QCM : Second degré et probabilités conditionnelles (16 questions)

Question 1

1. Quelle condition sur les coefficients caractérise une fonction polynôme du second degré écrite sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

Les coefficients sont réels et

a\ne0

.

Les coefficients sont réels et

b\ne0

.

Les coefficients sont réels et

c\ne0

.

Les coefficients sont réels et

a=0

.

Explication

Le terme de degré deux doit avoir un coefficient réel non nul, tandis que $b$ et $c$ peuvent être nuls. Si $a=0$ , le terme quadratique disparaît et la fonction n’est plus du second degré.

Answer

Les coefficients sont réels et $$a\ne0$$.

Question 2

2. Quelle courbe représente une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

Une parabole d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Un cercle d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Une droite d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Une hyperbole d’équation

y=ax^2+bx+c

.

Explication

La courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole dont l’équation reprend l’expression de la fonction. Une droite correspond plutôt à une fonction affine, et non à une fonction quadratique.

Answer

Une parabole d’équation $$y=ax^2+bx+c$$.

Question 3

3. Pour la parabole $y=ax^2+bx+c$ , où se situe son intersection avec l’axe des ordonnées ?

Au point

(a\,;\,0)

, car

f(a)=0

.

Au point

(c\,;\,0)

, car

f(c)=0

.

Au point

(0\,;\,b)

, car

f(0)=b

.

Au point

(0\,;\,c)

, car

f(0)=c

.

Explication

Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse vaut zéro, et le calcul donne $f(0)=c$ . Le point $(c\,;\,0)$ est sur l’axe des abscisses et n’est pas, en général, une intersection avec l’axe des ordonnées.

Answer

Au point $$(0\,;\,c)$$, car $$f(0)=c$$.

Question 4

4. Une parabole est tournée vers le bas, en forme de pont : quel signe a son coefficient quadratique $a$ ?

Le coefficient

a

est nul.

Le coefficient

a

est positif.

Le signe de

a

dépend de

c

.

Le coefficient

a

est négatif.

Explication

Une parabole tournée vers le bas correspond à $a<0$ ; lorsque $a>0$ , elle est tournée vers le haut, en forme de U. Le coefficient $c$ indique l’ordonnée à l’origine, mais ne détermine pas le sens d’ouverture.

Answer

Le coefficient $$a$$ est négatif.

Question 5

5. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

.

f(x)=a(x-\alpha)+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

.

f(x)=a(x+\alpha)^2+\beta

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

.

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=f(\alpha)

.

Explication

La forme canonique place un carré centré en $\alpha$ , puis ajoute $\beta$ : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ . L’écriture $ax^2+bx+c$ est la forme développée, pas la forme canonique.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)$$.

Question 6

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique ?

\alpha=-\frac{b}{a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

.

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}

.

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

.

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

.

Explication

Les paramètres s’obtiennent par $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ . Prendre l’opposé de la valeur de $\alpha$ change la position horizontale du sommet.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$.

Question 7

7. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction atteint-elle son extrémum ?

À l’abscisse

x=0

.

À l’abscisse

x=\alpha

.

À l’abscisse

x=-\alpha

.

À l’abscisse

x=\beta

.

Explication

Lorsque $x=\alpha$ , le terme carré s’annule et la valeur de la fonction est $\beta$ , qui est son extrémum. $\beta$ désigne la valeur extrême, et non l’abscisse à laquelle elle est atteinte.

Answer

À l’abscisse $$x=\alpha$$.

Question 8

8. Si $a>0$ dans une forme canonique, quelle est la nature de l’extrémum de la fonction ?

La fonction admet un minimum égal à

\alpha

.

La fonction admet un maximum égal à

\beta

.

La fonction admet un minimum égal à

\beta

.

La fonction admet un maximum égal à

\alpha

.

Explication

Pour $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut et la fonction atteint son minimum en $\beta$ . Le maximum égal à $\beta$ correspond au cas $a<0$ .

Answer

La fonction admet un minimum égal à $$\beta$$.

Question 9

9. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

\Delta=b^2+4ac

.

\Delta=b^2-4ac

.

\Delta=b-4ac

.

\Delta=4ac-b^2

.

Explication

Le discriminant est le réel défini par $\Delta=b^2-4ac$ . Remplacer la soustraction par une addition modifie la définition et ne donne pas le discriminant du trinôme.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$.

Question 10

10. Pour un trinôme de discriminant $\Delta$ et $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , quelle expression donne sa forme canonique ?

f(x)=a(x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a}

.

f(x)=a(x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4}

.

f(x)=a(x+\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a}

.

f(x)=a(x-\alpha)^2+\frac{\Delta}{4a}

.

Explication

En fonction du discriminant, la forme canonique s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a}$ . Le terme constant dépend du quotient par $4a$ , et non par $4$ seul.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2-\frac{\Delta}{4a}$$.

Question 11

11. Si $A$ et son complémentaire $\overline A$ forment une partition, quelle égalité permet de calculer la probabilité d’un événement $B$ ?

P(B)=P(B\cap A)\times P(B\cap\overline A)

P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\overline A)

P(B)=P(A)+P(\overline A)

P(B)=P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)

Explication

Les événements $B\cap A$ et $B\cap\overline A$ décomposent $B$ en deux cas disjoints, dont les probabilités s’additionnent. Additionner $P(A)$ et $P(\overline A)$ donnerait la probabilité de l’univers, pas celle de $B$ .

Answer

$$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\overline A)$$

Question 12

12. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime la probabilité d’un événement $B$ à partir de cette partition ?

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\mid A_i)

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)

P(B)=\prod_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)

Explication

Chaque intersection $B\cap A_i$ correspond à la partie de $B$ située dans une composante de la partition, et la somme de ces probabilités reconstitue $P(B)$ . La somme des probabilités $P(A_i)$ vaut celle de l’univers, et ne donne pas directement $P(B)$ .

Answer

$$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)$$

Question 13

13. Qu’est-ce qui caractérise un arbre pondéré en probabilités ?

Chaque événement est placé sur une branche sans valeur numérique.

Chaque branche est marquée d’une probabilité.

Chaque chemin est marqué de la somme de ses probabilités.

Chaque nœud est marqué d’une probabilité d’intersection.

Explication

Un arbre pondéré se distingue par les probabilités inscrites sur ses branches. Placer une probabilité d’intersection sur chaque nœud ne correspond pas à cette caractéristique.

Answer

Chaque branche est marquée d’une probabilité.

Question 14

14. Dans un arbre pondéré, quelle contrainte vérifient les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

Leur somme est égale à la probabilité du nœud.

Elles sont toutes égales entre elles.

Leur produit est égal à 1.

Leur somme est égale à 1.

Explication

Les branches issues d’un même nœud représentent les possibilités qui se répartissent à cette étape, et leurs probabilités totalisent 1. Leur produit n’est pas soumis à cette contrainte.

Answer

Leur somme est égale à 1.

Question 15

15. Un chemin d’un arbre comporte plusieurs branches pondérées. Comment calcule-t-on la probabilité correspondant à ce chemin ?

En multipliant les probabilités inscrites sur ses branches.

En additionnant les probabilités de tous les chemins de l’arbre.

En divisant la probabilité de la première branche par celle de la dernière.

En additionnant les probabilités inscrites sur ses branches.

Explication

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches qui le composent. La somme s’utilise plutôt pour réunir les probabilités de plusieurs chemins menant au même événement.

Answer

En multipliant les probabilités inscrites sur ses branches.

Question 16

16. Un événement peut être atteint par plusieurs chemins distincts dans un arbre pondéré. Comment obtient-on sa probabilité ?

En ne retenant que la probabilité du chemin le plus probable.

En additionnant les probabilités de ces chemins.

En additionnant les probabilités des branches du premier chemin.

En multipliant les probabilités de ces chemins.

Explication

Les chemins distincts conduisant à l’événement représentent des cas disjoints, donc leurs probabilités s’additionnent. Le produit sert à calculer la probabilité d’un seul chemin, pas à regrouper plusieurs chemins.

Answer

En additionnant les probabilités de ces chemins.

QCM : Second degré et probabilités conditionnelles (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition sur les coefficients caractérise une fonction polynôme du second degré écrite sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

2. Quelle courbe représente une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

3. Pour la parabole $y=ax^2+bx+c$ , où se situe son intersection avec l’axe des ordonnées ?

4. Une parabole est tournée vers le bas, en forme de pont : quel signe a son coefficient quadratique $a$ ?

5. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique ?

7. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction atteint-elle son extrémum ?

8. Si $a>0$ dans une forme canonique, quelle est la nature de l’extrémum de la fonction ?

9. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

10. Pour un trinôme de discriminant $\Delta$ et $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , quelle expression donne sa forme canonique ?

11. Si $A$ et son complémentaire $\overline A$ forment une partition, quelle égalité permet de calculer la probabilité d’un événement $B$ ?

12. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime la probabilité d’un événement $B$ à partir de cette partition ?

13. Qu’est-ce qui caractérise un arbre pondéré en probabilités ?

14. Dans un arbre pondéré, quelle contrainte vérifient les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

15. Un chemin d’un arbre comporte plusieurs branches pondérées. Comment calcule-t-on la probabilité correspondant à ce chemin ?

16. Un événement peut être atteint par plusieurs chemins distincts dans un arbre pondéré. Comment obtient-on sa probabilité ?

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QCM : Second degré et probabilités conditionnelles (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition sur les coefficients caractérise une fonction polynôme du second degré écrite sous forme développée f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

2. Quelle courbe représente une fonction polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0 ?

3. Pour la parabole y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c, où se situe son intersection avec l’axe des ordonnées ?

4. Une parabole est tournée vers le bas, en forme de pont : quel signe a son coefficient quadratique aaa ?

5. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

6. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelles expressions donnent les paramètres α\alphaα et β\betaβ de la forme canonique ?

7. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, à quelle abscisse la fonction atteint-elle son extrémum ?

8. Si a>0a>0a>0 dans une forme canonique, quelle est la nature de l’extrémum de la fonction ?

9. Comment définit-on le discriminant du trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ?

10. Pour un trinôme de discriminant Δ\DeltaΔ et α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}α=−2ab​, quelle expression donne sa forme canonique ?

11. Si AAA et son complémentaire A‾\overline AA forment une partition, quelle égalité permet de calculer la probabilité d’un événement BBB ?

12. Les événements A1,…,AnA_1,\ldots,A_nA1​,…,An​ forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime la probabilité d’un événement BBB à partir de cette partition ?

13. Qu’est-ce qui caractérise un arbre pondéré en probabilités ?

14. Dans un arbre pondéré, quelle contrainte vérifient les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ?

15. Un chemin d’un arbre comporte plusieurs branches pondérées. Comment calcule-t-on la probabilité correspondant à ce chemin ?

16. Un événement peut être atteint par plusieurs chemins distincts dans un arbre pondéré. Comment obtient-on sa probabilité ?

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1. Quelle condition sur les coefficients caractérise une fonction polynôme du second degré écrite sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

2. Quelle courbe représente une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ ?

3. Pour la parabole $y=ax^2+bx+c$ , où se situe son intersection avec l’axe des ordonnées ?

4. Une parabole est tournée vers le bas, en forme de pont : quel signe a son coefficient quadratique $a$ ?

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres $\alpha$ et $\beta$ de la forme canonique ?

7. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction atteint-elle son extrémum ?

8. Si $a>0$ dans une forme canonique, quelle est la nature de l’extrémum de la fonction ?

9. Comment définit-on le discriminant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ?

10. Pour un trinôme de discriminant $\Delta$ et $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , quelle expression donne sa forme canonique ?

11. Si $A$ et son complémentaire $\overline A$ forment une partition, quelle égalité permet de calculer la probabilité d’un événement $B$ ?

12. Les événements $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l’univers. Quelle formule exprime la probabilité d’un événement $B$ à partir de cette partition ?