Fiche de révision : Racines d’un trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Signe du discriminant
2. Formules des racines
3. Calculs d’exemples

📖 1. Signe du discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme ax² + bx + c est $\Delta = b^2 - 4ac$.

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta > 0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes ; si $\Delta = 0$, il possède une racine réelle double ; si $\Delta < 0$, il ne possède aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ > 0 donne deux racines, Δ = 0 une racine double, Δ < 0 aucune racine réelle

📖 2. Formules des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque $\Delta \geq 0$, les racines sont données par $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule - Lorsque $\Delta = 0$, la racine double vaut $x = \frac{-b}{2a}$.

📖 3. Calculs d’exemples

★ À maîtriser

• Pour chercher les racines d’un trinôme, on identifie a, b et c, on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$, on détermine le nombre de racines grâce au signe de Δ, puis on applique la formule adaptée.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2+5x+2$, on obtient $\Delta=9$, puis les deux racines $x_1=-\frac{1}{2}$ et $x_2=-2$.

• Pour $f(x)=2x^2+4x-2$, on obtient $\Delta=32$ et les racines $x_1=\frac{-4+4\sqrt{2}}{4}$ et $x_2=\frac{-4-4\sqrt{2}}{4}$.

• Pour $g(x)=4x^2-x+1$, on obtient $\Delta=-15$ et le trinôme ne possède aucune racine réelle.

• Pour $i(x)=x^2-4x-5$, on obtient $\Delta=36$ et les racines $x_1=5$ et $x_2=-1$.

💡 Astuce mémo

Identifier a, b, c → calculer Δ → conclure → calculer les racines

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines