QCM : Récurrence et inégalité de Bernoulli (6 questions)

Question 1

1. Une propriété $P(n)$ est définie pour les entiers naturels $n e2 4 n_0$ . Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier naturel $n e2 4 n_0$ ?

Vérifier

P(n_0)

et

P(n_0+1)

, sans établir de lien entre deux rangs consécutifs.

Vérifier

P(n_0)

et montrer que

P(n+1)

implique

P(n)

pour tout

n 2 4 n_0

.

Vérifier

P(0)

et montrer que, pour tout

n e2 4 n_0

,

P(n)

implique

P(n+1)

.

Vérifier

P(n_0)

et montrer que, pour tout

n e2 4 n_0

,

P(n)

implique

P(n+1)

.

Explication

L’initialisation en $n_0$ et l’hérédité de $P(n)$ à $P(n+1)$ assurent la vérité de la propriété à tous les rangs à partir de $n_0$ . Commencer par $P(0)$ ne convient pas nécessairement lorsque le rang de départ est $n_0$ .

Answer

Vérifier $$P(n_0)$$ et montrer que, pour tout $$n e2 4 n_0$$, $$P(n)$$ implique $$P(n+1)$$.

Question 2

2. Pour démontrer par récurrence une propriété à partir d’un entier naturel $n_0$ , quelle organisation des étapes est correcte ?

Initialiser en

n_0

, établir que

P(n+1)

implique

P(n)

, puis conclure pour tous les rangs à partir de

n_0

.

Initialiser en

0

, établir l’hérédité à partir de

n_0

, puis conclure pour tous les rangs à partir de

n_0

.

Initialiser en

n_0

, établir l’hérédité de

P(n)

à

P(n+1)

pour

n 2 4 n_0

, puis conclure pour tous les rangs à partir de

n_0

.

Établir l’hérédité pour

n 2 4 n_0

, conclure pour tous les rangs, puis vérifier l’initialisation en

n_0

.

Explication

La preuve commence par vérifier le rang initial, poursuit avec l’hérédité pour les rangs concernés et termine par la conclusion générale. L’initialisation en $0$ correspond à un autre rang de départ et ne remplace pas celle en $n_0$ .

Answer

Initialiser en $$n_0$$, établir l’hérédité de $$P(n)$$ à $$P(n+1)$$ pour $$n 2 4 n_0$$, puis conclure pour tous les rangs à partir de $$n_0$$.

Question 3

3. Pour un réel $a>0$ et un entier naturel $n$ , quelle relation exprime l’inégalité de Bernoulli ?

(1+a)^n 2 4 1+na

(1-a)^n 2 5 1-na

(1+a)^n 2 5 1+n a^2

(1+a)^n 2 5 1+na

Explication

Pour $a>0$ et $n$ naturel, l’inégalité de Bernoulli donne $(1+a)^n 2 5 1+na$ . La variante avec $1-a$ n’est pas la relation énoncée pour ces hypothèses.

Answer

$$(1+a)^n 2 5 1+na$$

Question 4

4. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité de Bernoulli, quelle démarche permet d’établir le résultat pour tout $n\text{ naturel}$ ?

Vérifier l’inégalité en

n=0

, établir l’hérédité en supposant le résultat au rang

n

, puis conclure pour tout

n

naturel.

Vérifier l’inégalité en

n=0

, établir l’hérédité en supposant le résultat au rang

n+1

, puis conclure pour tout

n

naturel.

Vérifier l’inégalité en

n=1

, établir l’hérédité en supposant le résultat au rang

n+1

, puis conclure pour tout

n

naturel.

Vérifier l’inégalité en

n=0

, établir l’hérédité à partir du résultat au rang

n

, puis conclure seulement pour les entiers strictement positifs.

Explication

La preuve initialise à $n=0$ , suppose l’inégalité vraie au rang $n$ pour démontrer le rang suivant, puis conclut sur l’ensemble des entiers naturels. Une initialisation en $n=1$ ne suit pas le processus indiqué.

Answer

Vérifier l’inégalité en $$n=0$$, établir l’hérédité en supposant le résultat au rang $$n$$, puis conclure pour tout $$n$$ naturel.

Question 5

5. Que désigne l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

La vérification directe de la propriété au rang initial

n_0

Le passage de la véracité de

P(n)

à celle de

P(n+1)

pour tout

n\geq n_0

La recherche d’un rang où la propriété devient fausse

La conclusion que la propriété est vraie pour tous les rangs à partir de

n_0

Explication

L’hérédité consiste à établir que, pour chaque $n\geq n_0$ , la propriété au rang $n$ entraîne celle au rang suivant. La vérification au rang initial relève de l’initialisation, et non de l’hérédité.

Answer

Le passage de la véracité de $$P(n)$$ à celle de $$P(n+1)$$ pour tout $$n\geq n_0$$

Question 6

6. Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, quel rôle joue la condition $a>0$ ?

Elle garantit que

1+a\geq 0

et que

na^2\geq 0

pour tout entier naturel

n

.

Elle garantit que

1+na\geq 0

et que

a^n\geq 0

pour tout entier naturel

n

.

Elle permet de remplacer

n

par

n+1

sans modifier le terme

na

.

Elle établit l’inégalité au rang initial en donnant

a=0

.

Explication

La positivité de $a$ implique que $1+a$ est non négatif et que $na^2$ l’est aussi pour tout $n\in\mathbb{N}$ , ce qui intervient dans l’étape d’hérédité. La non-négativité de $1+na$ n’est pas le rôle précis mis en avant pour cette condition.

Answer

Elle garantit que $$1+a\geq 0$$ et que $$na^2\geq 0$$ pour tout entier naturel $$n$$.

QCM : Récurrence et inégalité de Bernoulli (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une propriété $P(n)$ est définie pour les entiers naturels $n e2 4 n_0$ . Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier naturel $n e2 4 n_0$ ?

2. Pour démontrer par récurrence une propriété à partir d’un entier naturel $n_0$ , quelle organisation des étapes est correcte ?

3. Pour un réel $a>0$ et un entier naturel $n$ , quelle relation exprime l’inégalité de Bernoulli ?

4. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité de Bernoulli, quelle démarche permet d’établir le résultat pour tout $n\text{ naturel}$ ?

5. Que désigne l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

6. Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, quel rôle joue la condition $a>0$ ?

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QCM : Récurrence et inégalité de Bernoulli (6 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une propriété P(n)P(n)P(n) est définie pour les entiers naturels ne24n0n e2 4 n_0ne24n0​. Quelles conditions permettent de conclure qu’elle est vraie pour tout entier naturel ne24n0n e2 4 n_0ne24n0​ ?

2. Pour démontrer par récurrence une propriété à partir d’un entier naturel n0n_0n0​, quelle organisation des étapes est correcte ?

3. Pour un réel a>0a>0a>0 et un entier naturel nnn, quelle relation exprime l’inégalité de Bernoulli ?

4. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité de Bernoulli, quelle démarche permet d’établir le résultat pour tout n natureln\text{ naturel}n naturel ?

5. Que désigne l’hérédité dans une démonstration par récurrence ?

6. Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, quel rôle joue la condition a>0a>0a>0 ?

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2. Pour démontrer par récurrence une propriété à partir d’un entier naturel $n_0$ , quelle organisation des étapes est correcte ?

3. Pour un réel $a>0$ et un entier naturel $n$ , quelle relation exprime l’inégalité de Bernoulli ?

4. Dans une preuve par récurrence de l’inégalité de Bernoulli, quelle démarche permet d’établir le résultat pour tout $n\text{ naturel}$ ?

6. Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, quel rôle joue la condition $a>0$ ?