Fiche de révision : Puissances, racines et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Puissances et règles de calcul
2. Ensembles de nombres
3. Racines carrées et opérations
4. Simplification des expressions radicales
5. Intervalles et opérations
6. Valeur absolue et distance
7. Équations et inéquations absolues

📖 1. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Une puissance paire de −3 entre parenthèses vaut 81, tandis que −3⁴ vaut −81, car le signe moins extérieur n’est pas élevé à la puissance.

📐 Formule - Pour des exposants entiers, $a^n\times a^p=a^{n+p}$ et, lorsque le quotient est défini, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule - Les règles de puissances donnent $(a^n)^p=a^{np},\quad (ab)^n=a^nb^n,\quad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ lorsque les expressions sont définies.

Compléments

• Pour a non nul, a⁰ = 1 et a⁻¹ = 1/a ; de plus, a¹ = a, 1ᵖ = 1 et 0ⁿ = 0 pour n strictement positif.

📖 2. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels forment l’ensemble N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}, tandis que N* = N{0}.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés Z, comprennent les entiers positifs, négatifs et zéro ; Z* = Z{0} et Z⁺ = N.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal est le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10, ce qui correspond à une écriture décimale finie.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire a/b, avec a entier et b entier non nul.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles de nombres sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• √2, −√3/2 et π sont des nombres irrationnels, c’est-à-dire des réels qui n’appartiennent pas à Q.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : chaque ensemble élargit le précédent.

📖 3. Racines carrées et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a ; la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ; si b > 0, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 En général, √(a+b) n’est pas égal à √a + √b, et pour a ≥ b, √(a−b) n’est pas égal à √a − √b.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$, soit a si a ≥ 0 et −a si a < 0.

Compléments

• Les racines carrées des carrés parfaits de 0² à 20² sont respectivement les entiers de 0 à 20.

💡 Astuce mémo

Le produit et le quotient passent sous la racine, contrairement à la somme et à la différence.

📖 4. Simplification des expressions radicales

★ À maîtriser

• Pour écrire une racine sous la forme a√b avec b minimal, on extrait le plus grand carré parfait comme facteur du radicande, puis on simplifie sa racine.

• Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la même racine afin d’obtenir un dénominateur rationnel.

Compléments

• En réduisant les radicaux semblables, 4√3 − 2√3 + 6√3 = 8√3.

• En rationalisant le dénominateur, 1/√5 = √5/5.

💡 Astuce mémo

Repérer un carré parfait, l’extraire, puis réduire les radicaux semblables.

📖 5. Intervalles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est une partie de R définie par des bornes et des crochets qui indiquent si ses extrémités sont incluses.
• Intersection d’intervalles : L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des réels appartenant aux deux intervalles à la fois.
• Réunion d’intervalles : La réunion de deux intervalles est l’ensemble des réels appartenant à l’un ou l’autre, y compris ceux de leur intersection.

📝 Points essentiels

• Pour un intervalle borné d’extrémités a < b, son milieu est (a+b)/2, son rayon est (b−a)/2 et sa longueur est b−a.

📌 Les crochets du côté de −∞ ou de +∞ sont toujours ouverts, et R se note ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

L’intersection garde le commun ; la réunion rassemble l’un ou l’autre.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour un réel x, |x| vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0 ; elle représente la distance entre x et 0 et est toujours positive ou nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distance entre deux réels x et y est $d(x,y)=|x-y|=|y-x|$.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $|x+y|\leq |x|+|y|$, ce qui est l’inégalité triangulaire.

Compléments

• Pour des réels x et y, |−x| = |x|, |x| = 0 si et seulement si x = 0, et |x| = |y| si et seulement si x = y ou x = −y.

📐 Formule - Pour des réels x et y avec y ≠ 0, $|xy|=|x||y|$ et $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |x| est la distance de x à 0, sans tenir compte du côté.

📖 7. Équations et inéquations absolues

★ À maîtriser

📌 Pour r ≥ 0, |x| = r équivaut à x = r ou x = −r.

Compléments

• L’équation |x−5| = 1 a pour solutions x = 4 et x = 6.

• L’inéquation |x−2| < 0,1 équivaut à 1,9 < x < 2,1, soit l’intervalle ]1,9 ; 2,1[.

💡 Astuce mémo

Une égalité donne deux valeurs isolées ; une inégalité donne un ou deux intervalles.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres