Fiche de révision : Statistique descriptive et dispersion

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la statistique descriptive
2. Vocabulaire statistique fondamental
3. Types de caractères statistiques
4. Classes et intervalles de valeurs
5. Bornes et centre de classe
6. Fréquences et cumuls
7. Représentations graphiques
8. Mode et classe modale
9. Médiane et quantiles
10. Moyenne arithmétique
11. Limites et propriétés de la moyenne
12. Mesures de dispersion

📖 1. Fondements de la statistique descriptive

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : a pour objectif de décrire une population constituée d’individus statistiques à l’aide de caractères et de leurs modalités.

★ À maîtriser

📌 En statistique descriptive, il faut comprendre ce que l’on calcule, pourquoi on le calcule et comment interpréter le résultat, car les calculs seuls ne suffisent pas.

Compléments

• Pour maîtriser un calcul statistique, il faut refaire soi-même tout le raisonnement et les calculs, idéalement à partir d’une feuille blanche.

💡 Astuce mémo

Décrire la population → interpréter les résultats

📖 2. Vocabulaire statistique fondamental

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : l’ensemble des éléments que l’on souhaite étudier, qu’il s’agisse de personnes, d’objets, d’entreprises, de voitures, de productions, de stocks, de flux ou de consultations médicales.
• Individu statistique : un élément de la population étudiée.
• Caractère statistique : le critère utilisé pour décrire ou classer les individus d’une population.
• Modalité : une valeur ou une catégorie que peut prendre un caractère statistique, comme une couleur, une profession ou une valeur numérique.
• Effectif : le nombre d’individus qui possèdent cette modalité, et l’effectif total N est le nombre total d’individus de la population.

📖 3. Types de caractères statistiques

📝 Points essentiels

• Un caractère qualitatif décrit une catégorie, une situation ou un état sans constituer une mesure numérique, tandis qu’un caractère quantitatif peut être exprimé par une valeur numérique correspondant à une mesure ou à un nombre.

• Une variable quantitative discrète prend des valeurs distinctes et séparées, comme le nombre d’enfants ou le nombre de pièces, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre une très grande quantité de valeurs, notamment décimales, comme le poids ou la longueur.

• Avant tout calcul statistique, il faut identifier la population, les individus, le caractère, ses modalités et les effectifs, car les outils utilisables dépendent du type de caractère.

💡 Astuce mémo

Qualitatif = catégories ; quantitatif = valeurs mesurables

📖 4. Classes et intervalles de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe de valeurs : regroupe plusieurs valeurs dans un même intervalle afin de rendre une distribution plus lisible, notamment lorsque les valeurs possibles sont nombreuses.

📝 Points essentiels

📌 Le regroupement en classes est généralement nécessaire pour une variable continue, tandis qu’il reste facultatif pour une variable discrète.

💡 Astuce mémo

Une population rangée dans des boîtes délimitées

📖 5. Bornes et centre de classe

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude de classe : la longueur de son intervalle et peut être différente d’une classe à l’autre dans une même distribution.
• Centre de classe : le milieu de l’intervalle, calculé en additionnant les deux bornes puis en divisant par 2.

📝 Points essentiels

📌 Dans l’intervalle [60 ; 70[, la borne gauche est incluse et la borne droite est exclue, de sorte qu’une observation égale à 70 appartient à la classe suivante [70 ; 80[.

💡 Astuce mémo

Borne gauche incluse, borne droite exclue

📖 6. Fréquences et cumuls

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence de la modalité i est $f_i=\frac{n_i}{N}$, où $n_i$ est l’effectif de la modalité et N l’effectif total.

📌 La somme de toutes les fréquences vaut 1, soit 100 % en pourcentage, avec de possibles écarts légers dus aux arrondis.

📌 La fréquence cumulée croissante donne la proportion d’individus ayant une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée, tandis que la fréquence cumulée décroissante donne la proportion ayant une valeur supérieure ou égale à cette valeur.

Compléments

📌 Les cumuls sont pertinents lorsque les modalités peuvent être ordonnées, notamment pour les caractères quantitatifs, mais pas naturellement pour une variable qualitative comme la couleur d’une voiture.

💡 Astuce mémo

Effectif → fréquence → cumul croissant ou décroissant

📖 7. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de classe : le rapport entre son effectif et son amplitude, soit $d_i=\frac{n_i}{a_i}$, ou le rapport entre sa fréquence et son amplitude, soit $d_i=\frac{f_i}{a_i}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un secteur circulaire, l’angle de la modalité i est $a_i=f_i\times360^\circ$.

📌 Une variable quantitative discrète peut être représentée par un diagramme en bâtons, tandis qu’une variable quantitative continue est représentée par un histogramme fondé sur des classes.

💡 Astuce mémo

Discret = bâtons ; continu = histogramme

📖 8. Mode et classe modale

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : la valeur ou modalité la plus fréquemment observée, c’est-à-dire celle dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé.

★ À maîtriser

📌 Pour des données regroupées en classes, la classe modale est celle dont la densité est la plus élevée lorsque les amplitudes de classes sont inégales, et le mode est alors estimé par le centre de cette classe.

Compléments

📌 Une série statistique peut être multimodale lorsqu’elle possède plusieurs modalités ayant l’effectif ou la fréquence maximal.

📖 9. Médiane et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : la valeur du caractère qui partage la série statistique en deux sous-ensembles égaux.
• Quartiles : Les quartiles sont les valeurs qui partagent la série en quatre sous-ensembles égaux : Q1 correspond à 0,25, Q2 à 0,50 et Q3 à 0,75 des fréquences cumulées croissantes.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour déterminer la médiane d’une variable discrète:
  1. Calculer les fréquences ou effectifs cumulés croissants
  2. Repérer le seuil 0,5 ou N/2
  3. Retenir la première modalité qui atteint ou dépasse ce seuil

📐 Formule — Pour une variable continue regroupée en classes, la médiane estimée par interpolation linéaire est $Me=x_i+(x_j-x_i)\times\frac{0{,}5-F(x_i)}{F(x_j)-F(x_i)}$.

Compléments

• L’intervalle interquartile [Q1 ; Q3] contient 50 % des observations, tandis que l’intervalle interdécile [D1 ; D9[ en contient 80 % et l’intervalle intercentile [P1 ; P99[ en contient 98 %.

💡 Astuce mémo

Médiane 50 %, quartiles 25-50-75 %, déciles 10 %

📖 10. Moyenne arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : le rapport entre la somme des valeurs observées et le nombre total d’observations.
• Masse totale : la somme $\sum_i n_i x_i$, qui représente le cumul total de la variable étudiée sur l’ensemble de la population.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque les modalités se répètent, la moyenne arithmétique est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i n_i x_i$, où n_i est l’effectif associé à x_i.

📐 Formule — Lorsque les fréquences sont connues, la moyenne arithmétique se calcule par $\bar{x}=\sum_i f_i x_i$.

📌 Pour une variable continue regroupée en classes, on utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative, en supposant implicitement une répartition uniforme des individus dans la classe.

Compléments

• Pour calculer la moyenne d’une variable discrète, on ajoute au tableau la colonne n_i x_i, on additionne cette colonne puis on divise par N.

💡 Astuce mémo

Pondérer les valeurs → obtenir la moyenne

📖 11. Limites et propriétés de la moyenne

★ À maîtriser

📌 La moyenne arithmétique est très sensible aux valeurs extrêmes, qui peuvent la tirer fortement vers le haut ou vers le bas et produire une valeur ne représentant aucun individu.

📐 Formule — La moyenne globale de sous-populations est une moyenne pondérée des moyennes de ces sous-populations : $\bar{x}_{global}=\frac{\sum_i N_i\bar{x}_i}{\sum_i N_i}$.

📐 Formule — La somme pondérée des écarts à la moyenne est toujours nulle : $\sum_i n_i(x_i-\bar{x})=0$.

Compléments

📌 La moyenne arithmétique n’est pas mathématiquement adaptée aux taux et aux ratios, pour lesquels une moyenne géométrique, harmonique ou quadratique peut être plus appropriée.

• La somme pondérée des carrés des écarts à la moyenne est minimale lorsque la valeur centrale est la moyenne : $\sum_i n_i(x_i-\bar{x})^2$.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible aux extrêmes, médiane plus robuste

📖 12. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale observées : $X_{max}-X_{min}$.
• Variance : la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $V(X)=\frac{1}{N}\sum_i n_i(x_i-\bar{x})^2$, ou $V(X)=\sum_i f_i(x_i-\bar{x})^2$ avec les fréquences.
• Écart-type : la racine carrée de la variance et mesure la dispersion moyenne autour de la moyenne dans la même unité que les données.

★ À maîtriser

📌 L’étendue est sensible aux valeurs extrêmes et ne renseigne pas sur la répartition des observations entre le minimum et le maximum.

• 🔄 Pour calculer la variance:
  1. Calculer la moyenne
  2. Calculer les écarts à la moyenne
  3. Élever les écarts au carré
  4. Faire la moyenne des carrés

📐 Formule — La formule développée de König-Huygens est $V(X)=\frac{1}{N}\sum_i n_i x_i^2-\bar{x}^2$, soit la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

📐 Formule — Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne : $CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}$.

Compléments

📌 Le coefficient de variation permet de comparer la dispersion relative de séries exprimées dans des unités ou des ordres de grandeur différents.

💡 Astuce mémo

Écarts opposés → carré des écarts → variance et écart-type

📊 Tableaux de synthèse

Types de caractères et représentations