QCM : Intervalles et inégalités (18 questions)

Explication

Le crochet fermé à gauche inclut $a$, tandis que le crochet ouvert à droite exclut $b$. La notation $]a\ ;\ b]$ ferait l’inverse pour les deux bornes.

Explication

Les accolades désignent ici un ensemble de deux éléments, alors que l’intervalle contient aussi tous les réels intermédiaires. L’interprétation qui attribue l’intervalle continu aux accolades confond les deux notations.

Explication

L’intersection, notée $\cap$, conserve les éléments communs aux deux intervalles. La réunion inclut aussi les éléments présents dans un seul des intervalles.

Explication

La réunion, notée $\cup$, rassemble les éléments de l’un ou l’autre intervalle, y compris ceux communs aux deux. L’intersection, elle, retient les éléments appartenant aux deux à la fois.

Explication

Ajouter un même nombre aux membres d’une inégalité conserve son sens, ce qui donne $8<y+5<12$. Le renversement du sens est associé à la multiplication ou à la division par un nombre négatif, pas à l’addition.

Explication

Multiplier les deux membres par un même nombre positif non nul conserve le sens de l’inégalité. Le sens ne s’inverse que lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif non nul.

Explication

La multiplication par $-3$ change le sens de l’inégalité : $12>-6$. Conserver le signe $<$ serait l’erreur associée à l’application au facteur négatif de la règle valable pour un facteur positif.

Explication

Résoudre une inéquation revient à trouver l’ensemble de tous les réels qui rendent l’inégalité vraie. Chercher un réel qui rend les deux membres égaux correspond plutôt à résoudre une équation.

Explication

En soustrayant 5 puis en divisant par 3, on obtient $x > -\frac{1}{3}$, ce qui correspond à l’intervalle ouvert vers la droite. L’intervalle qui s’étend vers la gauche représente des nombres inférieurs à $-\frac{1}{3}$.

Explication

Lorsque $x < 0$, sa valeur absolue vaut $-x$, un nombre positif, alors que $x$ demeure négatif. L’égalité $|x| = x$ s’applique lorsque $x$ est positif ou nul.

Explication

La distance entre les réels $a$ et $b$ est la valeur absolue de leur différence, soit $|a-b|$. La différence simple $a-b$ peut être négative et ne représente donc pas toujours une distance.

Explication

Les bornes $a-r$ et $a+r$ sont situées à une distance $r$ de $a$, qui est donc le centre de l’intervalle. Le rayon est cette distance commune, et non l’une des bornes.

Explication

La condition $|x-a| \le r$ signifie que $x$ se trouve à une distance au plus égale à $r$ de $a$, donc $a-r \le x \le a+r$. Des inégalités strictes excluraient les deux bornes, contrairement à la condition donnée.

Explication

L’aire d’un losange se calcule en multipliant les longueurs de ses deux diagonales puis en divisant le produit par deux. La formule $Dd$ omet la division par deux et ne correspond donc pas à l’aire du losange.

Explication

L’aire du triangle repose sur une seule base, alors que celle du trapèze fait intervenir la somme de ses deux bases. La formule $bh$ correspondrait au double de l’aire du triangle.

Explication

Le volume d’un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois dimensions : longueur, largeur et hauteur. La division par trois est associée aux formules du cône et de la pyramide, pas à ce solide.

Explication

Le volume d’un prisme est égal à l’aire de sa base multipliée par la hauteur du solide. La division par trois convient au cône et à la pyramide, et non au prisme.

Explication

À rayon et hauteur égaux, le volume du cône correspond au tiers de celui du cylindre : leurs formules sont respectivement $\frac{\pi r^2h}{3}$ et $\pi r^2h$. La formule $\frac{4}{3}\pi r^3$ est celle d’une sphère, pas d’un cône.