QCM : Rappels vectoriels (7 questions)

Question 1

1. Quelle expression représente la normalisation d’un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}

\|\vec{u}\|\vec{u}

\vec{u}\|\vec{u}\|

\sqrt{\vec{u}}

Explication

Normaliser un vecteur non nul consiste à le diviser par sa norme afin d’obtenir un vecteur de norme $1$ . Multiplier le vecteur par sa norme ne réalise pas cette opération.

Answer

$$\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$$

Question 2

2. Deux vecteurs de normes $2$ et $3$ forment un angle de $60^\circ$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

6

3

\frac{3}{2}

\sqrt{3}

Explication

Le produit scalaire vaut $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(60^\circ)=2\times3\times\frac{1}{2}=3$ . La valeur $6$ omet le facteur trigonométrique $\cos(60^\circ)$ .

Answer

$$\|\vec{u}+\vec{v}\|\leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$$

Answer

Par l’égalité $$\det(\vec{u},\vec{v})=0$$

Question 3

3. Quelle relation exprime l’inégalité triangulaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

\|\vec{u}+\vec{v}\|\geq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|

\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|-\|\vec{v}\|

\|\vec{u}+\vec{v}\|\leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|

\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|

Explication

L’inégalité triangulaire affirme que la norme d’une somme ne dépasse pas la somme des normes. L’égalité avec une différence ou un produit ne traduit pas cette propriété générale.

Question 4

4. Quelle est la norme du vecteur $\vec{u}=(3,4)$ ?

25

1

7

5

Explication

La norme se calcule par $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$ , donc $\sqrt{3^2+4^2}=5$ . La valeur $25$ correspond au carré de la norme, et non à la norme elle-même.

Question 5

5. Pour $\vec{u}=(2,3)$ et $\vec{v}=(4,1)$ , quelle est la valeur de $\det(\vec{u},\vec{v})$ ?

14

-10

10

-2

Explication

Le déterminant se calcule par $xy'-x'y$ , donc $2\times1-4\times3=-10$ . La valeur $14$ provient d’une addition des produits, qui ne correspond pas à la formule du déterminant.

Question 6

6. Deux vecteurs de normes $4$ et $5$ forment un angle de $30^\circ$ . Quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

20

\frac{20}{\sqrt{3}}

9

10

Explication

La norme du produit vectoriel est $4\times5\times\sin(30^\circ)=20\times\frac{1}{2}=10$ . Le produit scalaire utiliserait le cosinus et donnerait une autre valeur.

Question 7

7. Dans le plan, comment peut-on caractériser la colinéarité de deux vecteurs ?

Par l’égalité

\det(\vec{u},\vec{v})=0

Par la condition

\|\vec{u}+\vec{v}\|=0

Par l’égalité

\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|

Par l’égalité

\vec{u}\cdot\vec{v}=1

Explication

Dans le plan, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. L’égalité des normes ou une valeur particulière du produit scalaire ne suffit pas à établir la colinéarité.

QCM : Rappels vectoriels (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression représente la normalisation d’un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

2. Deux vecteurs de normes $2$ et $3$ forment un angle de $60^\circ$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3. Quelle relation exprime l’inégalité triangulaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

4. Quelle est la norme du vecteur $\vec{u}=(3,4)$ ?

5. Pour $\vec{u}=(2,3)$ et $\vec{v}=(4,1)$ , quelle est la valeur de $\det(\vec{u},\vec{v})$ ?

6. Deux vecteurs de normes $4$ et $5$ forment un angle de $30^\circ$ . Quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

7. Dans le plan, comment peut-on caractériser la colinéarité de deux vecteurs ?

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QCM : Rappels vectoriels (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression représente la normalisation d’un vecteur non nul u⃗\vec{u}u ?

2. Deux vecteurs de normes 222 et 333 forment un angle de 60∘60^\circ60∘. Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3. Quelle relation exprime l’inégalité triangulaire pour deux vecteurs u⃗\vec{u}u et v⃗\vec{v}v ?

4. Quelle est la norme du vecteur u⃗=(3,4)\vec{u}=(3,4)u=(3,4) ?

5. Pour u⃗=(2,3)\vec{u}=(2,3)u=(2,3) et v⃗=(4,1)\vec{v}=(4,1)v=(4,1), quelle est la valeur de det⁡(u⃗,v⃗)\det(\vec{u},\vec{v})det(u,v) ?

6. Deux vecteurs de normes 444 et 555 forment un angle de 30∘30^\circ30∘. Quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

7. Dans le plan, comment peut-on caractériser la colinéarité de deux vecteurs ?

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2. Deux vecteurs de normes $2$ et $3$ forment un angle de $60^\circ$ . Quelle est la valeur de leur produit scalaire ?

3. Quelle relation exprime l’inégalité triangulaire pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

4. Quelle est la norme du vecteur $\vec{u}=(3,4)$ ?

5. Pour $\vec{u}=(2,3)$ et $\vec{v}=(4,1)$ , quelle est la valeur de $\det(\vec{u},\vec{v})$ ?

6. Deux vecteurs de normes $4$ et $5$ forment un angle de $30^\circ$ . Quelle est la norme de leur produit vectoriel ?