Fiche de révision : Proportionnalité et échelles

📋 Plan du Cours

1. Quatrième proportionnelle et proportionnalité
2. Coefficient et règle de trois
3. Applications de la proportionnalité
4. Définition et calcul d’une échelle
5. Applications numériques des échelles

📖 1. Quatrième proportionnelle et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Quatrième proportionnelle : Nombre manquant dans un tableau de proportionnalité.

★ À maîtriser

• Les méthodes de calcul sont:
  • la multiplication ou la division
  • l’additivité ou la soustraction
  • le retour à l’unité
  • le coefficient de proportionnalité

Compléments

• Dans le tableau associant 5 figures à 7,6 kg, 15 figures correspondent à 22,8 kg par multiplication par 3.

• Dans le tableau associant 50 m à 8 kg de CO₂ et 30 m à 4,8 kg, l’addition donne 80 m et 12,8 kg de CO₂.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser, additionner ou soustraire, revenir à l’unité

📖 2. Coefficient et règle de trois

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : Nombre constant qui permet de passer d’une ligne d’un tableau de proportionnalité à l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le tableau du ruban, le coefficient permettant de passer de la longueur au prix est $\frac{5}{3}$, soit environ $1{,}66$.

📐 Formule - La règle de trois permet de calculer la valeur manquante avec $x=\frac{\text{valeur connue de la première ligne}\times\text{valeur correspondante de la seconde ligne}}{\text{autre valeur connue de la première ligne}}$.

Compléments

• Pour 13,5 m de ruban au prix de 5 € pour 3 m, la règle de trois donne $x=13{,}5\times5\div3=22{,}5$ €.

💡 Astuce mémo

Le coefficient transforme toute la ligne, tandis que la règle de trois cible directement x

📖 3. Applications de la proportionnalité

★ À maîtriser

• Si 100 mL de soda contiennent 11 g de sucre, une canette de 33 cL contient 36,3 g de sucre.

Compléments

📐 Formule - Avec des morceaux de sucre de 5 g, les 36,3 g de sucre d’une canette correspondent à $36{,}3\div5=7{,}26$ morceaux.

• Pour couvrir 2,5 m² avec du gravier blanc, il faut utiliser la relation selon laquelle 15 kg couvrent 0,3 m² et le gravier coûte 1,10 € par kilogramme.

• Le gravier blanc entraîne des frais de livraison de 1,25 € par tranche de 25 kg.

• Le gravier gris est vendu en sacs de 35 kg à 28 € le sac, 24 kg couvrant 0,4 m², et sa livraison coûte 5 % du prix à payer.

💡 Astuce mémo

Situation réelle → tableau proportionnel → quantité ou coût recherché

📖 4. Définition et calcul d’une échelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelle : Coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles, exprimées dans la même unité.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’échelle se calcule par $\text{Échelle}=\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$, avec les deux longueurs exprimées dans la même unité.

📌 Sur un plan à l’échelle, les longueurs représentées sont proportionnelles aux longueurs réelles et un problème d’échelle se traite avec un tableau de proportionnalité.

• Une carte à l’échelle 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm en réalité, soit 2 km.

💡 Astuce mémo

Le plan est réduit, la réalité est la référence

📖 5. Applications numériques des échelles

★ À maîtriser

• Si 2 cm sur un plan représentent 10 m, alors 6 cm représentent 30 m et 80 m sont représentés par 16 cm.

Compléments

• Lorsque 1 cm sur une carte représente 250 m en réalité, l’échelle de la carte est 1/25 000.

• Une maquette de la tour Eiffel haute de 324 m à l’échelle 1/1 500 mesure 0,216 m, soit 21,6 cm.

• Une photo de la Joconde haute de 7,7 cm, dont l’original mesure 77 cm de haut et 53 cm de large, mesure 5,3 cm de large et est à l’échelle 1/10.

💡 Astuce mémo

Mesurer sur le plan → convertir les unités → appliquer le coefficient

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de calcul proportionnel