Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Les ensembles de nombres réels
2. Encadrement et arrondi des réels
3. Intervalles bornés et non bornés
4. Distance et valeur absolue
5. Réunion et intersection d’intervalles
6. Valeur absolue et intervalles centrés

📖 1. Les ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des nombres entiers positifs.
• Entiers relatifs : Ensemble des nombres entiers positifs et négatifs.
• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, comprenant les nombres rationnels et irrationnels.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• ℝ⁺ désigne l’ensemble des réels positifs, ℝ⁻ celui des réels négatifs et ℝ* celui des réels sauf zéro.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble s’élargit vers le suivant.

📖 2. Encadrement et arrondi des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Trouver deux nombres a et b tels que $a \leq x \leq b$.
• Arrondi : Valeur la plus proche à une précision donnée.
• Amplitude : Différence entre les deux bornes de l’encadrement, soit $b-a$.

📝 Points essentiels

• Un encadrement de π d’amplitude 10⁻¹ est $3{,}1 < \pi < 3{,}2$, et son arrondi à 10⁻¹ est 3,1.

📖 3. Intervalles bornés et non bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Un intervalle borné de bornes a et b, avec a < b, rassemble les réels compris entre ces deux bornes selon que chacune est incluse ou exclue.
• Intervalle non borné : Un intervalle non borné s’étend jusqu’à −∞ ou +∞ et se note avec une borne réelle et une borne infinie.

📝 Points essentiels

📌 Dans [a ; b], les deux bornes sont incluses ; dans ]a ; b[, elles sont exclues ; dans [a ; b[, a est inclus et b exclu ; dans ]a ; b], a est exclu et b inclus.

📌 Les notations ]−∞ ; a], ]−∞ ; a[, [a ; +∞[ et ]a ; +∞[ correspondent respectivement à $x \leq a$, $x < a$, $x \geq a$ et $x > a$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 4. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre x et 0.
• Distance de deux réels : Distance entre les points d’abscisses a et b sur la droite numérique, notée |b − a|.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, $|x|=x$ si $x \geq 0$ et $|x|=-x$ si $x < 0$.

Compléments

📌 La distance de a à b vaut a − b si a ≥ b, et b − a si a ≤ b.

• La valeur absolue représente notamment les distances |√2 − 3| entre √2 et 3, |x − 3| entre x et 3, |x + 1| entre x et −1, et |−π − x| entre −π et x.

💡 Astuce mémo

Sur la droite graduée, |x| est la longueur du segment entre 0 et x.

📖 5. Réunion et intersection d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : Ensemble des réels appartenant à la fois à l’un et à l’autre, noté avec le symbole ∩.

📝 Points essentiels

• L’intersection de ]−∞ ; 4] et [2 ; +∞[ est [2 ; 4].

💡 Astuce mémo

La réunion rassemble les points de l’un ou l’autre intervalle ; l’intersection garde ceux communs aux deux.

📖 6. Valeur absolue et intervalles centrés

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour c et r réels avec r > 0, $x \in [c-r ; c+r] \Leftrightarrow |x-c| \leq r$ ; c est le centre de l’intervalle et r son rayon.

Compléments

• L’inégalité |x − 1| ≤ 3 décrit l’intervalle [−2 ; 4], de centre 1 et de rayon 3.

• L’intervalle [6 ; 20] s’écrit sous la forme |x − 13| ≤ 7, car son centre est 13 et son rayon est 7.