Fiche de révision : RDM : efforts internes et contraintes

📋 Plan du Cours

1. Positionnement et objectifs de la RDM
2. Hypothèses et théorie des poutres
3. Forces moments et torseurs
4. Liaisons mécaniques et bilan statique
5. Degrés d’hyperstaticité
6. Torseur de cohésion et sollicitations
7. Diagrammes des sollicitations
8. Définition des contraintes
9. Traction et compression
10. Cisaillement pur
11. Flexion pure
12. Déformée en flexion
13. Contraintes dimensionnantes

📖 1. Positionnement et objectifs de la RDM

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance des matériaux : Théorie simplifiée de la mécanique des solides déformables en statique qui étudie les effets des actions mécaniques sur les structures.

📝 Points essentiels

• La RDM permet de calculer les contraintes, les déformations et les déplacements afin de dimensionner ou de vérifier la tenue mécanique des pièces et des structures.

• 🔄 L’étude d’une structure de poutres suit les étapes suivantes:

  1. Vérifier le domaine de la RDM
  2. Isoler et schématiser la structure
  3. Positionner les charges
  4. Déterminer les actions de liaison
  5. Repérer les singularités
  6. Calculer les torseurs de cohésion
  7. Tracer les efforts internes
  8. Déterminer les contraintes et les déplacements
  9. Comparer les résultats aux valeurs admissibles

💡 Astuce mémo

Modéliser → calculer → vérifier → dimensionner

📖 2. Hypothèses et théorie des poutres

🔑 Notions clés & Définitions

• Poutre : Volume engendré par une surface dont le centre de gravité décrit une courbe continue et différentiable appelée fibre moyenne.

★ À maîtriser

📌 La RDM s’applique à des structures étudiées en statique, constituées de formes simples, soumises à de petites déformations et modélisées par la théorie des poutres.

📌 À l’échelle de la structure, un matériau peut être considéré comme continu, homogène et isotrope si sa plus petite dimension est au moins 100 fois supérieure à la taille de ses hétérogénéités.

📐 Formule — Dans le domaine élastique, la loi de Hooke relie la contrainte et la déformation par $\sigma = E\,\varepsilon$.

📌 Selon le principe de Navier-Bernoulli, les sections droites, planes et normales à la fibre moyenne restent planes et normales après déformation.

📌 Selon le principe de Saint-Venant, loin des points d’application des efforts et des singularités, les contraintes et les déformations dépendent seulement de la force résultante et du moment résultant transmis par la section.

Compléments

• Les singularités d’une structure sont:
  • Une extrémité
  • Une liaison
  • Un changement de poutre
  • Une force ou un moment ponctuel
  • Le début d’une charge répartie
  • La fin d’une charge répartie

💡 Astuce mémo

Élastique et réversible, plastique et permanent

📖 3. Forces moments et torseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Vecteur caractérisé par une intensité, une direction, un sens et un point d’application, qui modélise une action de contact ou une action distante.
• Torseur d’action mécanique : Torseur associe un vecteur force responsable de la translation et un vecteur moment responsable de la rotation, définis par rapport à un point de réduction.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La résultante de forces parallèles vérifie $F_{eq}=\sum_i F_i$ et son point d’application vérifie $x_M=\frac{\sum_i x_iF_i}{\sum_i F_i}$.

📐 Formule — Une charge répartie uniforme de valeur p sur une longueur l est équivalente à une force $F_{eq}=p\,l$ appliquée en $x_{eq}=l/2$.

📐 Formule — Le moment vectoriel d’une force appliquée en P par rapport à A est $\vec M_A(\vec F)=\overrightarrow{AP}\wedge\vec F$.

💡 Astuce mémo

Force → translation ; moment → rotation

📖 4. Liaisons mécaniques et bilan statique

★ À maîtriser

• Le principe d’action-réaction impose que deux solides en contact exercent des actions de même direction et de même intensité, mais de sens opposés.

• Une liaison interne relie deux poutres, tandis qu’une liaison externe relie une poutre à l’extérieur.

• Lorsqu’un degré de liberté est bloqué par une liaison, une action mécanique appelée effort de liaison existe dans la direction correspondante.

• Un appui simple autorise une translation horizontale et une rotation, une articulation autorise une rotation autour de son axe mais bloque les translations, et un encastrement bloque toutes les translations et la rotation.

• 🔄 Le bilan statique suit les étapes suivantes:

  1. Choisir un repère global
  2. Recenser les actions mécaniques
  3. Modéliser les liaisons
  4. Appliquer les équations d’équilibre
  5. Résoudre le système

Compléments

• En problème plan, les inconnues de liaison se réduisent de six à trois : les résultantes sont dans le plan et le moment est perpendiculaire au plan.

💡 Astuce mémo

Mobilité autorisée = action transmissible nulle ; mobilité bloquée = réaction

📖 5. Degrés d’hyperstaticité

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’hyperstaticité : Différence entre le nombre d’inconnues de liaison et le nombre d’équations d’équilibre disponibles.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour n solides comportant L1 appuis simples, L2 articulations et L3 encastrements, le degré d’hyperstaticité vaut $d=L_1+2L_2+3L_3-3n$.

• Dans un problème plan, un appui simple apporte une inconnue, une articulation en apporte deux et un encastrement en apporte trois.

📌 L’équilibre est isostatique lorsque le nombre d’inconnues égale le nombre d’équations, hypostatique lorsqu’il est inférieur et hyperstatique lorsqu’il est supérieur.

💡 Astuce mémo

Moins d’inconnues : mécanisme ; autant : isostatique ; plus : hyperstatique

📖 6. Torseur de cohésion et sollicitations

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur de cohésion : Décrit la répartition des efforts internes dans une section de poutre et permet de déterminer les sollicitations, les contraintes et les sections les plus sollicitées.

★ À maîtriser

• 🔄 La détermination du torseur de cohésion suit les étapes suivantes:
  1. Effectuer une coupure fictive entre les singularités
  2. Conserver une partie de la poutre
  3. Remplacer l’autre partie par le torseur de cohésion
  4. Appliquer l’équilibre statique

📐 Formule — Pour une coupure séparant la poutre en deux parties, les torseurs des actions des deux parties vérifient $\{\tau_d\}=-\{\tau_g\}$.

• En modélisation tridimensionnelle, le torseur de cohésion comprend l’effort normal N, les efforts tranchants Ty et Tz, le moment de torsion Mx et les moments fléchissants My et Mz.

📐 Formule — Pour une poutre droite, les relations utiles sont $\frac{dT_y(x)}{dx}=p(x)$ et $\frac{dM_z(x)}{dx}=-T_y(x)$.

Compléments

• Le tracé des diagrammes de sollicitations permet de visualiser rapidement les poutres et les sections les plus sollicitées.

💡 Astuce mémo

Couper → équilibrer → vérifier → tracer

📖 7. Diagrammes des sollicitations

★ À maîtriser

• Pour tracer les diagrammes de sollicitations, il faut répéter pour chaque coupure le calcul du torseur de cohésion par les équations d’équilibre, puis reporter chaque composante le long de la poutre.

• Les sollicitations représentées par le torseur de cohésion sont:

  • traction ou compression simple
  • flexion simple
  • flexion composée
  • flexion déviée
  • torsion pure

Compléments

📐 Formule — Les relations importantes de vérification sont $\frac{dT_y(x)}{dx}=p_y(x)$ et $\frac{dM_z(x)}{dx}=-T_y(x)$.

💡 Astuce mémo

Coupure → équilibre → torseur → diagrammes

📖 8. Définition des contraintes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur contrainte : Caractérise la densité surfacique d’effort s’appliquant sur une facette élémentaire dS de normale n.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur contrainte en un point M et pour une facette de normale n est défini par $\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to0}\frac{d\vec{F}}{dS}$.

📌 La contrainte normale σ est la projection du vecteur contrainte sur la normale à la facette, tandis que la contrainte tangentielle τ est sa projection dans le plan de la facette.

Compléments

• L’unité SI de la contrainte est le pascal, avec $1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{N/m^2}$, et l’unité couramment utilisée est le mégapascal, avec $1\,\mathrm{MPa}=1\,\mathrm{N/mm^2}$.

📐 Formule — Dans le cadre des problèmes plans, le vecteur contrainte s’écrit $\vec{C}(M,\vec{n})=\sigma\vec{x}+\tau_{xy}\vec{y}$.

💡 Astuce mémo

Normale σ perpendiculaire, tangentielle τ parallèle

📖 9. Traction et compression

🔑 Notions clés & Définitions

• Traction ou compression pure : Une section droite est en traction ou compression pure lorsque les efforts internes se réduisent à un seul effort normal N appliqué au centre de gravité G de la section.

📝 Points essentiels

📌 Avec les conventions choisies, N > 0 correspond à une traction pure et N < 0 correspond à une compression pure.

📐 Formule — En traction pure, l’équilibre donne $N=F$, tandis que $T_y=0$ et $M_{fz}=0$.

📐 Formule — Sous l’hypothèse d’une répartition uniforme, la contrainte normale vaut $\sigma=\frac{N}{S}$.

📌 La condition de résistance en traction ou compression est $\sigma_{\max}=\frac{N_{\max}}{S}\leq\sigma_a=\frac{\sigma_e}{c}$, où σa est la contrainte admissible, σe la résistance élastique et c le coefficient de sécurité.

📐 Formule — La déformation longitudinale vaut $\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{\sigma}{E}=\frac{N}{E A}$ et l’allongement vaut $\Delta L=\frac{N L_0}{E A}$.

💡 Astuce mémo

N > 0 traction, N < 0 compression

📖 10. Cisaillement pur

🔑 Notions clés & Définitions

• Cisaillement pur : Une section droite est en cisaillement pur lorsque les efforts internes se réduisent à un seul effort tranchant Ty.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans l’approximation du cisaillement pur, l’équilibre donne $T_y=F$, tandis que $N=0$ et le moment fléchissant est négligé.

📐 Formule — La déformation de cisaillement vaut $\varepsilon_y=\frac{\Delta y}{L_0}$ et la loi de Hooke en cisaillement s’écrit $\tau_{xy}=G\varepsilon_y$.

📐 Formule — Sous l’hypothèse d’une contrainte tangentielle uniforme sur la section, la contrainte moyenne vaut $\tau_{moy}=\frac{T_y}{S}$.

Compléments

• Lors d’un essai de cisaillement, la zone OA est le domaine élastique à déformation non permanente et la zone AC est le domaine plastique à déformation permanente.

📐 Formule — Le module d’élasticité transversal est relié au module d’Young et au coefficient de Poisson par $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$.

💡 Astuce mémo

Effort tranchant Ty → glissement transversal Δy

📖 11. Flexion pure

🔑 Notions clés & Définitions

• Flexion pure : Une section droite est en flexion pure lorsque les efforts internes se réduisent à un seul moment fléchissant Mfz.
• Moment quadratique : Défini par $I_{Gz}^{S}=\iint_S y^2\,dS$.

📝 Points essentiels

📌 En flexion pure, la poutre ne subit que des contraintes normales, avec compression d’une partie des fibres et traction de l’autre partie.

📐 Formule — La déformation longitudinale en un point de coordonnée y est $\varepsilon_x(x,y)=-\frac{y}{r(x)}$, où r est le rayon de courbure.

📐 Formule — La loi de Hooke donne en flexion pure $\sigma=-\frac{E y}{r}$, ce qui implique une répartition linéaire des contraintes normales suivant y.

📐 Formule — Le lien entre le moment fléchissant et la contrainte normale est $\sigma(x,y)=-\frac{M_{fz}(x)}{I_{Gz}^{S}}y$.

💡 Astuce mémo

Fibres supérieures comprimées, fibres inférieures tendues

📖 12. Déformée en flexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Flèche : La valeur de la déformée y(x) en un point de la poutre.

★ À maîtriser

📐 Formule — La relation entre le moment fléchissant et la déformée est $y''(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}$.

Compléments

📐 Formule — Sous l’hypothèse des petits déplacements, le rayon de courbure vérifie approximativement $r(x)=\frac{1}{y''(x)}$.

💡 Astuce mémo

Moment fléchissant → courbure → déformée

📖 13. Contraintes dimensionnantes

📝 Points essentiels

📌 En flexion, les contraintes normales sont dimensionnantes devant les contraintes tangentielles lorsque l’élancement de la poutre respecte les hypothèses du cours.

• En traction ou compression pure, les contraintes normales sont dimensionnantes et aucune contrainte tangentielle n’est présente.

💡 Astuce mémo

Flexion et traction : contraintes normales ; torsion : contraintes tangentielles

📊 Tableaux de synthèse

Types de liaisons planes

Sollicitations simples et contraintes