Fiche de révision : Puissances et calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des opérations
2. Définition des puissances
3. Règles de calcul des puissances
4. Calcul numérique et signes
5. Notation scientifique et nombres décimaux

📖 1. Vocabulaire des opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Vocabulaire des opérations : Le vocabulaire des opérations associe l’addition aux termes et à la somme, la soustraction aux termes et à la différence, la multiplication aux facteurs et au produit, la division au dividende, au diviseur, au quotient et au reste, et l’exponentiation à la base, à l’exposant et à la puissance.

📖 2. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : avec $n$ naturel, le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ ; $a$ est la base, $n$ l’exposant et $a^n$ la puissance.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre $a$, $a^0=1$.

Compléments

• L’exponentiation est l’opération qui permet d’écrire une multiplication de facteurs identiques sous la forme d’une puissance.

• On a $3^7=3\times3\times3\times3\times3\times3\times3=2187$.

💡 Astuce mémo

Une puissance visualise une base répétée comme facteur autant de fois que l’indique l’exposant.

📖 3. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une même base, on a $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ si $a\ne0$, et $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$.

📐 Formule — Pour un même exposant, on a $a^m\times b^m=(a\times b)^m$ et $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ si $b\ne0$.

📌 Une puissance $a^n$ est négative si et seulement si sa base $a$ est négative et son exposant $n$ est impair.

Compléments

📌 Il n’existe pas de règle générale analogue pour additionner ou soustraire des puissances lorsque les bases et les exposants ne permettent pas une transformation prévue.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne, multiplie ou soustrait les exposants selon l’opération.

📖 4. Calcul numérique et signes

★ À maîtriser

• 🔄 L’ordre de calcul est:

  1. parenthèses
  2. puissances
  3. multiplications et divisions
  4. additions et soustractions

• Pour additionner des nombres relatifs de même signe, on additionne les distances à zéro et on conserve le signe ; pour des signes différents, on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

• Soustraire un nombre revient à additionner son opposé, car $a-b=a+(-b)$.

• Pour un produit ou un quotient, des signes identiques donnent un résultat positif et des signes différents donnent un résultat négatif.

Compléments

📌 Dans un produit comportant plusieurs facteurs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, multiplications-divisions, additions-soustractions.

📖 5. Notation scientifique et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : un nombre qui peut s’écrire comme le quotient d’un entier par une puissance de 10, c’est-à-dire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$.
• Notation scientifique : l’écriture unique d’un nombre décimal non nul sous la forme $m\times10^n$, avec $1\le m<10$ et $n\in\mathbb Z$.

★ À maîtriser

• Le calcul donne $343^{10}=22539340290692258087863249249\approx2{,}253934029\times10^{25}$.

Compléments

• La fraction $\frac{1}{25}$ est un nombre décimal, car elle peut s’écrire $\frac{4}{10^2}$.

📌 La fraction $\frac13$ n’est pas un nombre décimal, car supposer qu’elle le soit conduirait à une contradiction avec le fait que la somme de ses chiffres ne permet pas d’obtenir un multiple de 3.

• Les préfixes de puissances de 10 comprennent téra $10^{12}$, giga $10^9$, méga $10^6$, kilo $10^3$, hecto $10^2$, déci $10^{-1}$, centi $10^{-2}$, milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$ et pico $10^{-12}$.

💡 Astuce mémo

La notation scientifique donne une valeur exacte, tandis que l’ordre de grandeur donne une valeur approchée.

📊 Tableaux de synthèse

Vocabulaire des opérations