Fiche de révision : Repère de Frenet et lois de Newton

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs position vitesse et accélération
2. Mouvements rectilignes
3. Mouvements circulaires
4. Repère de Frenet et mouvement circulaire
5. Centre de masse et système étudié
6. Référentiels galiléens et non galiléens
7. Deuxième loi de Newton et équilibre

📖 1. Vecteurs position vitesse et accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Représente la position d’un point M à l’instant t dans un repère orthonormé d’origine O.
• Vecteur vitesse instantané : Dérivée temporelle du vecteur position et ses composantes sont les dérivées des coordonnées : $\vec{v}(t)=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt},\quad v_x=\frac{dx}{dt},\quad v_y=\frac{dy}{dt}$.
• Vecteur accélération instantané : Dérivée temporelle du vecteur vitesse, et ses composantes sont les dérivées secondes des coordonnées : $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}(t)}{dt},\quad a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$ et sa norme vaut $\|\overrightarrow{OM}(t)\|=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2}$, les coordonnées et la norme étant exprimées en mètres.

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme donne la valeur de la vitesse en m·s⁻¹.

Compléments

• Pour la suite de l’étude, les mouvements considérés sont plans et décrits par les deux coordonnées x(t) et y(t).

📐 Formule - Pour un mouvement plan, la norme de la vitesse vaut $\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

• Les vecteurs variation de vitesse $\Delta\vec{v}$ et accélération $\vec{a}$ ont la même direction et le même sens, car ils sont colinéaires.

📖 2. Mouvements rectilignes

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : Mouvement dont la trajectoire est une droite ; ses vecteurs vitesse et accélération gardent la direction de la trajectoire.

★ À maîtriser

📌 Dans un mouvement rectiligne uniforme, l’accélération est nulle et la vitesse est constante ; dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, $\vec{a}\cdot\vec{v}>0$ et la norme de la vitesse augmente ; dans un mouvement rectiligne uniformément ralenti, $\vec{a}\cdot\vec{v}<0$ et la norme de la vitesse diminue.

Compléments

📐 Formule - Pour une accélération constante sur un intervalle de temps, $\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.

• Un véhicule qui passe de 10 m·s⁻¹ à 20 m·s⁻¹ en 5,0 s dans le même sens sur une trajectoire rectiligne a une accélération constante de 2,0 m·s⁻² et son mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

💡 Astuce mémo

Accélération dans le sens de la vitesse : la norme augmente ; en sens opposés : elle diminue.

📖 3. Mouvements circulaires

📝 Points essentiels

• Pour analyser un mouvement circulaire, on utilise un repère particulier appelé repère de Frenet, adapté à la géométrie courbe de la trajectoire.

📖 4. Repère de Frenet et mouvement circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Repère local défini en chaque point d’une trajectoire par deux vecteurs unitaires orthogonaux : le vecteur tangent $\vec{\tau}$, orienté dans le sens du mouvement, et le vecteur normal $\vec{n}$, dirigé vers le centre de courbure.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, la vitesse et l’accélération s’écrivent $\vec{v}=v\vec{\tau}$ et $\vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{n}$, où $R$ est le rayon de courbure en mètres.

📌 Dans un mouvement circulaire uniforme, $v$ est constante, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération normale vaut $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{n}$ ; dans un mouvement circulaire varié, $v$ varie, les composantes tangentielle et normale sont présentes et vitesse et accélération ne sont pas orthogonales.

Compléments

• Pour un satellite en orbite circulaire de rayon $R=7{,}0\times10^6\,\mathrm{m}$ à vitesse constante $v=7{,}5\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, la norme de l’accélération est $8{,}0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ et sa direction est vers le centre de la Terre.

💡 Astuce mémo

Tangente : variation de vitesse ; normale : courbure vers le centre.

📖 5. Centre de masse et système étudié

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse : Point où se situe la position moyenne de la masse du corps, correspondant au barycentre des masses qui le constituent.
• Système : Solide ou ensemble de points matériels choisi pour être étudié.

📝 Points essentiels

• Le centre de masse d’un système en mouvement décrit la trajectoire la plus simple caractérisant le mouvement du système.

• Lorsqu’un gymnaste réalise une figure acrobatique en l’air, son centre de masse suit une trajectoire parabolique simple malgré les rotations complexes du corps.

📖 6. Référentiels galiléens et non galiléens

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel galiléen : Référentiel où un système isolé ou pseudo-isolé, pour lequel $\sum\vec{F}=\vec{0}$, est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, conformément au principe d’inertie.

★ À maîtriser

📌 Un référentiel en translation accélérée ou ralentie, ou en rotation par rapport à un référentiel galiléen, n’est pas galiléen.

Compléments

• Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre du Soleil, des axes dirigés vers trois étoiles lointaines fixes et sert à étudier le mouvement des planètes.

• Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre, des axes dirigés vers trois étoiles lointaines fixes et sert à étudier les satellites artificiels lorsque la durée du mouvement est inférieure à quelques heures.

• Le référentiel terrestre a pour origine un point de la surface terrestre, des axes fixes par rapport au sol et sert à étudier les mouvements quotidiens lorsque leur durée est inférieure à quelques minutes.

💡 Astuce mémo

Train à vitesse constante : galiléen ; train qui freine : non galiléen.

📖 7. Deuxième loi de Newton et équilibre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système de masse constante $m$ dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $\sum\vec{F}_{\mathrm{ext}}=m\vec{a}_G=m\frac{d\vec{v}_G}{dt}$.

📌 Dans un référentiel galiléen, un système est à l’équilibre si et seulement si sa vitesse est constante, son accélération est nulle et la somme vectorielle des forces extérieures est nulle.

Compléments

• Dans la deuxième loi de Newton, $\sum\vec{F}_{\mathrm{ext}}$ est la somme vectorielle des forces extérieures en newtons, $m$ la masse en kilogrammes, $\vec{a}_G$ l’accélération du centre de masse en mètres par seconde carrée et $\vec{v}_G$ sa vitesse en mètres par seconde.

📌 L’équilibre statique correspond à $\vec{v}_G=\vec{0}$, tandis que l’équilibre dynamique correspond à une vitesse constante non nulle et donc à un mouvement rectiligne uniforme.

📊 Tableaux de synthèse

Équilibres d’un système