Fiche de révision : Fonctions : généralités et exemples

📋 Plan du Cours

1. Origine historique du concept
2. Lecture graphique d’une fonction
3. Signes et variations
4. Fonction définie par formule
5. Résolution algébrique d’inéquations
6. Programmation et calculatrice

📖 1. Origine historique du concept

📝 Points essentiels

• Le terme « fonction » n’est apparu que tardivement, à la fin du XVIIIe siècle.

• En juillet 1698, Leibniz écrit à Jean Bernoulli qu’il apprécie l’emploi du terme « fonction » dans son sens.

• Vers 1670, Newton a utilisé en latin le mot « genita » pour désigner une quantité engendrée à partir d’autres quantités au moyen des quatre opérations.

💡 Astuce mémo

Newton prépare, Leibniz nomme, Bernoulli note

📖 2. Lecture graphique d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de x auxquelles la fonction associe une image.

★ À maîtriser

• Pour résoudre graphiquement une équation f(x)=k, on trace la droite horizontale d’équation y=k et on relève les abscisses de ses points d’intersection avec la courbe.

• Pour résoudre graphiquement une inéquation, on repère les portions de la courbe situées au-dessus ou au-dessous de la droite horizontale correspondant à la valeur de comparaison, en tenant compte du caractère large ou strict de l’inégalité.

Compléments

• Pour la fonction représentée dans l’activité graphique, l’ensemble de définition est l’intervalle [-5 ; 7].

• Dans l’activité, l’équation f(x)=-3 possède trois solutions : -4, 1 et 5.

💡 Astuce mémo

Une droite horizontale coupe la courbe pour révéler les antécédents

📖 3. Signes et variations

★ À maîtriser

📌 Un tableau de signe indique, selon les intervalles, si f(x) est positif, nul ou négatif, tandis qu’un tableau de variation indique si f est croissante ou décroissante.

Compléments

• Dans l’activité graphique, les zéros de f sont -3, -1 et 5,9, avec un signe successivement négatif, positif, négatif puis positif sur l’ensemble de définition.

• Le tableau de variation de l’activité fait apparaître des changements de variation aux abscisses -4,7, -1,9, 3,1 et 6,7.

💡 Astuce mémo

Signe : au-dessus ou au-dessous ; variation : monte ou descend

📖 4. Fonction définie par formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction définie par formule : Une fonction définie par formule relie x à f(x) par une expression algébrique.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction f définie sur ℝ par $f(x)=3x^2-5$ associe une image à toute valeur réelle de x.

• Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée par formule, on remplace x par ce nombre dans l’expression de f.

Compléments

• Pour f(x)=3x^2-5, l’image de -2 est 7, donc -2 est un antécédent de 7.

• Pour f(x)=3x^2-5, l’unique antécédent de -5 est 0, car l’équation $3x^2-5=-5$ a pour unique solution x=0.

💡 Astuce mémo

L’image part de x ; l’antécédent se retrouve en résolvant une équation

📖 5. Résolution algébrique d’inéquations

★ À maîtriser

• Pour résoudre l’inéquation $3x^2-5>-2$, on la transforme en $x^2-1>0$, puis en $(x-1)(x+1)>0$ avant d’utiliser un tableau de signes.

• La solution de l’inéquation $3x^2-5>-2$ est $]-\infty;-1[\,\cup\,]1;+\infty[\,.$.

Compléments

📐 Formule — L’identité remarquable utilisée est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

💡 Astuce mémo

Transformer, factoriser, étudier les signes, conclure

📖 6. Programmation et calculatrice

★ À maîtriser

• En Python, on définit une fonction avec def, on indique son paramètre entre parenthèses et on renvoie son expression avec return.

• La fonction $f(x)=3x^2-5$ s’écrit en Python : def fonc(a) : return 3*a**2-5.

Compléments

• L’instruction print(fonc(2)) renvoie 7.

• Avec une calculatrice, on saisit 3x²-5 dans le menu f(x), puis on utilise Table pour obtenir des images ou Graph pour afficher la courbe représentative.

💡 Astuce mémo

Définir, retourner, appeler

📊 Tableaux de synthèse

Image et antécédent