QCM : Second degré et dénombrement (27 questions)

Explication

Le terme en $x^2$ doit avoir un coefficient non nul pour que l’équation soit bien du second degré. Un coefficient positif n’est pas requis : il peut aussi être négatif.

Explication

Il faut d’abord écarter les valeurs qui rendent un dénominateur nul, puis transformer l’équation sur cet ensemble de validité. Résoudre d’abord sans tenir compte des dénominateurs risque de conserver des valeurs interdites.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle. Un discriminant nul, contrairement à un discriminant négatif, donne une solution réelle unique.

Explication

Quand le discriminant est nul, la solution double vaut $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; ici, cela donne $-\frac{4}{4}=-1$. La valeur $1$ correspondrait à une erreur de signe dans la formule.

Explication

Pour un discriminant positif, les deux solutions s’obtiennent avec $-b$, les signes opposés devant $\sqrt{\Delta}$ et le dénominateur $2a$. La formule avec $a$ au dénominateur omet le facteur $2$.

Explication

L’équation admet une solution unique lorsque $p=\sqrt2$ ou $p=-\sqrt2$, cas où le discriminant s’annule. Lorsque $|p|>\sqrt2$, elle a deux solutions distinctes.

Explication

Deux solutions distinctes existent lorsque $p<-\sqrt2$ ou $p>\sqrt2$. Aux bornes $p=\pm\sqrt2$, le discriminant est nul et la solution est double.

Explication

Chaque racine correspond à un facteur de la forme $x-r_i$, et le coefficient dominant $a$ doit être conservé devant le produit. La forme avec $x+r_i$ donnerait généralement pour racines $-r_1$ et $-r_2$.

Explication

Le produit des racines est égal à $\frac{c}{a}$, tandis que leur somme est égale à $-\frac{b}{a}$. La relation $-\frac{b}{a}$ concerne donc la somme, pas le produit.

Explication

Avec un coefficient dominant positif, le trinôme est positif à l’extérieur des deux racines et prend le signe opposé entre elles. Le schéma inversé correspond à un coefficient dominant négatif.

Explication

Avec un discriminant négatif, le trinôme garde sur $\mathbb{R}$ le signe de son coefficient dominant, ici négatif. Un changement de signe aux racines suppose des racines réelles, qui n’existent pas dans ce cas.

Explication

Il faut commencer par repérer les zéros du dénominateur, qui sont des valeurs interdites, puis étudier les signes sur les intervalles délimités par les zéros concernés. Dans une inégalité large, un zéro du numérateur peut être inclus, mais un zéro du dénominateur reste exclu.

Explication

Comme $y=x^2$, toute valeur admissible de $y$ doit vérifier $y\geq 0$; la valeur $-4$ ne peut donc fournir de solution réelle pour $x$. La remplacer par $4$ modifierait l’équation au lieu de résoudre celle qui a été posée.

Explication

Les conditions de définition et de signe doivent être établies avant l’élévation au carré, puis les solutions candidates doivent être vérifiées dans l’équation initiale. L’équation obtenue en élevant au carré peut admettre des solutions qui ne satisfont pas l’équation de départ.

Explication

On additionne les effectifs des deux clubs puis on soustrait les 6 personnes comptées deux fois, ce qui donne 27. Ajouter les deux effectifs sans retirer le chevauchement compterait deux fois les membres communs.

Explication

On additionne les trois effectifs, on soustrait les trois intersections deux à deux, puis on ajoute l’intersection triple : $20+17+14-5-4-3+2=41$. Omettre le terme d’intersection triple retirerait deux fois les éléments communs aux trois catégories.

Explication

Chaque entrée peut être associée à chacun des 3 desserts, donc le nombre de menus est $4\times3=12$. Additionner les possibilités donnerait le compte de deux catégories de choix disjointes, et non de choix successifs combinés.

Explication

Les postes étant distincts, l’ordre des personnes compte : $A_8^3=\frac{8!}{(8-3)!}=336$. Le nombre 56 correspondrait au choix de trois personnes sans tenir compte de la répartition des postes.

Explication

Placer les 6 objets distincts en ligne revient à les permuter, ce qui donne $6!=720$ ordres. Le calcul $6\times6=36$ ne dénombre pas les placements successifs des objets.

Explication

Comme seul le groupe choisi compte, le nombre de possibilités est $C_8^3=\frac{8!}{3!\,5!}=56$. Le compte 336 conviendrait à une sélection où les trois personnes recevraient des rôles distincts.

Explication

On compte tous les groupes de 3, puis on retire ceux formés uniquement parmi les 6 personnes sans badge : $C_{10}^3-C_6^3=120-20=100$. Le nombre 20 compte les groupes sans personne portant un badge rouge, c’est le cas complémentaire recherché pour la soustraction.

Explication

Un tirage simultané représente un groupe d’objets sans ordre, alors qu’un tirage successif tient compte des positions ou de l’ordre des tirages. Le fait de retirer les objets de l’ensemble disponible concerne la remise, et non cette distinction entre ordre et simultanéité.

Explication

Sans remise, chaque objet tiré est retiré de l’ensemble disponible, ce qui empêche de le sélectionner de nouveau lors des tirages suivants. La possibilité de tirer à nouveau un objet caractérise plutôt un tirage avec remise.

Explication

Choisir $p$ éléments revient à déterminer les $n-p$ éléments qui ne sont pas choisis, d’où la symétrie des coefficients binomiaux. La relation de Pascal, représentée par une autre égalité, relie des coefficients d’indices différents et ne donne pas cette symétrie.

Explication

La relation de Pascal exprime le coefficient comme la somme de $C_n^p$ et de $C_n^{p+1}$. Le produit de ces coefficients ne correspond pas à cette relation additive.

Explication

Il faut ordonner les huit mouvements en choisissant les cinq positions occupées par les déplacements vers la droite, ce qui donne $C_8^5$ chemins. Le produit de deux coefficients binomiaux compterait des choix supplémentaires qui ne sont pas requis par la description du chemin.

Explication

Chaque chemin complet se compose d’une partie allant jusqu’au point intermédiaire et d’une partie qui en repart ; le nombre de combinaisons de ces parties est donc le produit de leurs nombres respectifs. Une somme ne conviendrait pas, car elle compterait les deux portions séparément plutôt que les chemins complets.