Fiche de révision : Résolution du trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et mise sous forme canonique
2. Rôle du discriminant
3. Factorisation et racines réelles
4. Interprétation graphique des solutions

📖 1. Trinôme et mise sous forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Expression de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\in\mathbb{R}^*$, $b\in\mathbb{R}$ et $c\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La mise sous forme canonique donne $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right].$

Compléments

• Pour obtenir la forme canonique, on factorise d’abord a, on ajoute et soustrait $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$, puis on utilise l’identité remarquable du carré d’une somme.

📖 2. Rôle du discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre $\Delta=b^2-4ac$ du trinôme $ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

📌 Le signe du discriminant distingue trois situations : $\Delta<0$, $\Delta=0$ et $\Delta>0$.

💡 Astuce mémo

Le discriminant suit la chaîne Δ<0, Δ=0, Δ>0.

📖 3. Factorisation et racines réelles

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’est pas factorisable dans les réels et l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle, donc $S=\varnothing$.

• Si $\Delta=0$, le trinôme s’écrit $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ et l’équation possède une unique solution réelle double $S=\left\{-\frac{b}{2a}\right\}.$

• Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise en $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right).$

📐 Formule — Pour $\Delta>0$, les deux racines réelles distinctes sont $x_1=-\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=-\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$

Compléments

📌 La relation $\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}$ repose sur $\sqrt{a^2}=|a|.$

💡 Astuce mémo

Δ=0 donne une racine double, tandis que Δ>0 donne deux racines distinctes.

📖 4. Interprétation graphique des solutions

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, la courbe représentative du trinôme ne coupe jamais l’axe des abscisses.

• Si $\Delta=0$, la courbe représentative coupe l’axe des abscisses en un seul point.

• Si $\Delta>0$, la courbe représentative coupe l’axe des abscisses en deux points.

💡 Astuce mémo

Zéro, un, deux points d’intersection selon Δ<0, Δ=0, Δ>0.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et nombre de solutions