Flashcards : Produit scalaire et projections orthogonales (45 cartes)

Comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs dans la base canonique de $\mathbb R^n$ ?

Comment exprime-t-on la norme euclidienne d’un vecteur $u$ à partir de ses coordonnées ?

Quelle condition définit l’orthogonalité de deux vecteurs $u$ et $v$ ?

Quelles propriétés possède le produit scalaire ?

Quelle formule donne $\|u+v\|^2$ par polarisation ?

Quelle formule donne $\|u-v\|^2$ par polarisation ?

Quelle inégalité exprime Cauchy-Schwarz pour $u$ et $v$ ?

Quelle formule définit la distance euclidienne entre $u=(x_1,\ldots,x_n)$ et $v=(y_1,\ldots,y_n)$ dans $\mathbb R^n$ ?

Que devient toute famille orthonormée de $\mathbb R^n$ ?

Comment calculer $\|u\|^2$ avec les coordonnées $X$ dans une base orthonormée ?

Comment définit-on l’orthogonal $A^\perp$ d’un sous-espace vectoriel $A$ ?

À quoi est égal $\left(A^\perp\right)^\perp$ pour un sous-espace $A$ de $\mathbb R^n$ ?

Que vaut $A+A^\perp$ pour un sous-espace $A$ de $\mathbb R^n$ ?

Comment s’écrit chaque vecteur de $\mathbb R^n$ relativement à $A$ et $A^\perp$ ?

Que représente la projection orthogonale de $u$ sur $A$ ?

Quel vecteur de $A$ minimise la distance à $u$ ?

Quelle formule donne la projection de $u$ sur $A$ à partir d’une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_r)$ ?

Quelle relation vérifie la matrice de passage entre deux bases orthonormées ?

Quelle propriété possède la matrice d’une projection orthogonale dans une base orthonormée ?

Quelle relation lie deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d’une matrice réelle symétrique ?

Dans quel type de base toute matrice réelle symétrique est-elle diagonalisable ?

Quand un vecteur est-il dit unitaire ou normé ?

Quelle propriété caractérise les vecteurs d’une famille orthogonale ?

Quelle propriété supplémentaire caractérise une famille orthonormée ?

Comment la norme de $\lambda u$ s’exprime-t-elle en fonction de $\|u\|$ ?

Quelle inégalité de Minkowski relie $\|u+v\|$ à $\|u\|$ et $\|v\|$ ?

Quelle égalité caractérise l’orthogonalité de $u$ et $v$ selon Pythagore ?

Quelle propriété de symétrie vérifie la distance euclidienne entre $u$ et $v$ ?

Quand la distance entre deux vecteurs est-elle nulle ?

Quelle inégalité triangulaire vérifie la distance euclidienne entre $u$, $v$ et $w$ ?

Comment définit-on la distance d’un vecteur $u$ au sous-espace vectoriel $H$ ?

Comment calculer la coordonnée $x_i$ de $u$ dans une base orthonormée ?

Comment exprimer $u$ à partir de ses produits scalaires avec les vecteurs d'une base orthonormée ?

Quelle est la structure de l’orthogonal $A^\perp$ d’un sous-espace vectoriel $A$ ?

Quel est l’orthogonal de $\mathbb R^n$ ?

Si $A\subseteq B$, quelle inclusion relie leurs orthogonaux ?

Quelle relation vérifie la matrice $M$ d’une projection orthogonale ?

Quel est l’image d’une projection orthogonale sur $A$ ?

Quel est le noyau d’une projection orthogonale sur $A$ ?

Quelles sont les valeurs propres possibles d’une projection orthogonale ?

Quelle identité relie les normes de $u$, $p(u)$ et $u-p(u)$ ?

Quelle formule donne la projection de $u$ sur la droite $A=\operatorname{Vect}(a)$, avec $\|a\|=1$ ?

Quelle formule donne la projection de $u$ sur le plan $A=\operatorname{Vect}(e_1,e_2)$ muni d’une base orthonormée ?

À quelle condition un endomorphisme $f$ est-il la projection orthogonale sur $\operatorname{Im}(f)$ ?

Quelle formule exprime le produit scalaire de $u$ et $v$ à partir de leurs normes ?