QCM : Puissances, racines et intervalles (22 questions)

Question 1

1. Comment interpréter $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel ?

Comme le quotient de

a

par

n

Comme le produit de

a

facteurs égaux à

n

Comme la somme de

n

termes égaux à

a

Comme le produit de

n

facteurs égaux à

a

Explication

Une puissance d’exposant naturel indique que la base $a$ est multipliée par elle-même $n$ fois. La somme de termes égaux à $a$ correspondrait plutôt à une multiplication de $a$ par $n$ .

Answer

Comme le produit de $$n$$ facteurs égaux à $$a$$

Question 2

2. Quelle est la valeur de $(-3)^4$ et de $-3^4$ , dans cet ordre ?

-81

et

81

-81

et

-81

81

et

81

81

et

-81

Explication

Dans $(-3)^4$ , le signe moins appartient à la base et la puissance paire donne un résultat positif. Dans $-3^4$ , l’exposant porte sur $3$ avant l’application du signe moins extérieur, contrairement à l’interprétation où toute la base serait $-3$ .

Answer

$$81$$ et $$-81$$

Question 3

3. Pour une même base non nulle, quelle expression est égale à $\frac{a^n}{a^p}$ lorsque le quotient est défini ?

a^{n-p}

a^{p-n}

a^{np}

a^{n+p}

Explication

Lorsqu’on divise deux puissances de même base, on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur. Additionner les exposants est la règle correspondant à une multiplication des puissances.

Answer

$$a^{n-p}$$

Question 4

4. Pour $a,b\ne 0$ , quelle expression est égale à $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ ?

\frac{a^n}{b^n}

\frac{a}{b^n}

\frac{a^{n}}{b^{n+1}}

\frac{a^n}{b}

Explication

Une puissance appliquée à un quotient se distribue au numérateur et au dénominateur avec le même exposant. L’expression qui ne met la puissance qu’au numérateur ne respecte pas cette règle.

Answer

$$\frac{a^n}{b^n}$$

Question 5

5. Quelle différence distingue $\mathbb{N}$ de $\mathbb{N}^*$ ?

\mathbb{N}

contient zéro, tandis que

\mathbb{N}^*

l’exclut

\mathbb{N}^*

contient zéro, tandis que

\mathbb{N}

l’exclut

\mathbb{N}^*

contient les entiers négatifs, contrairement à

\mathbb{N}

\mathbb{N}

contient les entiers négatifs, contrairement à

\mathbb{N}^*

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ comprend zéro et les entiers naturels positifs, alors que $\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\setminus\{0\}$ . Confondre les deux ensembles revient à attribuer zéro à $\mathbb{N}^*$ .

Answer

$$\mathbb{N}$$ contient zéro, tandis que $$\mathbb{N}^*$$ l’exclut

Question 6

6. Quelle description correspond à $\mathbb{Z}^+$ ?

L’ensemble des entiers relatifs privés de zéro

L’ensemble des entiers naturels, zéro compris

L’ensemble des entiers relatifs positifs privés de zéro

L’ensemble des entiers relatifs négatifs et zéro

Explication

La notation $\mathbb{Z}^+$ désigne ici $\mathbb{N}$ , qui comprend zéro et les entiers naturels. Les entiers relatifs privés de zéro correspondent à $\mathbb{Z}^*$ .

Answer

L’ensemble des entiers naturels, zéro compris

Question 7

7. Quelle propriété permet de reconnaître un nombre décimal parmi les rationnels ?

Il ne peut pas s’écrire comme un quotient d’entiers

Il admet une écriture décimale périodique infinie

Il admet une écriture décimale finie

Il possède nécessairement une partie entière négative

Explication

Un nombre décimal est un quotient d’un entier relatif par une puissance de dix, ce qui donne une écriture décimale finie. Une écriture périodique infinie caractérise ici un rationnel qui n’est pas décimal.

Answer

Il admet une écriture décimale finie

Question 8

8. Laquelle de ces chaînes d’inclusions respecte l’ordre des ensembles de nombres du plus petit au plus grand ?

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. La chaîne qui place les décimaux avant les entiers inverse une inclusion, puisque tout entier est un nombre décimal.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Question 9

9. Dans les nombres réels, pour quelles valeurs de $a$ la racine carrée $\sqrt{a}$ est-elle définie ?

Pour

a\le 0

Pour

a\ge 0

Pour

a>0

Pour tout réel

a

Explication

La racine carrée réelle est définie lorsque son radicande est positif ou nul. La condition $a>0$ exclurait à tort le cas $a=0$ .

Answer

Pour $$a\ge 0$$

Question 10

10. Si $a\ge 0$ et $b>0$ , quelle expression est égale à $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ?

\sqrt{\frac{a}{b}}

\sqrt{\frac{b}{a}}

\frac{\sqrt{a}}{b}

\sqrt{a-b}

Explication

Le quotient de deux racines carrées, avec un dénominateur positif, s’écrit comme la racine carrée du quotient des radicandes. Inverser le numérateur et le dénominateur donnerait le quotient inverse.

Answer

$$\sqrt{\frac{a}{b}}$$

Question 11

11. Pour $a,b\ge 0$ , quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’une somme ?

On a toujours

\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

En général,

\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}

On a toujours

\sqrt{a+b}=\sqrt{ab}

Lorsque

a\ge b

,

\sqrt{a+b}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

Explication

La racine carrée ne se distribue généralement pas sur une somme : la racine de la somme diffère de la somme des racines. La propriété de produit des racines porte sur un produit de radicandes, et non sur leur somme.

Answer

En général, $$\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Question 12

12. Si $a<0$ , à quoi est égal $\sqrt{a^2}$ ?

-a^2

a^2

-a

a

Explication

Pour tout réel $a$ , $\sqrt{a^2}=|a|$ ; lorsque $a<0$ , sa valeur absolue est $-a$ . L’expression $a$ serait négative dans ce cas, alors que la racine carrée est positive ou nulle.

Answer

Extraire le plus grand carré parfait comme facteur du radicande, puis simplifier sa racine.

Answer

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$\sqrt{7}$$ afin d’obtenir un dénominateur rationnel.

Answer

L’extrémité appartient à l’intervalle.

Answer

Il appartient aux deux intervalles à la fois.

Answer

Les réels qui appartiennent à l’un ou à l’autre intervalle, y compris ceux qui appartiennent aux deux.

Answer

$$6$$, la distance entre $$x$$ et $$0$$.

Answer

$$|-2-5|$$, ce qui équivaut à $$|5-(-2)|$$.

Answer

$$|x+y|=3\leq |x|+|y|=5$$.

Answer

$$x=r$$ ou $$x=-r$$

Answer

$$1{,}9<x<2{,}1$$

Question 13

13. Pour écrire $\sqrt{180}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quelle démarche faut-il appliquer ?

Extraire le plus grand carré parfait comme facteur du radicande, puis simplifier sa racine.

Séparer le radicande en facteurs premiers, puis additionner leurs exposants.

Diviser le radicande par son plus petit facteur, puis conserver sa racine entière.

Multiplier le radicande par un carré parfait, puis réduire le résultat.

Explication

Le facteur carré parfait le plus grand permet de faire sortir de la racine un facteur entier et de laisser un radicande minimal. La décomposition en facteurs premiers peut aider au calcul, mais additionner les exposants ne constitue pas la règle de simplification.

Question 14

14. Quelle opération permet de supprimer le radical au dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{7}}$ ?

Soustraire

\sqrt{7}

au numérateur et au dénominateur pour rationaliser la fraction.

Multiplier le numérateur par

\sqrt{7}

et laisser le dénominateur inchangé.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

\sqrt{7}

afin d’obtenir un dénominateur rationnel.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

7

afin de conserver le radical.

Explication

Multiplier les deux termes de la fraction par la même racine conserve sa valeur et transforme le dénominateur en $7$ . Modifier le numérateur sans modifier aussi le dénominateur changerait la valeur de la fraction.

Question 15

15. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet fermé placé à une extrémité réelle ?

L’extrémité appartient à l’intervalle.

L’intervalle ne possède pas de borne à cette extrémité.

L’extrémité est le milieu de l’intervalle.

L’extrémité est exclue de l’intervalle.

Explication

Un crochet fermé indique que la borne correspondante est incluse dans l’intervalle. Un crochet ouvert, contrairement à ce que l’on pourrait confondre, exclut l’extrémité.

Question 16

16. Si un réel appartient à l’intersection de deux intervalles, que peut-on en conclure ?

Il est une extrémité commune aux deux intervalles.

Il se trouve entre les bornes extérieures des deux intervalles.

Il appartient aux deux intervalles à la fois.

Il appartient à au moins l’un des deux intervalles.

Explication

L’intersection rassemble les réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles. Appartenir à au moins l’un d’eux décrit plutôt la réunion.

Question 17

17. Que contient la réunion de deux intervalles ?

Les réels qui appartiennent simultanément aux deux intervalles.

Les réels qui n’appartiennent à aucun des deux intervalles.

Les réels situés entre les deux bornes les plus proches des intervalles.

Les réels qui appartiennent à l’un ou à l’autre intervalle, y compris ceux qui appartiennent aux deux.

Explication

La réunion regroupe les éléments de l’un ou l’autre intervalle et inclut donc leur éventuelle partie commune. La condition d’appartenance simultanée correspond à l’intersection.

Question 18

18. Pour $x=-6$ , quelle valeur prend $|x|$ et que représente-t-elle ?

6

, la distance entre

x

et

0

.

-6

, le nombre lui-même lorsqu’il est négatif.

0

, car la valeur absolue annule les nombres négatifs.

-12

, le double de la distance entre

x

et

0

.

Explication

Lorsque $x<0$ , sa valeur absolue vaut $-x$ : ici, $|-6|=6$ , la distance à zéro. La valeur absolue n’est pas négative, même si le nombre considéré l’est.

Question 19

19. Quelle expression donne la distance entre les réels $-2$ et $5$ ?

|-2-5|

, ce qui équivaut à

|5-(-2)|

.

|-2|+|5|

, ce qui est la somme de leurs distances à zéro.

|-2+5|

, ce qui mesure la somme des deux nombres.

-2-5

, ce qui conserve le signe de la différence.

Explication

La distance entre deux réels est la valeur absolue de leur différence, quel que soit l’ordre de soustraction. La somme de leurs valeurs absolues mesure autre chose et ne constitue pas la définition générale de cette distance.

Question 20

20. Si $x=-4$ et $y=1$ , quelle comparaison illustre l’inégalité triangulaire ?

|x+y|=3\leq |x|+|y|=5

.

|x+y|=5\leq |x|+|y|=3

.

|x+y|=3=|x|+|y|=5

.

|x+y|=5=|x|+|y|=5

.

Explication

La somme vaut $x+y=-3$ , donc $|x+y|=3$ , tandis que $|x|+|y|=4+1=5$ . L’inégalité triangulaire impose que la valeur absolue d’une somme soit inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.

Question 21

21. Pour un réel $r \geq 0$ , quelle forme équivalente décrit l’équation $|x|=r$ ?

x=r

ou

x=-r

-r<x<r

x>r

ou

x<-r

x=r

uniquement lorsque

r

est positif

Explication

La valeur absolue de $x$ vaut $r$ lorsque $x$ est à une distance $r$ de zéro, ce qui donne les deux possibilités $r$ et $-r$ . L’intervalle ouvert décrit plutôt une inéquation de la forme $|x|<r$ .

Question 22

22. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-2|<0{,}1$ ?

1{,}9\leq x\leq 2{,}1

1{,}9<x<2{,}1

x=1{,}9

ou

x=2{,}1

x<1{,}9

ou

x>2{,}1

Explication

L’inégalité signifie que la distance entre $x$ et $2$ est inférieure à $0{,}1$ , donc $x$ se trouve strictement entre $1{,}9$ et $2{,}1$ . Les bornes ne sont pas incluses, contrairement à l’intervalle fermé proposé par un distracteur.

QCM : Puissances, racines et intervalles (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment interpréter $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel ?

2. Quelle est la valeur de $(-3)^4$ et de $-3^4$ , dans cet ordre ?

3. Pour une même base non nulle, quelle expression est égale à $\frac{a^n}{a^p}$ lorsque le quotient est défini ?

4. Pour $a,b\ne 0$ , quelle expression est égale à $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ ?

5. Quelle différence distingue $\mathbb{N}$ de $\mathbb{N}^*$ ?

6. Quelle description correspond à $\mathbb{Z}^+$ ?

7. Quelle propriété permet de reconnaître un nombre décimal parmi les rationnels ?

8. Laquelle de ces chaînes d’inclusions respecte l’ordre des ensembles de nombres du plus petit au plus grand ?

9. Dans les nombres réels, pour quelles valeurs de $a$ la racine carrée $\sqrt{a}$ est-elle définie ?

10. Si $a\ge 0$ et $b>0$ , quelle expression est égale à $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ?

11. Pour $a,b\ge 0$ , quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’une somme ?

12. Si $a<0$ , à quoi est égal $\sqrt{a^2}$ ?

13. Pour écrire $\sqrt{180}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quelle démarche faut-il appliquer ?

14. Quelle opération permet de supprimer le radical au dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{7}}$ ?

15. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet fermé placé à une extrémité réelle ?

16. Si un réel appartient à l’intersection de deux intervalles, que peut-on en conclure ?

17. Que contient la réunion de deux intervalles ?

18. Pour $x=-6$ , quelle valeur prend $|x|$ et que représente-t-elle ?

19. Quelle expression donne la distance entre les réels $-2$ et $5$ ?

20. Si $x=-4$ et $y=1$ , quelle comparaison illustre l’inégalité triangulaire ?

21. Pour un réel $r \geq 0$ , quelle forme équivalente décrit l’équation $|x|=r$ ?

22. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-2|<0{,}1$ ?

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QCM : Puissances, racines et intervalles (22 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment interpréter ana^nan lorsque nnn est un entier naturel ?

2. Quelle est la valeur de (−3)4(-3)^4(−3)4 et de −34-3^4−34, dans cet ordre ?

3. Pour une même base non nulle, quelle expression est égale à anap\frac{a^n}{a^p}apan​ lorsque le quotient est défini ?

4. Pour a,b≠0a,b\ne 0a,b=0, quelle expression est égale à (ab)n\left(\frac{a}{b}\right)^n(ba​)n ?

5. Quelle différence distingue N\mathbb{N}N de N∗\mathbb{N}^*N∗ ?

6. Quelle description correspond à Z+\mathbb{Z}^+Z+ ?

7. Quelle propriété permet de reconnaître un nombre décimal parmi les rationnels ?

8. Laquelle de ces chaînes d’inclusions respecte l’ordre des ensembles de nombres du plus petit au plus grand ?

9. Dans les nombres réels, pour quelles valeurs de aaa la racine carrée a\sqrt{a}a​ est-elle définie ?

10. Si a≥0a\ge 0a≥0 et b>0b>0b>0, quelle expression est égale à ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}b​a​​ ?

11. Pour a,b≥0a,b\ge 0a,b≥0, quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’une somme ?

12. Si a<0a<0a<0, à quoi est égal a2\sqrt{a^2}a2​ ?

13. Pour écrire 180\sqrt{180}180​ sous la forme aba\sqrt{b}ab​ avec bbb minimal, quelle démarche faut-il appliquer ?

14. Quelle opération permet de supprimer le radical au dénominateur de 37\frac{3}{\sqrt{7}}7​3​ ?

15. Dans la notation d’un intervalle, que signifie un crochet fermé placé à une extrémité réelle ?

16. Si un réel appartient à l’intersection de deux intervalles, que peut-on en conclure ?

17. Que contient la réunion de deux intervalles ?

18. Pour x=−6x=-6x=−6, quelle valeur prend ∣x∣|x|∣x∣ et que représente-t-elle ?

19. Quelle expression donne la distance entre les réels −2-2−2 et 555 ?

20. Si x=−4x=-4x=−4 et y=1y=1y=1, quelle comparaison illustre l’inégalité triangulaire ?

21. Pour un réel r≥0r \geq 0r≥0, quelle forme équivalente décrit l’équation ∣x∣=r|x|=r∣x∣=r ?

22. Quelle est la solution de l’inéquation ∣x−2∣<0,1|x-2|<0{,}1∣x−2∣<0,1 ?

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1. Comment interpréter $a^n$ lorsque $n$ est un entier naturel ?

2. Quelle est la valeur de $(-3)^4$ et de $-3^4$ , dans cet ordre ?

3. Pour une même base non nulle, quelle expression est égale à $\frac{a^n}{a^p}$ lorsque le quotient est défini ?

4. Pour $a,b\ne 0$ , quelle expression est égale à $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ ?

5. Quelle différence distingue $\mathbb{N}$ de $\mathbb{N}^*$ ?

6. Quelle description correspond à $\mathbb{Z}^+$ ?

9. Dans les nombres réels, pour quelles valeurs de $a$ la racine carrée $\sqrt{a}$ est-elle définie ?

10. Si $a\ge 0$ et $b>0$ , quelle expression est égale à $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ?

11. Pour $a,b\ge 0$ , quelle affirmation décrit correctement la racine carrée d’une somme ?

12. Si $a<0$ , à quoi est égal $\sqrt{a^2}$ ?

13. Pour écrire $\sqrt{180}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ minimal, quelle démarche faut-il appliquer ?

14. Quelle opération permet de supprimer le radical au dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{7}}$ ?

18. Pour $x=-6$ , quelle valeur prend $|x|$ et que représente-t-elle ?

19. Quelle expression donne la distance entre les réels $-2$ et $5$ ?

20. Si $x=-4$ et $y=1$ , quelle comparaison illustre l’inégalité triangulaire ?

21. Pour un réel $r \geq 0$ , quelle forme équivalente décrit l’équation $|x|=r$ ?

22. Quelle est la solution de l’inéquation $|x-2|<0{,}1$ ?