Fiche de révision : Révision de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Équations et inéquations
2. Problèmes et systèmes
3. Développer et réduire
4. Calculs avec les fractions
5. Figures, périmètres et aires

📖 1. Équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Égalité comprenant une ou plusieurs inconnues, et dont la solution est la valeur qui rend l’égalité vraie.
• Inéquation : Inégalité comportant une inconnue, dont la solution regroupe les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation, on regroupe les inconnues d’un côté, les nombres de l’autre, on utilise les opérations inverses, puis on vérifie la solution.

📌 Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on inverse le sens du signe d’inégalité.

Compléments

• L’équation $4x+9=6x$ a pour solution $x=\frac{9}{10}$ après regroupement des termes et division par $-10$.

• La résolution de $5x+2\leq47$ donne $x\leq9$.

💡 Astuce mémo

Équation : une ou plusieurs valeurs rendent une égalité vraie ; inéquation : un ensemble de valeurs rend une inégalité vraie.

📖 2. Problèmes et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Système d’équations : Ensemble de deux ou plusieurs équations comportant les mêmes inconnues.

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème avec une équation, on choisit l’inconnue, on traduit l’énoncé par une équation, on résout l’équation, puis on vérifie et on rédige la réponse.

• Pour résoudre le système donné, on soustrait la deuxième équation à la première pour trouver une inconnue, puis on remplace sa valeur dans la deuxième équation pour trouver l’autre.

Compléments

• Si un nombre augmenté de 5 est égal à 17, l’équation $x+5=17$ donne $x=12$.

• Le système $5x+2y=47$ et $x+2y=20$ a pour solution $x=6{,}75$ et $y=6{,}625$.

💡 Astuce mémo

Choisir, traduire, résoudre, vérifier.

📖 3. Développer et réduire

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour développer et réduire une expression, on multiplie les termes entre eux, puis on regroupe les termes semblables.

Compléments

• Le développement de $(5x+2)^2$ donne $25x^2+20x+4$.

• Le développement de $(x+3)(x-4)$ donne $x^2-x-12$.

💡 Astuce mémo

D-R : développer les produits, réduire les termes semblables.

📖 4. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un même dénominateur.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Compléments

• Les calculs donnent $\frac25+\frac35=1$, $\frac47-\frac17=\frac37$, $\frac34\times\frac85=\frac65$ et $\frac56\div\frac23=\frac54$.

📌 Après un calcul, une fraction doit être simplifiée lorsque c’est possible et présentée sous forme irréductible.

💡 Astuce mémo

Additionner exige un dénominateur commun ; diviser revient à multiplier par l’inverse.

📖 5. Figures, périmètres et aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre : Somme des longueurs de ses côtés.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les périmètres usuels sont $P=2(L+l)$ pour un rectangle, $P=4c$ pour un carré et $P=a+b+c$ pour un triangle.

📐 Formule — Les aires usuelles sont $A=L\times l$ pour un rectangle, $A=c^2$ pour un carré et $A=\frac{b\times h}{2}$ pour un triangle.

Compléments

• Les caractéristiques des figures sont:
  • Triangle : 3 côtés
  • Rectangle : 4 angles droits
  • Carré : 4 côtés égaux
  • Cercle : points à la même distance du centre
  • Parallélogramme : côtés opposés parallèles

📌 Pour réussir un exercice, il faut bien lire l’énoncé, faire un schéma si nécessaire, vérifier ses calculs et ne pas oublier les unités.

💡 Astuce mémo

Visualiser chaque figure avec ses côtés, ses angles et ses mesures.

📊 Tableaux de synthèse

Périmètres et aires des figures