Récurrence et inégalité de Bernoulli

📋 Plan du Cours

1. Principe du raisonnement par récurrence
2. Inégalité de Bernoulli

📖 1. Principe du raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

📌 Pour une propriété P(n) définie à partir d’un entier naturel n₀, si P(n₀) est vraie et si, pour tout n ⩾ n₀, P(n) implique P(n + 1), alors P(n) est vraie pour tout n ⩾ n₀.

• Une démonstration par récurrence à partir de n₀ comporte l’initialisation en n₀, l’hérédité de P(n) à P(n + 1) pour n ⩾ n₀, puis la conclusion que P(n) est vraie pour tout n ⩾ n₀.

Compléments

• La propriété 3ⁿ = 5 + 2n échoue dès n = 0, car 3⁰ = 1 alors que 5 + 2 × 0 = 5.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Inégalité de Bernoulli

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a strictement positif et tout entier naturel n, $(1+a)^n \geq 1+na$.

• La démonstration de l’inégalité de Bernoulli initialise l’inégalité à n = 0, établit l’hérédité en supposant (1 + a)ⁿ ⩾ 1 + na, puis conclut pour tout n ∈ ℕ.

Compléments

• Dans l’hérédité de l’inégalité de Bernoulli, la condition a > 0 garantit que 1 + a ⩾ 0 et que na² ⩾ 0 pour n ∈ ℕ.