Fiche de révision : Intervalles et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et notation
2. Intersection et réunion
3. Règles sur les inégalités
4. Résolution des inéquations
5. Valeur absolue et distance
6. Intervalles centrés et encadrements
7. Formules d’aires géométriques
8. Volumes et solides usuels

📖 1. Intervalles et notation

★ À maîtriser

• Les notations [a ; b], [a ; b[, ]a ; b] et ]a ; b[ désignent respectivement les réels vérifiant a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b, a < x ≤ b et a < x < b.

📌 L’ensemble {2 ; 4} contient seulement les deux réels 2 et 4, tandis que [2 ; 4] contient tous les réels compris entre 2 et 4, bornes incluses.

Compléments

• Les notations [a ; +∞[, ]a ; +∞[, ]−∞ ; b] et ]−∞ ; b[ correspondent respectivement à x ≥ a, x > a, x ≤ b et x < b.

📌 Les symboles −∞ et +∞ ne désignent pas des réels et le crochet est toujours ouvert du côté de l’infini ; l’ensemble des réels se note ℝ = ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 2. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des réels appartenant aux deux intervalles à la fois, noté ∩.
• Réunion : Ensemble des réels appartenant au premier intervalle, au deuxième ou aux deux, noté ∪.

📝 Points essentiels

• L’intersection de [2 ; 5] et [4 ; 6] est [4 ; 5], tandis que leur réunion est [2 ; 6].

• L’intersection de [1 ; 2] et [2 ; 3] est {2}, tandis que l’intersection de [1 ; 2] et [3 ; 4] est l’ensemble vide ∅.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; réunion : dans l’un ou l’autre.

📖 3. Règles sur les inégalités

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux membres d’une inégalité conserve son sens.

• Multiplier ou diviser les membres d’une inégalité par un même nombre positif non nul conserve son sens.

• Multiplier ou diviser les membres d’une inégalité par un même nombre négatif non nul change son sens.

Compléments

• Si 10 < l < 12 et 15 < L < 18 sont les dimensions en mètres d’un rectangle, alors son périmètre vérifie 50 < P < 60.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve le sens ; par un négatif, le renverse.

📖 4. Résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une inéquation : Déterminer tous les réels qui vérifient l’inégalité donnée.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation, on isole l’inconnue en effectuant les opérations inverses dans l’ordre inverse des priorités, puis on écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

• La résolution de 3x + 5 > 4 donne x > −1/3, donc S = ]−1/3 ; +∞[.

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x, notée |x|, est x si x ≥ 0 et −x si x < 0.
• Distance entre deux réels : Distance entre les points de la droite réelle d’abscisses a et b, égale à |a − b|.

📝 Points essentiels

• La valeur absolue d’un réel peut s’interpréter comme sa distance à zéro, car |x| = |x − 0|.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, la valeur absolue mesure la longueur entre deux points.

📖 6. Intervalles centrés et encadrements

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle centré : Pour un réel a et un réel positif r, l’intervalle [a − r ; a + r] a pour centre a et pour rayon r.

★ À maîtriser

📌 Pour un réel a et un réel positif r, x appartient à [a − r ; a + r] si et seulement si |x − a| ≤ r, ce qui équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r.

Compléments

• L’intervalle [0,2 ; 0,3] a pour centre 0,25 et pour rayon 0,05, donc x appartient à cet intervalle si et seulement si |x − 0,25| ≤ 0,05.

• La condition |x − 1| ≤ 10⁻² équivaut à x ∈ [0,99 ; 1,01].

• La condition y ∈ [7,4 ; 7,6] équivaut à |y − 7,5| ≤ 0,1, car l’intervalle a pour centre 7,5 et pour rayon 0,1.

📖 7. Formules d’aires géométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les aires du rectangle, du carré, du losange et du parallélogramme sont respectivement $\mathcal{A}=L\ell$, $\mathcal{A}=c^2$, $\mathcal{A}=\frac{Dd}{2}$ et $\mathcal{A}=bh$.

📐 Formule - Les aires du triangle et du trapèze sont respectivement $\mathcal{A}=\frac{bh}{2}$ et $\mathcal{A}=\frac{(b+B)h}{2}$.

📖 8. Volumes et solides usuels

★ À maîtriser

📐 Formule - Les volumes du cube et du parallélépipède rectangle sont respectivement $\mathcal{V}=c^3$ et $\mathcal{V}=L\ell h$.

📐 Formule - Le volume d’un prisme est $\mathcal{V}=\mathcal{A}h$, où 𝒜 est l’aire de la base et h la hauteur du solide.

📐 Formule - Les volumes du cylindre, de la sphère, du cône et de la pyramide sont respectivement $\mathcal{V}=\pi r^2h$, $\mathcal{V}=\frac{4}{3}\pi r^3$, $\mathcal{V}=\frac{\pi r^2h}{3}$ et $\mathcal{V}=\frac{\mathcal{A}h}{3}$, où 𝒜 est l’aire de base et h la hauteur du solide.

Compléments

📐 Formule - La circonférence et l’aire d’un disque de rayon r sont respectivement $\mathcal{P}=2\pi r$ et $\mathcal{A}=\pi r^2$.