Fiche de révision : Fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme de degré deux
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et parabole
4. Discriminant et racines
5. Factorisation du trinôme
6. Signe et inéquations

📖 1. Fonction polynôme de degré deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : fonction définie sur R par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction affine est de degré 1, tandis qu'une fonction polynôme de degré 4 comporte un terme de degré 4 et n'est pas une fonction du second degré.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont réels.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la forme canonique d'un trinôme, $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, on obtient $\alpha=5$, $\beta=-40$ et $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

Développer → identifier α et β → écrire a(x − α)² + β

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal.

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction atteint un minimum égal à β en $x=\alpha$ ; si $a<0$, elle atteint un maximum égal à β en $x=\alpha$.

📐 Formule — Le sommet de la parabole est le point $M\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ et son axe de symétrie a pour équation $x=-\frac{b}{2a}=\alpha$.

Compléments

• Pour $f(x)=2(x-1)^2+3$, la fonction est décroissante sur $]-\infty;1]$, croissante sur $[1;+\infty[\\,$ et admet un minimum égal à 3 en 1.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut et minimum ; a < 0 : vers le bas et maximum

📖 4. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels avec $a\ne0$.
• Discriminant : le nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l'équation n'a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, elle possède une solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — La somme S et le produit P des racines de $ax^2+bx+c=0$ vérifient $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine ; Δ > 0 : deux racines

📖 5. Factorisation du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise selon $f(x)=a(x-x_0)^2$.

Compléments

• Pour factoriser un trinôme, on cherche d'abord ses racines avec la méthode choisie, puis on applique la forme factorisée correspondant au discriminant.

💡 Astuce mémo

Chercher les racines → appliquer la forme factorisée

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Lorsque $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines x₁ et x₂, et du signe opposé à l'intérieur de l'intervalle entre elles.

• Lorsque $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur R, sauf en sa racine double x₀ où il s'annule.

• Lorsque $\Delta<0$, le trinôme est strictement positif sur R si $a>0$ et strictement négatif sur R si $a<0$.

Compléments

• 🔄 Pour résoudre une inéquation du second degré, on suit trois étapes:
  1. Ramener tous les termes dans un même membre
  2. Étudier le signe du trinôme obtenu
  3. Sélectionner les intervalles correspondant à l'inégalité

💡 Astuce mémo

Le signe extérieur est celui de a : positif si a > 0, négatif si a < 0

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant