Fiche de révision : Logique et calcul des propositions

📋 Plan du Cours

1. Notion de proposition logique
2. Vocabulaire des propositions
3. Équivalence et vérités logiques
4. Connecteurs logiques fondamentaux

📖 1. Notion de proposition logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition logique : Phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse.

★ À maîtriser

📌 Le principe du tiers exclu affirme qu'une proposition logique est vraie ou fausse.

📌 Le principe de non-contradiction affirme qu'une proposition logique ne peut pas être à la fois vraie et fausse.

• Une proposition peut comporter un ou plusieurs paramètres, et sa véracité dépend alors des valeurs prises par ces paramètres.

Compléments

• La proposition P(x) : x² ≤ x est vraie pour x = 1 mais fausse pour x = 2.

📐 Formule — Pour tout entier naturel n, la relation $\sum_{h=1}^{n} h^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ est vraie.

💡 Astuce mémo

Vraie ou fausse, jamais les deux

📖 2. Vocabulaire des propositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjecture : Proposition logique que l'on pense vraie mais qui n'a pas été démontrée.
• Corollaire : Proposition démontrée qui est la conséquence d'un autre théorème.
• Lemme : Proposition prouvée qui constitue une étape intermédiaire dans une longue démonstration.

📝 Points essentiels

📌 Un axiome, un postulat ou un principe est une proposition considérée comme vraie et que l'on ne cherche pas à prouver, tandis qu'un théorème ou une propriété est une proposition qui a été prouvée.

💡 Astuce mémo

Axiome → théorème → corollaire

📖 3. Équivalence et vérités logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tautologie : Proposition construite à partir de propositions initiales qui est toujours vraie, quelles que soient leurs valeurs de vérité.
• Contradiction : Proposition construite à partir de propositions initiales qui est toujours fausse, quelles que soient leurs valeurs de vérité.

📝 Points essentiels

• Lorsque deux propositions ont les mêmes valeurs de vérité, on utilise le symbole ≡ pour exprimer leur équivalence logique.

💡 Astuce mémo

Tautologie toujours vraie, contradiction toujours fausse

📖 4. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Possède des valeurs de vérité contraires à celles de p.
• Conjonction : Vraie lorsque p et q sont simultanément vraies, et fausse dans tous les autres cas.
• Disjonction : Vraie lorsqu'au moins l'une des deux propositions est vraie, et fausse sinon.
• Implication : La proposition ¬p ∨ q.

📝 Points essentiels

📌 Pour toute proposition p, p ∧ F ≡ F.

💡 Astuce mémo

Non → et → ou → implique