QCM : RDM : efforts internes et contraintes — 44 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel objet la résistance des matériaux étudie-t-elle principalement en statique ?

Les effets des actions mécaniques sur des structures déformables
Les mouvements de solides rigides soumis à des accélérations
Les propriétés thermiques de matériaux isolés de toute charge
Les trajectoires de particules soumises à des champs variables

Les effets des actions mécaniques sur des structures déformables

Explication

La résistance des matériaux étudie les effets des actions mécaniques sur des structures qui peuvent se déformer en statique. La mécanique des solides rigides ne décrit pas ces déformations.

2. Pour quelle raison principale utilise-t-on la résistance des matériaux lors de l’étude d’une structure ?

Pour calculer contraintes, déformations et déplacements afin d’évaluer sa tenue mécanique
Pour décrire les mouvements d’un corps parfaitement rigide au cours du temps
Pour déterminer la composition chimique du matériau avant toute sollicitation
Pour remplacer les conditions d’appui par une modélisation sans charges extérieures

Pour calculer contraintes, déformations et déplacements afin d’évaluer sa tenue mécanique

Explication

La RDM permet de calculer les contraintes, les déformations et les déplacements afin de dimensionner une structure ou d’en vérifier la tenue. Le dimensionnement concerne la définition des dimensions, tandis que la vérification porte sur une structure déjà définie.

3. Après avoir isolé une structure de poutres et positionné ses charges, quelle étape appartient à la suite logique de son étude en RDM ?

Supprimer les efforts internes avant de comparer les résultats admissibles
Déterminer les actions de liaison puis calculer les torseurs de cohésion
Tracer les déplacements avant de déterminer les actions exercées par les liaisons
Modifier la nature du matériau avant d’identifier les singularités géométriques

Déterminer les actions de liaison puis calculer les torseurs de cohésion

Explication

L’étude suit notamment l’identification des actions de liaison, le repérage des singularités et le calcul des torseurs de cohésion, avant la détermination des contraintes et déplacements. Les déplacements ne sont donc pas calculés avant les actions de liaison.

4. Dans quelles conditions générales la théorie des poutres de la RDM est-elle applicable ?

En dynamique, pour des structures massives et des rotations nécessairement importantes
En statique, pour des matériaux plastiques et des déformations permanentes
En statique, pour des formes simples et de petites déformations
En dynamique, pour des formes quelconques et de grandes déformations

En statique, pour des formes simples et de petites déformations

Explication

La RDM s’applique à des structures étudiées en statique, de formes simples, soumises à de petites déformations et modélisées comme des poutres. Les grandes déformations permanentes relèvent d’un cadre différent, associé au domaine plastique.

5. À quelle condition un matériau peut-il être considéré comme continu, homogène et isotrope à l’échelle d’une structure ?

Lorsque la plus grande dimension est inférieure à la taille moyenne des hétérogénéités
Lorsque les hétérogénéités ont une dimension proche de celle de la structure étudiée
Lorsque la plus petite dimension vaut au moins 100 fois la taille de ses hétérogénéités
Lorsque la structure possède une section constante quelle que soit sa constitution interne

Lorsque la plus petite dimension vaut au moins 100 fois la taille de ses hétérogénéités

Explication

Cette modélisation est admise lorsque la plus petite dimension de la structure est au moins 100 fois supérieure à la taille de ses hétérogénéités. Une section constante ne suffit pas à justifier les hypothèses de matériau continu, homogène et isotrope.

6. Une éprouvette reste dans le domaine élastique et subit une déformation varepsilonvarepsilon sous une contrainte sigmasigma. Quelle relation permet de relier ces deux grandeurs ?

σ=εE\sigma=\dfrac{\varepsilon}{E}
σ=E+ε\sigma=E+\varepsilon
σ=E ε\sigma=E\,\varepsilon
ε=E σ\varepsilon=E\,\sigma

$$\sigma=E\,\varepsilon$$

Explication

Dans le domaine élastique, la loi de Hooke s’écrit σ=E ε\sigma=E\,\varepsilon, où EE est le module d’Young. Le domaine élastique se distingue du domaine plastique par le retour possible à l’état initial après déchargement.

7. Quelle description correspond à la définition géométrique d’une poutre ?

Un volume dont toutes les sections sont identiques et dont l’axe est nécessairement rectiligne
Un volume engendré par une surface dont le centre de gravité suit une fibre moyenne continue et différentiable
Une surface plane dont chaque point se déplace parallèlement à une direction fixe
Un solide dont la matière est répartie uniformément autour d’un point central immobile

Un volume engendré par une surface dont le centre de gravité suit une fibre moyenne continue et différentiable

Explication

Une poutre est le volume engendré par une surface dont le centre de gravité décrit une courbe continue et différentiable, appelée fibre moyenne. Sa fibre moyenne n’est donc pas obligatoirement une droite et ses sections ne sont pas nécessairement identiques.

8. Quels éléments caractérisent une force appliquée à une structure ?

Une intensité, une température, une densité et une position moyenne
Une direction, une fréquence, une accélération et une section résistante
Une masse, une vitesse, une énergie et une durée d’application
Une intensité, une direction, un sens et un point d’application

Une intensité, une direction, un sens et un point d’application

Explication

Une force est un vecteur défini par son intensité, sa direction, son sens et son point d’application. Elle peut modéliser une action de contact ou une action distante.

9. Deux forces parallèles sont remplacées par une force équivalente. De quoi dépend la position de cette force résultante ?

De la somme des intensités, sans tenir compte des positions d’application
Des positions des forces et de leurs intensités, selon un bilan de moments
De la distance entre les forces, même si leurs intensités sont modifiées
De la position de la force la plus élevée, indépendamment de l’autre force

Des positions des forces et de leurs intensités, selon un bilan de moments

Explication

La position vérifie xM=∑ixiFi∑iFix_M=\frac{\sum_i x_iF_i}{\sum_i F_i} : elle dépend donc à la fois des positions et des intensités. La résultante Feq=∑iFiF_{eq}=\sum_iF_i donne l’intensité équivalente, mais ne fixe pas seule sa position.

10. Une charge répartie uniforme de valeur pp agit sur une longueur ll. Comment la remplacer par une force équivalente ?

Par une force Feq=l/pF_{eq}=l/p appliquée au quart de la longueur chargée
Par une force Feq=p+lF_{eq}=p+l appliquée à une distance xeq=lx_{eq}=l
Par une force Feq=p/lF_{eq}=p/l appliquée au début de la longueur chargée
Par une force Feq=p lF_{eq}=p\,l appliquée au milieu, en xeq=l/2x_{eq}=l/2

Par une force $$F_{eq}=p\,l$$ appliquée au milieu, en $$x_{eq}=l/2$$

Explication

Une charge uniforme est équivalente à une force égale à l’aire sous le diagramme de charge, soit Feq=p lF_{eq}=p\,l, appliquée en son centre, xeq=l/2x_{eq}=l/2. Le début ou le quart de la zone chargée ne correspondent pas au centre de gravité d’une répartition uniforme.

11. Quelle expression donne le moment vectoriel d’une force appliquée en PP par rapport au point AA ?

M⃗A(F⃗)=AP→⋅F⃗\vec M_A(\vec F)=\overrightarrow{AP}\cdot\vec F
M⃗A(F⃗)=PA→∧F⃗\vec M_A(\vec F)=\overrightarrow{PA}\wedge\vec F
M⃗A(F⃗)=F⃗∧AP→\vec M_A(\vec F)=\vec F\wedge\overrightarrow{AP}
M⃗A(F⃗)=AP→∧F⃗\vec M_A(\vec F)=\overrightarrow{AP}\wedge\vec F

$$\vec M_A(\vec F)=\overrightarrow{AP}\wedge\vec F$$

Explication

Le moment par rapport à AA est le produit vectoriel AP→∧F⃗\overrightarrow{AP}\wedge\vec F. Il dépend du point de réduction AA, tandis que PP est le point d’application de la force ; le produit scalaire ne donne pas un moment vectoriel.

12. Deux solides en contact exercent-ils des actions mécaniques de quelles caractéristiques selon le principe d’action-réaction ?

Même direction et même sens, avec des intensités opposées
Directions perpendiculaires et intensités identiques
Directions et intensités différentes, avec des sens opposés
Même direction et même intensité, avec des sens opposés

Même direction et même intensité, avec des sens opposés

Explication

Le principe d’action-réaction impose des actions colinéaires, de même intensité et de sens opposés. La confusion fréquente consiste à inverser l’égalité des intensités avec l’opposition des sens.

13. Quelle distinction décrit correctement une liaison interne et une liaison externe dans une poutre ?

La liaison interne relie deux poutres, tandis que la liaison externe relie une poutre à l’extérieur
La liaison interne concerne les charges, tandis que la liaison externe concerne les déformations
La liaison interne relie une poutre au sol, tandis que la liaison externe relie deux poutres
La liaison interne agit sur l’extérieur, tandis que la liaison externe agit entre deux sections

La liaison interne relie deux poutres, tandis que la liaison externe relie une poutre à l’extérieur

Explication

Une liaison interne assure la connexion entre deux poutres ou parties d’une structure, alors qu’une liaison externe relie la poutre à son environnement. Les autres réponses inversent ou remplacent cette distinction par des notions différentes.

14. Que représente un effort de liaison lorsqu’un degré de liberté est bloqué ?

Une charge extérieure indépendante de la liaison considérée
Une déformation imposée dans la direction du mouvement autorisé
Une action mécanique dans la direction du mouvement empêché
Un moment appliqué autour d’un axe sans mouvement bloqué

Une action mécanique dans la direction du mouvement empêché

Explication

Le blocage d’un degré de liberté fait apparaître une action mécanique appelée effort de liaison dans la direction correspondante. Une charge extérieure n’est pas définie par le blocage d’un mouvement.

15. Quelle combinaison de mouvements est compatible avec un appui simple dans un problème plan ?

Deux translations bloquées et rotation autorisée autour de l’axe
Translation verticale et rotation autorisées, translation horizontale bloquée
Deux translations et rotation bloquées par la liaison
Translation horizontale et rotation autorisées, translation verticale bloquée

Translation horizontale et rotation autorisées, translation verticale bloquée

Explication

L’appui simple bloque la translation normale à l’appui, mais autorise la translation horizontale et la rotation. La combinaison avec deux translations bloquées correspond plutôt à une articulation dans le modèle décrit.

16. Comment définit-on le degré d’hyperstaticité d’une structure ?

Comme la différence entre les inconnues de liaison et les équations d’équilibre disponibles
Comme le rapport entre les équations d’équilibre et les inconnues de liaison
Comme la somme des inconnues de liaison et des équations d’équilibre disponibles
Comme la différence entre les équations d’équilibre et les charges extérieures

Comme la différence entre les inconnues de liaison et les équations d’équilibre disponibles

Explication

Le degré d’hyperstaticité mesure l’excédent du nombre d’inconnues de liaison sur le nombre d’équations d’équilibre. Une structure hypostatique présente au contraire moins d’inconnues que d’équations disponibles.

17. Une structure plane comporte nn solides, L1L_1 appuis simples, L2L_2 articulations et L3L_3 encastrements. Quelle expression donne son degré d’hyperstaticité ?

d=L1+L2+L3−3nd=L_1+L_2+L_3-3n
d=L1+2L2+3L3−3nd=L_1+2L_2+3L_3-3n
d=3L1+2L2+L3−nd=3L_1+2L_2+L_3-n
d=3n−L1−2L2−3L3d=3n-L_1-2L_2-3L_3

$$d=L_1+2L_2+3L_3-3n$$

Explication

Dans le cas plan, la contribution des liaisons vaut respectivement 11, 22 et 33 inconnues, tandis que chaque solide fournit trois équations d’équilibre. On obtient donc d=L1+2L2+3L3−3nd=L_1+2L_2+3L_3-3n.

18. Combien d’inconnues de liaison apporte un encastrement dans un problème plan ?

Deux inconnues, correspondant aux deux forces de réaction
Une inconnue, correspondant à la force normale à l’appui
Trois inconnues, correspondant aux deux forces et au moment
Six inconnues, correspondant aux forces et moments spatiaux

Trois inconnues, correspondant aux deux forces et au moment

Explication

Un encastrement plan bloque deux translations et une rotation, ce qui introduit trois inconnues de liaison. Les six composantes concernent la modélisation tridimensionnelle, pas le problème plan.

19. Une structure possède autant d’inconnues de liaison que d’équations d’équilibre disponibles. Comment son équilibre est-il qualifié ?

Hyperstatique
Hypostatique
Cinématique
Isostatique

Isostatique

Explication

L’équilibre est isostatique lorsque le nombre d’inconnues égale le nombre d’équations d’équilibre. Il est hypostatique si les inconnues sont moins nombreuses et hyperstatique si elles sont plus nombreuses.

20. Quel est le rôle principal du torseur de cohésion dans l’étude d’une poutre ?

Calculer les déplacements sans établir la répartition des efforts dans une section
Décrire les efforts internes et déterminer les sollicitations ainsi que les contraintes
Décrire les actions extérieures appliquées à l’ensemble de la structure
Déterminer la géométrie des appuis sans analyser les efforts internes

Décrire les efforts internes et déterminer les sollicitations ainsi que les contraintes

Explication

Le torseur de cohésion représente la répartition des efforts internes dans une section et sert à identifier les sollicitations et contraintes. Le torseur d’actions extérieures concerne les actions appliquées au système entier.

21. Quelle démarche permet de déterminer le torseur de cohésion dans une poutre ?

Découper la poutre aux extrémités et remplacer les deux parties par leurs réactions
Effectuer une coupure fictive, conserver une partie et appliquer l’équilibre après remplacement de l’autre
Appliquer une charge virtuelle à chaque appui puis mesurer les déplacements de la poutre
Supprimer les singularités, conserver toute la poutre et intégrer directement les contraintes

Effectuer une coupure fictive, conserver une partie et appliquer l’équilibre après remplacement de l’autre

Explication

La méthode consiste à couper fictivement la poutre entre les singularités, isoler une partie, remplacer l’autre par le torseur de cohésion et écrire l’équilibre. Les autres démarches ne définissent pas le calcul des efforts internes par coupure.

22. Pour une coupure séparant une poutre en une partie gauche et une partie droite, quelle relation vérifient les deux torseurs de cohésion ?

{τd}=−{τg}\{\tau_d\}=-\{\tau_g\}
{τd}={τg}\{\tau_d\}=\{\tau_g\}
{τd}=−2{τg}\{\tau_d\}=-2\{\tau_g\}
{τd}=2{τg}\{\tau_d\}=2\{\tau_g\}

$$\{\tau_d\}=-\{\tau_g\}$$

Explication

Les actions internes exercées de part et d’autre de la coupure ont même intensité et sens opposés, d’où {τd}=−{τg}\{\tau_d\}=-\{\tau_g\}. Une égalité sans signe opposé confondrait les deux actions avec une même orientation.

23. Quelles composantes appartiennent au torseur de cohésion en modélisation tridimensionnelle ?

Les efforts normaux NyN_y et NzN_z, puis les moments de torsion MyM_y et MzM_z
L’effort normal NN, un seul effort tranchant TyT_y et les moments fléchissants MxM_x et MzM_z
L’effort normal NN, les efforts tranchants TyT_y et TzT_z, puis les moments MxM_x, MyM_y et MzM_z
Les efforts tranchants TxT_x et TyT_y, puis les moments MxM_x et MyM_y

L’effort normal $$N$$, les efforts tranchants $$T_y$$ et $$T_z$$, puis les moments $$M_x$$, $$M_y$$ et $$M_z$$

Explication

En trois dimensions, le torseur comprend NN, TyT_y, TzT_z, le moment de torsion MxM_x et les moments fléchissants MyM_y et MzM_z. La deuxième proposition attribue notamment aux mauvais axes les composantes normales et les moments.

24. Quelle démarche permet de construire les diagrammes de sollicitations le long d’une poutre ?

Déterminer la contrainte normale moyenne, puis tracer sa variation sur la section
Appliquer une charge équivalente au centre de gravité, puis relever les déplacements
Calculer le torseur de cohésion à chaque coupure, puis reporter ses composantes
Calculer la déformation longitudinale, puis intégrer sa valeur sur toute la poutre

Calculer le torseur de cohésion à chaque coupure, puis reporter ses composantes

Explication

La construction des diagrammes consiste à répéter le calcul du torseur de cohésion par les équations d’équilibre pour chaque coupure, puis à reporter ses composantes. La contrainte moyenne et la déformation décrivent l’état du matériau, mais ne constituent pas la procédure de tracé des sollicitations.

25. Quel type de sollicitation peut être représenté par un torseur de cohésion ?

Une dilatation thermique uniforme
Une flexion composée
Une variation locale de la température
Une déformation longitudinale imposée

Une flexion composée

Explication

Le torseur de cohésion peut représenter plusieurs sollicitations mécaniques, notamment une flexion composée. Une température ou une déformation imposée n’est pas une sollicitation mécanique représentée directement par ce torseur.

26. Que caractérise le vecteur contrainte associé à une facette élémentaire de normale n⃗\vec{n} ?

La densité surfacique d’effort exercée sur cette facette
La déformation moyenne obtenue dans le volume voisin
Les efforts globaux résultants sur toute la section considérée
Le moment résultant des forces appliquées à la poutre

La densité surfacique d’effort exercée sur cette facette

Explication

Le vecteur contrainte décrit la densité surfacique d’effort appliquée sur une facette élémentaire. Le torseur de cohésion, contrairement au vecteur contrainte, regroupe les efforts globaux sur une section.

27. Quelle expression définit le vecteur contrainte au point MM pour une facette de normale n⃗\vec{n} ?

C⃗(M,n⃗)=lim⁡dF⃗→0dSdF⃗\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{d\vec{F}\to0}\frac{dS}{d\vec{F}}
C⃗(M,n⃗)=lim⁡dS→∞dF⃗dS\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to\infty}\frac{d\vec{F}}{dS}
C⃗(M,n⃗)=lim⁡dS→0dF⃗dS\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to0}\frac{d\vec{F}}{dS}
C⃗(M,n⃗)=lim⁡dS→0dSdF⃗\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to0}\frac{dS}{d\vec{F}}

$$\vec{C}(M,\vec{n})=\lim_{dS\to0}\frac{d\vec{F}}{dS}$$

Explication

Le vecteur contrainte est la limite du rapport entre l’effort élémentaire et la surface élémentaire lorsque cette surface tend vers zéro. Les autres expressions inversent le rapport ou utilisent une limite incompatible avec la définition locale.

28. Comment distingue-t-on la contrainte normale σ\sigma de la contrainte tangentielle τ\tau sur une facette ?

σ\sigma est la projection normale et τ\tau la projection dans le plan de la facette
σ\sigma agit dans le volume et τ\tau agit sur la section entière
σ\sigma est la projection tangentielle et τ\tau la projection normale à la facette
σ\sigma mesure le moment fléchissant et τ\tau mesure l’effort normal

$$\sigma$$ est la projection normale et $$\tau$$ la projection dans le plan de la facette

Explication

La contrainte normale est la projection du vecteur contrainte sur la normale à la facette, tandis que la contrainte tangentielle est sa projection dans le plan de cette facette. La confusion fréquente consiste à inverser ces deux projections.

29. Dans quelle situation une section droite est-elle en traction ou compression pure ?

Lorsque les efforts internes se réduisent à un effort tranchant TyT_y appliqué en GG
Lorsque la section possède simultanément un effort normal et un moment fléchissant
Lorsque les efforts internes se réduisent à un effort normal NN appliqué en GG
Lorsque la section est soumise à un couple de torsion sans effort résultant

Lorsque les efforts internes se réduisent à un effort normal $$N$$ appliqué en $$G$$

Explication

La traction ou compression pure correspond à un seul effort normal NN appliqué au centre de gravité GG de la section. Un effort tranchant caractérise plutôt le cisaillement, tandis qu’un moment associé conduit à une sollicitation composée.

30. Avec les conventions de signe indiquées, que signifie une valeur N<0N<0 ?

La section est en compression pure
La section est en traction pure
La section est soumise à une flexion pure
La section est soumise à un cisaillement pur

La section est en compression pure

Explication

Avec ces conventions, N>0N>0 correspond à une traction et N<0N<0 à une compression. Le signe de l’effort normal ne transforme pas cette sollicitation en cisaillement ou en flexion.

31. Pour une barre en traction pure soumise à une force FF, quelles relations d’équilibre sont vérifiées ?

N=0N=0, Ty=FT_y=F et Mfz=0M_{fz}=0
N=0N=0, Ty=0T_y=0 et Mfz=FM_{fz}=F
N=FN=F, Ty=FT_y=F et Mfz=FM_{fz}=F
N=FN=F, Ty=0T_y=0 et Mfz=0M_{fz}=0

$$N=F$$, $$T_y=0$$ et $$M_{fz}=0$$

Explication

En traction pure, l’équilibre donne un effort normal égal à la force appliquée, soit N=FN=F, tandis que l’effort tranchant et le moment fléchissant sont nuls. L’apparition d’un effort tranchant ou d’un moment correspondrait à une autre combinaison de sollicitations.

32. Une barre de section uniforme possède N=12 kNN=12\,\mathrm{kN} et S=600 mm2S=600\,\mathrm{mm^2}. Quelle contrainte normale moyenne obtient-on sous l’hypothèse d’une répartition uniforme ?

0,02 N/mm20{,}02\,\mathrm{N/mm^2}
7200 N/mm27200\,\mathrm{N/mm^2}
20 N/mm220\,\mathrm{N/mm^2}
50 N/mm250\,\mathrm{N/mm^2}

$$20\,\mathrm{N/mm^2}$$

Explication

La relation σ=NS\sigma=\frac{N}{S} donne ici σ=12000600=20 N/mm2\sigma=\frac{12000}{600}=20\,\mathrm{N/mm^2}. La conversion de 12 kN12\,\mathrm{kN} en 12000 N12000\,\mathrm{N} est nécessaire avant de diviser par la section en millimètres carrés.

33. Quelle condition caractérise une section droite en cisaillement pur ?

Ses efforts internes se réduisent à un effort normal NN
Ses efforts internes associent un effort normal et un moment fléchissant
Ses efforts internes se réduisent à un effort tranchant TyT_y
Ses efforts internes se réduisent à un moment fléchissant MfzM_{fz}

Ses efforts internes se réduisent à un effort tranchant $$T_y$$

Explication

Le cisaillement pur est défini par la présence d’un seul effort tranchant TyT_y parmi les efforts internes. La traction pure se distingue par un effort normal NN, et non par un effort tranchant.

34. Dans l’approximation du cisaillement pur, quelles valeurs vérifient l’équilibre lorsqu’une force transversale FF est appliquée ?

Ty=0T_y=0, N=0N=0 et le moment fléchissant vaut FF
Ty=FT_y=F, N=FN=F et le moment fléchissant est négligé
Ty=0T_y=0, N=FN=F et le moment fléchissant est conservé
Ty=FT_y=F, N=0N=0 et le moment fléchissant est négligé

$$T_y=F$$, $$N=0$$ et le moment fléchissant est négligé

Explication

L’équilibre du modèle de cisaillement pur impose Ty=FT_y=F, tandis que l’effort normal est nul et que le moment fléchissant est négligé. L’association Ty=0T_y=0 et N=FN=F correspondrait plutôt à une sollicitation axiale.

35. Une éprouvette de longueur initiale L0L_0 subit un déplacement transversal relatif Δy\Delta y entre deux sections. Quelle expression donne sa déformation de cisaillement ?

εy=1Δy+L0\varepsilon_y=\frac{1}{\Delta y+L_0}
εy=ΔyL0\varepsilon_y=\Delta yL_0
εy=L0Δy\varepsilon_y=\frac{L_0}{\Delta y}
εy=ΔyL0\varepsilon_y=\frac{\Delta y}{L_0}

$$\varepsilon_y=\frac{\Delta y}{L_0}$$

Explication

La déformation de cisaillement est le rapport entre le déplacement transversal relatif et la longueur initiale, soit εy=ΔyL0\varepsilon_y=\frac{\Delta y}{L_0}. L’inversion du rapport ne représente pas une déformation.

36. Une section de surface SS est soumise à un effort tranchant TyT_y uniformément réparti. Quelle contrainte tangentielle moyenne peut-on utiliser ?

τmoy=TyS2\tau_{moy}=\frac{T_y}{S^2}
τmoy=STy\tau_{moy}=\frac{S}{T_y}
τmoy=TyS\tau_{moy}=T_yS
τmoy=TyS\tau_{moy}=\frac{T_y}{S}

$$\tau_{moy}=\frac{T_y}{S}$$

Explication

Sous l’hypothèse d’une contrainte tangentielle uniforme, la contrainte moyenne est l’effort tranchant divisé par la surface, τmoy=TyS\tau_{moy}=\frac{T_y}{S}. Le produit ou les rapports inversés ne respectent pas cette relation d’équilibre surfacique.

37. Quelle condition caractérise une section droite en flexion pure ?

Ses efforts internes se réduisent à un effort normal NN
Ses efforts internes se réduisent à un moment fléchissant MfzM_{fz}
Ses efforts internes associent un moment fléchissant et un effort tranchant
Ses efforts internes se réduisent à un effort tranchant TyT_y

Ses efforts internes se réduisent à un moment fléchissant $$M_{fz}$$

Explication

En flexion pure, le seul effort interne considéré est le moment fléchissant MfzM_{fz}. La présence simultanée d’un effort tranchant décrit plutôt une flexion simple.

38. Quelles contraintes apparaissent dans une poutre soumise à une flexion pure ?

Des contraintes tangentielles, avec glissement entre les fibres longitudinales
Des contraintes normales et tangentielles, réparties de manière identique
Des contraintes normales uniformes, avec une même déformation dans chaque fibre
Des contraintes normales, avec compression et traction de fibres distinctes

Des contraintes normales, avec compression et traction de fibres distinctes

Explication

La flexion pure engendre des contraintes normales : une partie des fibres est comprimée tandis qu’une autre est tendue. Les contraintes de cisaillement sont associées à une composante d’effort tranchant, caractéristique de la flexion simple.

39. Pour une poutre en flexion pure, comment s’exprime la déformation longitudinale au point de coordonnée yy ?

εx(x,y)=−yr(x)\varepsilon_x(x,y)=-\frac{y}{r(x)}
εx(x,y)=r(x)y2\varepsilon_x(x,y)=\frac{r(x)}{y^2}
εx(x,y)=−r(x)y\varepsilon_x(x,y)=-\frac{r(x)}{y}
εx(x,y)=yr(x)2\varepsilon_x(x,y)=\frac{y}{r(x)^2}

$$\varepsilon_x(x,y)=-\frac{y}{r(x)}$$

Explication

La déformation longitudinale varie linéairement avec la distance à l’axe neutre et s’écrit εx(x,y)=−yr(x)\varepsilon_x(x,y)=-\frac{y}{r(x)}. L’inversion de yy et de r(x)r(x) ne correspond pas à la relation de flexion pure.

40. Comment le moment fléchissant Mfz(x)M_{fz}(x) est-il relié à la contrainte normale en un point de coordonnée yy ?

σ(x,y)=−Mfz(x)IGzSy\sigma(x,y)=-\frac{M_{fz}(x)}{I_{Gz}^{S}}y
σ(x,y)=Mfz(x)IGzSy\sigma(x,y)=\frac{M_{fz}(x)I_{Gz}^{S}}{y}
σ(x,y)=−Mfz(x)IGzSy\sigma(x,y)=-\frac{M_{fz}(x)}{I_{Gz}^{S}y}
σ(x,y)=−IGzSMfz(x)y\sigma(x,y)=-\frac{I_{Gz}^{S}}{M_{fz}(x)}y

$$\sigma(x,y)=-\frac{M_{fz}(x)}{I_{Gz}^{S}}y$$

Explication

La contrainte normale de flexion est proportionnelle au moment fléchissant et à la distance yy, selon σ(x,y)=−Mfz(x)IGzSy\sigma(x,y)=-\frac{M_{fz}(x)}{I_{Gz}^{S}}y. Le moment quadratique intervient au dénominateur, car une section plus rigide réduit la contrainte pour un moment donné.

41. Quelle relation relie le moment fléchissant à la courbure de la déformée d’une poutre ?

y′(x)=Mfz(x)EIGzSy'(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}
y′′(x)=Mfz(x)EIGzSy''(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}
y′′(x)=EIGzSMfz(x)y''(x)=\frac{E I_{Gz}^{S}}{M_{fz}(x)}
y(x)=Mfz(x)EIGzSy(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}

$$y''(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}$$

Explication

Le moment fléchissant détermine la courbure, c’est-à-dire la dérivée seconde de la déformée, par y′′(x)=Mfz(x)EIGzSy''(x)=\frac{M_{fz}(x)}{E I_{Gz}^{S}}. La flèche correspond à y(x)y(x), tandis que y′(x)y'(x) représente la pente.

42. Que représente la flèche d’une poutre en un point donné ?

La dérivée première de la déformée y′(x)y'(x) en ce point
Le moment fléchissant Mfz(x)M_{fz}(x) en ce point
La valeur de la déformée y(x)y(x) en ce point
La dérivée seconde de la déformée y′′(x)y''(x) en ce point

La valeur de la déformée $$y(x)$$ en ce point

Explication

La flèche est la valeur du déplacement transversal, donc la valeur de la déformée y(x)y(x) au point considéré. La dérivée seconde y′′(x)y''(x) décrit la courbure et dépend du moment fléchissant.

43. Dans une poutre soumise à la flexion et respectant les hypothèses d’élancement du cours, quelles contraintes sont dimensionnantes ?

Les contraintes de torsion, devant les contraintes normales
Les contraintes normales, devant les contraintes tangentielles
Les contraintes normales et tangentielles avec la même importance
Les contraintes tangentielles, devant les contraintes normales

Les contraintes normales, devant les contraintes tangentielles

Explication

Pour une poutre suffisamment élancée en flexion, les contraintes normales gouvernent le dimensionnement par rapport aux contraintes tangentielles. Les contraintes tangentielles ne deviennent donc pas prépondérantes dans le cadre d’élancement considéré.

44. Quelle caractéristique distingue l’état de contrainte en traction ou compression pure de celui associé à la torsion ?

La traction ou compression pure présente des contraintes normales sans contrainte tangentielle
La torsion et la traction pure présentent les mêmes contraintes principales
La torsion présente des contraintes normales sans contrainte tangentielle
La traction ou compression pure présente des contraintes tangentielles sans contrainte normale

La traction ou compression pure présente des contraintes normales sans contrainte tangentielle

Explication

En traction ou compression pure, les contraintes normales sont dimensionnantes et aucune contrainte tangentielle n’est présente. La torsion se caractérise au contraire par la présence de contraintes tangentielles, ce qui rend la deuxième proposition incorrecte.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 82 flashcards sur RDM : efforts internes et contraintes.

Qu'est-ce que la résistance des matériaux étudie en statique ?

Les effets des actions mécaniques sur les structures.

Quel est l'objectif principal de la RDM dans le dimensionnement des structures ?

Calculer contraintes, déformations et déplacements.

Quelle est la première étape dans l'étude d'une structure de poutres en RDM ?

Vérifier le domaine de la RDM.

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Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur RDM : efforts internes et contraintes.

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