Fiche de révision : Révisions numériques

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les nombres relatifs
2. Calcul fractionnaire
3. Puissances à exposant positif
4. Puissances négatives et priorités
5. Règles de calcul sur les puissances
6. Puissances de dix et notation scientifique
7. Programmes de calcul

📖 1. Opérations sur les nombres relatifs

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, on regroupe les termes selon leur signe et on applique les règles de signes.

📌 Le produit ou le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes opposés est négatif.

Compléments

• Un produit comportant quatre facteurs négatifs est positif.

💡 Astuce mémo

Même signe → positif, signes opposés → négatif

📖 2. Calcul fractionnaire

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur, conserver ce dénominateur commun, puis additionner ou soustraire les numérateurs.

• Lors d’une multiplication de fractions, on peut d’abord simplifier un numérateur avec un dénominateur, puis multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse : $a \div b = a \times \frac{1}{b}$.

Compléments

📌 Le résultat d’un calcul fractionnaire doit toujours être simplifié au maximum, notamment sous forme de fraction irréductible.

💡 Astuce mémo

Dénominateur commun → calcul des numérateurs → simplification

📖 3. Puissances à exposant positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs tous égaux à x, où x est un nombre relatif et n un entier positif non nul.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier positif non nul n, $0^n=0$ et, pour tout nombre a non nul, $a^0=1$ tandis que $a^1=a$.

Compléments

• Le calcul $(-2)^3$ correspond à $(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$.

💡 Astuce mémo

Une puissance empile n facteurs identiques

📖 4. Puissances négatives et priorités

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance négative : Inverse de $a^n$ pour un nombre a non nul et un entier positif non nul n : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout nombre a non nul, $a^{-1}=\frac{1}{a}$ ; ainsi, $a^{-1}$ est l’inverse de a.

• Pour calculer une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

📌 Les écritures $(-5)^2$ et $-5^2$ sont différentes : $(-5)^2=25$, tandis que $-5^2=-25$.

💡 Astuce mémo

(-5)² = 25, alors que -5² = -25

📖 5. Règles de calcul sur les puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une base a non nulle et des entiers relatifs n et p, le produit de puissances de même base vérifie $a^n\times a^p=a^{n+p}$.

📐 Formule — Pour une base a non nulle et des entiers relatifs n et p, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule — Pour une base a non nulle et des entiers relatifs n et p, une puissance d’une puissance vérifie $(a^n)^p=a^{n\times p}$.

Compléments

📐 Formule — Pour des nombres a et b et un entier n, le produit de puissances de même exposant vérifie $a^n\times b^n=(a\times b)^n$.

💡 Astuce mémo

MPE : Même base, Puissance d’une puissance, Exposants

📖 6. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Écriture unique $a\times10^n$ telle que $1\leq a<10$ et n soit un entier relatif.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier positif non nul n, $10^n$ s’écrit comme 1 suivi de n zéros.

📌 Pour tout entier positif non nul n, $10^{-n}$ est l’inverse de $10^n$ et s’écrit avec un 1 précédé de n chiffres zéro après la virgule.

Compléments

• Le nombre 12 835 000 s’écrit en notation scientifique $1{,}2835\times10^7$.

💡 Astuce mémo

Déplacer la virgule → compter les rangs → choisir l’exposant

📖 7. Programmes de calcul

📝 Points essentiels

• 🔄 Le programme s’effectue dans cet ordre:
  1. Choisir un nombre
  2. Soustraire 1
  3. Élever le résultat au carré
  4. Multiplier par 3

💡 Astuce mémo

Soustraire → élever au carré → multiplier par 3

📊 Tableaux de synthèse

Règles sur les puissances