Fiche de révision : Rappels vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Normes et opérations vectorielles
2. Produits et colinéarité
3. Coordonnées polaires

📖 1. Normes et opérations vectorielles

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme d'un vecteur $\vec{u}=(x,y)$ vérifie $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule — La normalisation d'un vecteur non nul s'écrit $\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$.

📐 Formule — L'inégalité triangulaire s'écrit $\|\vec{u}+\vec{v}\|\leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$.

Compléments

📐 Formule — Si $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$, alors $\vec{u}+\vec{v}=(x+x',y+y')$.

📖 2. Produits et colinéarité

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit scalaire vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$.

📐 Formule — La norme du produit vectoriel vérifie $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$.

📐 Formule — Pour $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$, le déterminant vaut $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-x'y$.

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u},\vec{v})=0$ dans le plan, tandis que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $\vec{u}=(x_1,y_1,z_1)$ et $\vec{v}=(x_2,y_2,z_2)$, leur produit vectoriel est $\vec{u}\wedge\vec{v}=(y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)$.

📐 Formule — Le cours donne les relations $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH$ et $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-AB\times AH$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire avec cosinus, produit vectoriel avec sinus.

📖 3. Coordonnées polaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coordonnées cartésiennes et polaires sont reliées par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

📐 Formule — Le rayon polaire vérifie $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour un rayon non nul, $\cos\theta=\frac{x}{r}$ et $\sin\theta=\frac{y}{r}$.

📐 Formule — Lorsque $x\neq0$, l'angle polaire vérifie $\tan\theta=\frac{y}{x}$.

💡 Astuce mémo

Cartésiennes → rayon et angle : x,y → r, cos θ, sin θ.

📊 Tableaux de synthèse

Produits vectoriels