Fiche de révision : Second degré et dénombrement

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Discriminant et racines
3. Équations avec paramètres
4. Formes factorisées et racines
5. Signes et inéquations quadratiques
6. Équations transformées et applications
7. Principes de dénombrement
8. Arrangements et permutations
9. Combinaisons et choix simultanés
10. Dénombrement avec contraintes
11. Applications et propriétés combinatoires
12. Chemins et dénombrement géométrique

📖 1. Équations du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$, les coefficients vérifient $a\ne 0$.

📐 Formule - Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

Compléments

📌 Une équation fractionnaire se résout après exclusion des valeurs qui annulent son dénominateur, puis mise sous forme d’une équation polynomiale équivalente sur l’ensemble de validité.

📖 2. Discriminant et racines

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’équation admet la solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule - En posant $b=2b'$, on obtient $\Delta=4\Delta'$ avec $\Delta'=b'^2-ac$, et les racines réelles s’écrivent $x_{1{,}2}=\frac{-b'\mp\sqrt{\Delta'}}{a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine réelle ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines distinctes.

📖 3. Équations avec paramètres

★ À maîtriser

📌 L’équation $\frac12x^2-px+1=0$ admet une solution unique lorsque $p=\sqrt2$ ou $p=-\sqrt2$.

📌 L’équation $\frac12x^2-px+1=0$ admet deux solutions distinctes lorsque $p\in]-\infty;-\sqrt2[\cup]\sqrt2;+\infty[$.

Compléments

📐 Formule - Pour l’équation $\frac12x^2-px+1=0$, le discriminant vaut $\Delta=p^2-2$.

• Dans cette même équation, l’une des racines est le double de l’autre lorsque $p=-\frac32$ ou $p=\frac32$.

📖 4. Formes factorisées et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une équation du second degré ayant pour racines $x_1,x_2$, leur somme vaut $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vaut $x_1x_2=\frac ca$.

• Un polynôme du second degré de coefficient dominant $a$ et de racines $r_1,r_2$ s’écrit $a(x-r_1)(x-r_2)$.

Compléments

• Pour déduire une racine inconnue lorsqu’une racine est connue, on utilise la somme ou le produit des racines de l’équation.

📐 Formule - Pour un trinôme $ax^2+bx+c$, le signe du produit des racines est le signe de $c/a$, et celui de leur somme est le signe de $-b/a$.

📖 5. Signes et inéquations quadratiques

★ À maîtriser

📌 Pour un trinôme ayant deux racines réelles distinctes, son signe est celui de $a$ à l’extérieur des racines et l’opposé de celui de $a$ entre les racines.

📌 Si le discriminant est négatif, un trinôme est toujours du signe de son coefficient dominant $a$.

• Pour résoudre une inéquation rationnelle, on détermine d’abord les valeurs interdites, puis on étudie le signe du numérateur et du dénominateur sur les intervalles délimités par leurs zéros.

Compléments

• Le signe de $P(x)-Q(x)$ indique la position relative des courbes représentatives : si $P(x)-Q(x)>0$, la courbe de $P$ est au-dessus de celle de $Q$.

💡 Astuce mémo

Parabole vers le haut : signe positif à l’extérieur des racines ; vers le bas : signe positif entre elles.

📖 6. Équations transformées et applications

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation bicarrée, on pose $y=x^2$, on résout l’équation du second degré en $y$, puis on ne retient que les valeurs de $y$ compatibles avec $y\ge0$ avant de revenir à $x$.

• Pour résoudre une équation contenant une racine carrée, on impose d’abord les conditions de définition et de signe, puis on élève au carré et on vérifie les solutions obtenues dans l’équation initiale.

Compléments

• Pour une équation contenant $x+\frac1x$ avec $x\ne0$, on peut poser $X=x+\frac1x$, résoudre l’équation en $X$, puis résoudre l’équation correspondante en $x$.

📐 Formule - Pour deux racines $x_1,x_2$, on a $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

• Un problème géométrique ou financier peut se ramener à une équation du second degré après traduction des contraintes en une relation algébrique et rejet des solutions incompatibles avec le contexte.

💡 Astuce mémo

Substituer, résoudre l’équation transformée, puis revenir à la variable initiale.

📖 7. Principes de dénombrement

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux ensembles finis $A,B$, la formule d’inclusion-exclusion est $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

📐 Formule - Pour trois ensembles finis, $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$.

• Un choix successif de possibilités indépendantes se dénombre en multipliant le nombre de choix à chaque étape.

Compléments

• Le nombre d’applications d’un ensemble de $n$ éléments vers un ensemble de $p$ éléments est $p^n$.

📖 8. Arrangements et permutations

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’arrangements de $p$ éléments distincts choisis parmi $n$ est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$.

• Le nombre de permutations de $n$ éléments distincts est $n!$.

Compléments

📐 Formule - Le nombre d’anagrammes distinctes d’un mot de $n$ lettres contenant des répétitions de multiplicités $n_1,\ldots,n_k$ est $\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}$.

💡 Astuce mémo

L’ordre compte dans un arrangement ; il ne compte pas dans une combinaison.

📖 9. Combinaisons et choix simultanés

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de choix simultanés de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

• Pour compter les choix contenant au moins un élément d’une catégorie, on peut compter tous les choix et soustraire ceux qui n’en contiennent aucun.

Compléments

• Le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble à $n$ éléments est $2^n$.

• Le nombre de sélections simultanées d’éléments appartenant à plusieurs catégories imposées se calcule en multipliant les nombres de choix dans chaque catégorie.

📖 10. Dénombrement avec contraintes

★ À maîtriser

📌 Un tirage simultané ne distingue pas l’ordre des objets tirés, tandis qu’un tirage successif distingue généralement les positions ou l’ordre des tirages.

📌 Avec remise, un objet tiré peut être tiré de nouveau ; sans remise, chaque objet tiré est retiré de l’ensemble disponible.

Compléments

• Pour une suite de $p$ tirages avec remise parmi $n$ objets, le nombre de suites possibles est $n^p$.

• Pour dénombrer des cas imposant plusieurs configurations distinctes, on compte chaque configuration séparément puis on additionne les résultats.

📖 11. Applications et propriétés combinatoires

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $0\le p\le n$, les coefficients binomiaux vérifient $C_n^p=C_n^{n-p}$.

📐 Formule - Pour $p+1\le n$, la relation de Pascal est $C_{n+1}^{p+1}=C_n^p+C_n^{p+1}$.

Compléments

📐 Formule - Pour $2\le p\le n$, les arrangements vérifient $A_n^p=nA_{n-1}^{p-1}$.

📐 Formule - Pour $0\le p\le n$, on a $C_n^p\le2^n$, car les parties de $p$ éléments sont incluses parmi toutes les parties d’un ensemble à $n$ éléments.

📖 12. Chemins et dénombrement géométrique

★ À maîtriser

• Un chemin minimal composé de $d$ mouvements dans une direction et $h$ dans une autre se dénombre par $C_{d+h}^d$.

Compléments

• Lorsque le chemin minimal doit passer par un point intermédiaire, le nombre de chemins est le produit du nombre de chemins minimaux vers ce point et du nombre de chemins minimaux depuis ce point.

• Dans un quadrillage carré de $4\times4$ petits carreaux, le nombre total de carrés est $16+9+4+1=30$.

📊 Tableaux de synthèse

Choisir le modèle de dénombrement