=(1,1,0)a=(1,1,0)a=(1,1,0). Quelle condition caractérise un vecteur u=(x,y,z)u=(x,y,z)u=(x,y,z) appartenant à A⊥A^\perpA⊥ ?

10. Dans R3\mathbb{R}^3R3, un sous-espace AAA est un plan passant par l’origine. Quelle relation décrit l’orthogonal de son orthogonal, et quelle somme obtient-on avec son orthogonal ?

11. Un vecteur u∈Rnu\in\mathbb{R}^nu∈Rn est décomposé en une partie appartenant à un sous-espace AAA et une partie appartenant à A⊥A^\perpA⊥. Que peut-on affirmer de cette décomposition ?

12. Pour projeter orthogonalement un vecteur uuu sur un sous-espace AAA, quel rôle joue p(u)p(u)p(u) dans la décomposition de uuu ?

13. Un vecteur uuu est projeté orthogonalement sur un sous-espace AAA. Parmi les vecteurs de AAA, lequel est p(u)p(u)p(u) ?

14. Dans R3\mathbb{R}^3R3, une base orthonormée de AAA est (e1,e2) (e_1,e_2) (e1​,e2​). Pour un vecteur uuu tel que u⋅e1=2u\cdot e_1=2u⋅e1​=2 et u⋅e2=−1u\cdot e_2=-1u⋅e2​=−1, quelle est sa projection sur AAA ?

15. Un endomorphisme fff vérifie f∘f=ff\circ f=ff∘f=f et ker⁡(f)=(Im⁡(f))⊥\ker(f)=(\operatorname{Im}(f))^\perpker(f)=(Im(f))⊥. Quelle interprétation peut-on en déduire ?

16. Une matrice de passage PPP relie deux bases orthonormées. Quelle relation permet de calculer son inverse ?

17. Dans une base orthonormée, la matrice MMM représente une projection orthogonale. Quelle propriété doit-elle satisfaire ?

18. Une matrice réelle symétrique possède deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes. Quelle relation existe entre ces vecteurs ?

19. Quelle propriété spectrale vaut pour toute matrice réelle symétrique ?

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1. Dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ , on prend $u=(2,-1,3)$ et $v=(4,5,-2)$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

2. Pour $u=(-3,4,12)$ dans $\mathbb{R}^3$ , quelle est sa norme euclidienne ?

3. Dans $\mathbb{R}^2$ , on considère $u=(2,3)$ et $v=(3,-2)$ . Quelle relation décrit ces deux vecteurs ?

4. Pour $u=(1,2)$ et $v=(3,-1)$ , quel calcul exprime le produit scalaire en inversant l’ordre des vecteurs ?

5. Deux vecteurs vérifient $\|u\|=5$ et $\|v\|=2$ . Quelle borne supérieure l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne-t-elle pour $|u\cdot v|$ ?

6. Trois points vectoriels $A,B,C$ vérifient $d(A,B)=5$ et $d(B,C)=8$ . Quelle borne la distance $d(A,C)$ doit-elle respecter ?

7. Dans $\mathbb{R}^4$ , une famille contient quatre vecteurs orthonormés. Quel rôle cette famille peut-elle jouer dans $\mathbb{R}^4$ ?

8. Dans une base orthonormée, les coordonnées de $u$ sont $X=(1,-2,2)$ et celles de $v$ sont $Y=(3,1,-1)$ . Quel est le couple formé du produit scalaire $u\cdot v$ et de la norme au carré $\|u\|^2$ ?

9. Dans $\mathbb{R}^3$ , soit $A$ le sous-espace engendré par $a=(1,1,0)$ . Quelle condition caractérise un vecteur $u=(x,y,z)$ appartenant à $A^\perp$ ?

10. Dans $\mathbb{R}^3$ , un sous-espace $A$ est un plan passant par l’origine. Quelle relation décrit l’orthogonal de son orthogonal, et quelle somme obtient-on avec son orthogonal ?

11. Un vecteur $u\in\mathbb{R}^n$ est décomposé en une partie appartenant à un sous-espace $A$ et une partie appartenant à $A^\perp$ . Que peut-on affirmer de cette décomposition ?

12. Pour projeter orthogonalement un vecteur $u$ sur un sous-espace $A$ , quel rôle joue $p(u)$ dans la décomposition de $u$ ?

13. Un vecteur $u$ est projeté orthogonalement sur un sous-espace $A$ . Parmi les vecteurs de $A$ , lequel est $p(u)$ ?

14. Dans $\mathbb{R}^3$ , une base orthonormée de $A$ est $(e_1,e_2)$ . Pour un vecteur $u$ tel que $u\cdot e_1=2$ et $u\cdot e_2=-1$ , quelle est sa projection sur $A$ ?

15. Un endomorphisme $f$ vérifie $f\circ f=f$ et $\ker(f)=(\operatorname{Im}(f))^\perp$ . Quelle interprétation peut-on en déduire ?

16. Une matrice de passage $P$ relie deux bases orthonormées. Quelle relation permet de calculer son inverse ?

17. Dans une base orthonormée, la matrice $M$ représente une projection orthogonale. Quelle propriété doit-elle satisfaire ?