Fiche de révision : Second degré et probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Fonctions quadratiques et paraboles
2. Forme canonique et extremum
3. Discriminant du trinôme
4. Probabilités totales et partitions
5. Arbre pondéré et calculs

📖 1. Fonctions quadratiques et paraboles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$ ; cette écriture est la forme développée.
• Parabole : La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$, est une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

• Une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$ coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; c), car f(0)=c.

📌 Pour une parabole $y=ax^2+bx+c$, si a>0 elle est tournée vers le haut en forme de U, tandis que si a<0 elle est tournée vers le bas en forme de pont.

Compléments

• La fonction définie par $f(x)=4x^2-8x+11$ a pour coefficients a=4, b=−8 et c=11 et est un polynôme du second degré.

• La fonction carrée $f(x)=x^2$ est un cas particulier de fonction polynôme du second degré, avec a=1, b=0 et c=0.

• Pour déterminer p(x)=ax²+bx+c vérifiant p(0)=−3, p(−1)=2 et p(2)=5, on obtient c=−3, puis a−b=5 et 2a+b=4, d’où a=3, b=−2 et p(x)=3x²−2x−3.

💡 Astuce mémo

Le signe de a distingue la parabole tournée vers le haut de celle tournée vers le bas

📖 2. Forme canonique et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont les uniques réels tels que $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la forme canonique, $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Le réel β est l’extrémum de f et il est atteint pour x=α.

📌 Si a>0, la fonction admet un minimum égal à β ; si a<0, elle admet un maximum égal à β.

Compléments

📐 Formule - La mise sous forme canonique repose sur $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c$.

📖 3. Discriminant du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La forme canonique peut s’écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a}$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.

📖 4. Probabilités totales et partitions

★ À maîtriser

📌 Si A et son complémentaire Ā forment une partition de l’univers, alors pour tout événement B, $P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\overline A)$.

📐 Formule - Si A₁,…,Aₙ forment une partition de l’univers, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)$.

Compléments

• Dans l’exemple des 50 billes, l’événement rouge a une probabilité de 20/50, décomposée en 15/50 pour rouge et gagné et 5/50 pour rouge et pas gagné.

💡 Astuce mémo

Partition des cas → intersections avec B → somme des probabilités

📖 5. Arbre pondéré et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Arbre dont chaque branche est marquée d’une probabilité.
• Branche : Relie deux événements et porte la probabilité correspondante.
• Chemin : Suite de branches ; sa probabilité est celle de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

★ À maîtriser

• La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est égale à 1.

• La probabilité correspondant à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

• La probabilité d’un événement atteint par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Dans le tirage successif de deux jetons parmi huit dont trois blancs, la probabilité que les deux soient blancs est $P(A\cap B)=\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{3}{28}$.

• Dans l’exemple des deux jetons, la probabilité que Brice tire un jeton blanc est $P(B)=\frac{3}{28}+\frac{3}{7}\times\frac{5}{8}=\frac{3}{7}$.

• Dans l’exemple des trois usines produisant 1 500 ballotins, les productions sont 450, 300 et 750 ; les proportions de ballotins au lait sont respectivement 65 %, 20 % et 60 %, et la probabilité d’en choisir un au lait est 0,535.

💡 Astuce mémo

Branches → chemins → produit ; chemins vers E → somme