Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Écriture et puissances particulières
2. Règles de calcul des puissances
3. Puissances de dix et signes
4. Racines carrées et carrés parfaits
5. Calcul et simplification des racines
6. Puissances et racines inverses
7. Erreurs fréquentes sur puissances et racines

📖 1. Écriture et puissances particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Sert à écrire plus simplement une multiplication répétée du même nombre.

★ À maîtriser

• Dans une puissance, le nombre répété est la base et le nombre qui indique combien de fois il est répété est l’exposant ; par exemple, 2⁴ se lit « 2 puissance 4 ».

📐 Formule - $a^1=a$, $a^2=a\times a$ et $a^3=a\times a\times a$.

Compléments

📌 Pour a non nul, $a^0=1$ et $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

• Par exemple, $2^4=2\times2\times2\times2=16$.

📖 2. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour multiplier des puissances de même base, $a^m\times a^n=a^{m+n}$ : on additionne les exposants.

📐 Formule - Pour diviser des puissances de même base non nulle, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ : on soustrait les exposants.

📐 Formule - Pour élever une puissance à une autre puissance, $(a^m)^n=a^{m\times n}$ : on multiplie les exposants.

Compléments

📐 Formule - La puissance d’un produit vérifie $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

📐 Formule - Pour b non nul, la puissance d’un quotient vérifie $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

📖 3. Puissances de dix et signes

★ À maîtriser

• Pour un exposant positif n, $10^n$ donne 1 suivi de n zéros.

📐 Formule - Pour un entier positif n, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

📌 Avec une base négative entre parenthèses, le signe moins appartient à la base et $(-3)^2=9$, tandis que $-3^2=-(3^2)=-9$.

Compléments

• Avec un exposant impair, $(-3)^3=-27$.

💡 Astuce mémo

Avec parenthèses, le signe appartient à la base ; sans elles, le signe moins reste devant la puissance.

📖 4. Racines carrées et carrés parfaits

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre positif a.

★ À maîtriser

• Les carrés parfaits des entiers de 0 à 15 sont 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 et 225.

Compléments

• Comme 12² = 144, $\sqrt{144}=12$.

📖 5. Calcul et simplification des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b positifs ou nuls, $\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📌 On additionne ou soustrait des racines carrées seulement lorsqu’elles ont la même partie sous le radical, par exemple $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$.

Compléments

📐 Formule - Pour a positif ou nul et b strictement positif, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

• Pour simplifier une racine, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine, puis on extrait sa racine carrée.

• Par exemple, $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$.

📖 6. Puissances et racines inverses

★ À maîtriser

• Le carré et la racine carrée sont des opérations inverses lorsqu’on travaille avec un nombre positif.

📐 Formule - Pour a positif ou nul, $\left(\sqrt a\right)^2=a$.

Compléments

• Si x = −4, alors $\sqrt{x^2}=\sqrt{16}=4$ et non −4.

💡 Astuce mémo

Le carré retrouve le nombre positif ; la racine de son carré donne sa valeur absolue.

📖 7. Erreurs fréquentes sur puissances et racines

★ À maîtriser

📌 L’équation $x^2=25$ possède deux solutions, x = 5 et x = −5, tandis que $\sqrt{25}=5$ désigne uniquement le résultat positif.

Compléments

• $2^3$ signifie 2 multiplié par lui-même trois fois, soit 8, et non 2 multiplié par 3.

• Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants ; ainsi $2^3\times2^4=2^7$, et non $2^{12}$.

• Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants ; ainsi $(2^3)^2=2^6$, et non $2^5$.

• La racine carrée principale est positive ou nulle : $\sqrt{25}=5$ et non $\pm5$.

• La racine d’une somme ne se sépare pas en somme de racines, car $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\neq\sqrt4+\sqrt9$.

💡 Astuce mémo

L’équation x² = 25 admet deux solutions, tandis que √25 désigne seulement 5.