Fiche de révision : Puissances et notation scientifique

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances positives
2. Signe et propriétés des puissances
3. Exposants négatifs et puissances de dix
4. Notation scientifique et préfixes
5. Opérations sur les puissances
6. Priorités et erreurs de calcul

📖 1. Définition des puissances positives

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : le produit de n facteurs tous égaux à a

★ À maîtriser

• La puissance $a^0$ vaut 1 si a est non nul, tandis que $a^1=a$.

Compléments

• $a^2=a\times a$ se lit « a au carré » et $a^3=a\times a\times a$ se lit « a au cube ».

• Pour calculer une puissance sur une calculatrice, on utilise les touches $x^2$, $x^3$ ou $x^n$, et dans un tableur l’opérateur ^, par exemple 3^5.

💡 Astuce mémo

Carré, cube, puis puissance d’exposant n

📖 2. Signe et propriétés des puissances

📝 Points essentiels

📌 Si la base a est positive, $a^n$ est positive ; si la base a est négative, $a^n$ est positive lorsque n est pair et négative lorsque n est impair.

📌 Pour des nombres relatifs non nuls a et b et un entier relatif n, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Exposant pair : positif ; exposant impair : négatif pour une base négative

📖 3. Exposants négatifs et puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance négative : l’inverse de $a^n$, c’est-à-dire $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

★ À maîtriser

• Pour tout entier positif non nul n, $10^n$ est égal à 1 suivi de n zéros.

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier positif non nul n, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$ et son écriture décimale comporte n chiffres après la virgule avant le chiffre 1.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif → inverse de la puissance positive

📖 4. Notation scientifique et préfixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : l’unique écriture $a\times10^n$ où n est un entier relatif et où a est un nombre décimal vérifiant $1\leq a<10$

📝 Points essentiels

• Les préfixes correspondent à des puissances de dix : téra T pour $10^{12}$, giga G pour $10^9$, méga M pour $10^6$, kilo k pour $10^3$, hecto h pour $10^2$ et déca da pour $10^1$.

• Les préfixes correspondent aussi à des puissances négatives de dix : déci d pour $10^{-1}$, centi c pour $10^{-2}$, milli m pour $10^{-3}$, micro μ pour $10^{-6}$, nano n pour $10^{-9}$ et pico p pour $10^{-12}$.

💡 Astuce mémo

Un nombre décimal déplacé autour de 1 à 10, suivi d’une puissance de dix

📖 5. Opérations sur les puissances

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un nombre relatif non nul a et des entiers relatifs n et p, $a^n\times a^p=a^{n+p}$.

📐 Formule — Pour un nombre relatif non nul a et des entiers relatifs n et p, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne ; quotient : on soustrait ; puissance : on multiplie

📖 6. Priorités et erreurs de calcul

★ À maîtriser

📌 Le calcul d’une puissance est prioritaire car une puissance représente un produit.

📌 Les expressions $(−3)^2$ et $−3^2$ sont différentes : la première vaut 9, tandis que la seconde vaut −9.

Compléments

• Dans l’expression $A=7^2+3^3$, les puissances sont calculées avant l’addition.

💡 Astuce mémo

(−3)² est positif, alors que −3² est négatif

📊 Tableaux de synthèse

Préfixes des puissances de dix