Fiche de révision : Proportionnalité et applications

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentations
2. Reconnaître la proportionnalité
3. Calculer une quatrième proportionnelle
4. Pourcentages et remises
5. Échelles de représentation
6. Vitesse moyenne

📖 1. Définition et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

📌 Dans un graphique, deux grandeurs proportionnelles sont représentées par des points alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Compléments

• Le prix de photos vendues à l’unité et l’épaisseur d’une pile de journaux identiques sont des exemples de grandeurs proportionnelles.

📌 La taille d’une personne n’est pas proportionnelle à son âge, car une personne mesurant 1,50 m à 13 ans ne mesurera pas 3 m à 26 ans.

• Les représentations possibles sont : un tableau de proportionnalité, une notation fléchée, une notation fonctionnelle avec des parenthèses, un graphique

📖 2. Reconnaître la proportionnalité

★ À maîtriser

📌 Pour reconnaître une proportionnalité, on calcule les quotients des valeurs correspondantes et, s’ils sont tous égaux, le quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

• Dans le tableau de la viande, les quotients 15,4 ÷ 1,4 = 11, 36,3 ÷ 3,3 = 11 et 65,7 ÷ 5,7 ≈ 11,53 montrent que le tableau n’est pas proportionnel.

Compléments

• On peut reconnaître une proportionnalité en calculant un quotient, en multipliant les valeurs de la première grandeur par ce quotient, puis en vérifiant que l’on obtient les valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.

📌 Un graphique permet de reconnaître une proportionnalité lorsque les points semblent alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

💡 Astuce mémo

Quotient constant → coefficient → proportionnalité

📖 3. Calculer une quatrième proportionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Quatrième proportionnelle : Le nombre manquant que l’on peut calculer lorsque trois nombres sont connus dans deux colonnes d’un tableau de proportionnalité.

★ À maîtriser

• Les méthodes de calcul sont :

  • la méthode multiplicative
  • la méthode additive
  • le retour à l’unité ou règle de trois
  • le coefficient de proportionnalité
  • un graphique

• Le coefficient de proportionnalité se calcule par le quotient d’une valeur d’une grandeur par la valeur correspondante de l’autre grandeur, puis ce coefficient permet de multiplier ou diviser pour obtenir une valeur manquante.

Compléments

• Pour 5 m² de surface, il faut 3 kg de peinture, donc le coefficient vaut $c = 3 \div 5 = 0{,}6$ et il faut 24,6 kg pour 41 m².

💡 Astuce mémo

Multiplier, additionner, revenir à l’unité, appliquer le coefficient ou lire le graphique

📖 4. Pourcentages et remises

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Une proportion écrite sous forme d’une fraction dont le dénominateur est 100.

★ À maîtriser

• Dans une boisson de 25 mL contenant 15 mL de jus d’orange, le jus représente 60 % du volume, car $15 \div 25 = 0{,}6$ puis $0{,}6 \times 100 = 60$.

• Pour un ordinateur coûtant 800 euros avec une remise de 15 %, la remise est de 120 euros et le nouveau prix est de 680 euros.

Compléments

📐 Formule - Les égalités $20\% = \frac{20}{100} = 0{,}2$ et $62\% = \frac{62}{100} = 0{,}62$ montrent les écritures équivalentes d’un pourcentage.

💡 Astuce mémo

Proportion sur 100 → pourcentage → montant ou valeur recherchée

📖 5. Échelles de représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelle : Le coefficient de proportionnalité par lequel on multiplie les distances réelles d’un objet pour obtenir les distances correspondantes sur sa représentation, dans la même unité.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’échelle se calcule par le rapport $\text{échelle} = \frac{\text{distance sur la représentation}}{\text{distance réelle}}$.

• Une échelle de 1/1000 signifie que 1 cm sur la représentation correspond à 1000 cm, soit 10 m, dans la réalité.

Compléments

• Des reproductions à l’échelle sont :
  • un plan de ville
  • une image observée au microscope
  • une maquette de voiture

💡 Astuce mémo

Distance réelle ≠ distance représentée

📖 6. Vitesse moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse moyenne : La distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque la distance est exprimée en kilomètres et le temps en heures, la vitesse moyenne est exprimée en kilomètres par heure et vérifie $v = \frac{d}{t}$.

📐 Formule - Les relations entre vitesse, distance et temps sont $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$.

Compléments

• Un bus parcourant 120 km en 3 h a une vitesse moyenne de 40 km.h⁻¹, car $v = 120 \div 3 = 40$.

💡 Astuce mémo

V-D-T : vitesse, distance, temps