QCM : Fonctions du second degré — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment se comporte un trinôme lorsque Δ=0\Delta=0 et que sa racine double est x0x_0 ?

Il est strictement positif sur R\mathbb{R} quelle que soit la valeur de aa.
Il garde le signe de aa sur R\mathbb{R} et s’annule en x0x_0.
Il change de signe en traversant x0x_0 et possède deux racines distinctes.
Il est strictement négatif sur R\mathbb{R} dès que sa racine double existe.

Il garde le signe de $$a$$ sur $$\mathbb{R}$$ et s’annule en $$x_0$$.

Explication

Avec Δ=0\Delta=0, le trinôme possède une racine double et conserve le signe de aa de part et d’autre de cette racine, où il vaut zéro. Un changement de signe caractérise plutôt deux racines distinctes, lorsque Δ>0\Delta>0.

2. Une fonction s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec a<0a<0. Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle atteint un minimum égal à β\beta en x=αx=\alpha.
Elle atteint un maximum égal à α\alpha en x=βx=\beta.
Elle atteint un maximum égal à β\beta en x=αx=\alpha.
Elle n’admet ni maximum ni minimum sur R\mathbb{R}.

Elle atteint un maximum égal à $$\beta$$ en $$x=\alpha$$.

Explication

Lorsque a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et la fonction atteint son maximum β\beta pour x=αx=\alpha. Le minimum correspond au cas a>0a>0, tandis que α\alpha désigne une abscisse et non une valeur extrême.

3. Pour un trinôme ayant deux racines distinctes x1<x2x_1<x_2 et un coefficient dominant a>0a>0, quel est son signe sur les intervalles déterminés par ces racines ?

Il est positif à l’extérieur de [x1,x2][x_1,x_2] et négatif entre les deux racines.
Il est positif sur toute la droite réelle, y compris aux deux racines.
Il est négatif à l’extérieur de [x1,x2][x_1,x_2] et positif entre les deux racines.
Il est négatif sur toute la droite réelle, sauf entre les deux racines.

Il est positif à l’extérieur de $$[x_1,x_2]$$ et négatif entre les deux racines.

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, le trinôme a le signe de aa à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles; avec a>0a>0, cela donne positif puis négatif puis positif. Aux racines, le trinôme s’annule, ce qui distingue cette situation d’un signe strict partout.

4. Quelle démarche convient pour factoriser un trinôme du second degré ?

Développer les termes, puis choisir les racines sans calculer le discriminant.
Étudier le signe du trinôme, puis remplacer chaque coefficient par sa racine.
Comparer les deux membres de l’équation, puis écrire une forme factorisée quelconque.
Déterminer ses racines, puis choisir la forme factorisée adaptée au discriminant.

Déterminer ses racines, puis choisir la forme factorisée adaptée au discriminant.

Explication

La factorisation commence par la recherche des racines selon une méthode appropriée, puis utilise la forme correspondant à la valeur du discriminant. Étudier le signe peut intervenir ensuite, mais ne fournit pas à lui seul la forme factorisée.

5. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré deux sur R\mathbb{R} ?

f(x)=3x−2f(x)=3x-2
f(x)=3x3−2x+1f(x)=3x^3-2x+1
f(x)=3x−2f(x)=\frac{3}{x}-2
f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Explication

Une fonction polynôme de degré deux s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0, ce qui est le cas de la première expression. L’expression affine ne comporte pas de terme en x2x^2, tandis que les deux autres ne sont pas du second degré.

6. Si le trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c a une racine double x0x_0, quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2
f(x)=a(x+x0)2f(x)=a(x+x_0)^2
f(x)=a(x−x0)(x+x0)f(x)=a(x-x_0)(x+x_0)
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec x1≠x2x_1\ne x_2

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Explication

Une racine double correspond à Δ=0\Delta=0 et donne la factorisation f(x)=a(x−x0)2f(x)=a(x-x_0)^2. Deux facteurs distincts sont associés à deux racines différentes, et le signe à l’intérieur du facteur ne peut pas être inversé.

7. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
f(x)=a(x−α)+βf(x)=a(x-\alpha)+\beta
f(x)=a(x2−α)+βf(x)=a(x^2-\alpha)+\beta
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

La forme canonique est a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, avec α\alpha et β\beta réels. L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée, tandis que les deux autres expressions ne représentent pas la forme canonique d’un trinôme.

8. Quelle est la représentation graphique, dans un repère orthogonal, d’une fonction polynôme de degré deux ?

Une droite
Un cercle
Une hyperbole
Une parabole

Une parabole

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré deux est une parabole. Une droite correspond notamment à une fonction affine, tandis qu’une hyperbole ou un cercle ne sont pas les courbes générales de ces fonctions.

9. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, comment calcule-t-on les coordonnées du sommet dans la forme canonique ?

On utilise α=−c2a\alpha=-\frac{c}{2a} puis β=f(α)\beta=f(\alpha).
On utilise α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} puis β=f(−α)\beta=f(-\alpha).
On utilise α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} puis β=f(α)\beta=f(\alpha).
On utilise α=f(−b2a)\alpha=f\left(-\frac{b}{2a}\right) puis β=−b2a\beta=-\frac{b}{2a}.

On utilise $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ puis $$\beta=f(\alpha)$$.

Explication

L’abscisse du sommet est α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et son ordonnée est β=f(α)\beta=f(\alpha). Confondre α\alpha et β\beta ou changer le signe de la formule conduit à des coordonnées incorrectes.

10. Quelle caractéristique permet de distinguer une fonction polynôme de degré deux d’une fonction affine ?

Elle est définie par un quotient contenant la variable xx.
Elle possède un terme constant dont le coefficient est non nul.
Elle comporte nécessairement un terme en x3x^3 de coefficient non nul.
Elle possède un terme en x2x^2 dont le coefficient est non nul.

Elle possède un terme en $$x^2$$ dont le coefficient est non nul.

Explication

Une fonction du second degré contient un terme en x2x^2 avec un coefficient non nul, contrairement à une fonction affine. La présence d’un terme constant ne suffit pas à déterminer le degré, et les deux autres descriptions correspondent à d’autres types d’expressions.

11. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut Δ=0\Delta=0, quelle conclusion est correcte ?

Elle possède deux racines réelles distinctes calculées avec Δ\sqrt{\Delta}.
Elle possède une racine réelle égale à −cb-\frac{c}{b}.
Elle possède une racine réelle double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.
Elle ne possède aucune solution réelle car le discriminant est nul.

Elle possède une racine réelle double $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, les deux solutions se confondent en une racine double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Deux racines distinctes apparaissent lorsque Δ>0\Delta>0, tandis que l’absence de solution réelle correspond à Δ<0\Delta<0.

12. Quelle relation décrit correctement le sommet et l’axe de symétrie de la parabole associée à f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ?

Le sommet est M(α;β)M(\alpha;\beta) et l’axe a pour équation y=βy=\beta.
Le sommet est la droite x=αx=\alpha et l’axe est le point M(α;β)M(\alpha;\beta).
Le sommet est M(α;β)M(\alpha;\beta) et l’axe a pour équation x=αx=\alpha.
Le sommet est M(β;α)M(\beta;\alpha) et l’axe a pour équation y=αy=\alpha.

Le sommet est $$M(\alpha;\beta)$$ et l’axe a pour équation $$x=\alpha$$.

Explication

Le sommet est le point de coordonnées (α;β)(\alpha;\beta), tandis que son axe de symétrie est la droite verticale d’équation x=αx=\alpha. Une droite ne peut pas être le sommet, et l’équation y=βy=\beta décrit une droite horizontale.

13. Quel est le signe sur R\mathbb{R} du trinôme f(x)=−2x2+3x−5f(x)=-2x^2+3x-5, sachant que son discriminant est négatif ?

Il change de signe entre deux racines réelles.
Il s’annule en une unique valeur réelle.
Il est strictement négatif sur R\mathbb{R}.
Il est strictement positif sur R\mathbb{R}.

Il est strictement négatif sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

Lorsque Δ<0\Delta<0, le trinôme ne possède aucune racine réelle et garde le signe de son coefficient dominant. Ici, a=−2<0a=-2<0, donc le trinôme est strictement négatif sur R\mathbb{R}; les deux dernières propositions supposent des racines réelles.

14. Quelle expression représente le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Δ=−ba\Delta=-\frac{b}{a}
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=ca\Delta=\frac{c}{a}
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant est défini par Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Les expressions −ba-\frac{b}{a} et ca\frac{c}{a} correspondent respectivement à la somme et au produit des racines, lorsqu’elles existent.

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Comment se définit une fonction polynôme de degré 2 sur R ?

Par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a,b,c ∈Ra,b,c \, \in \mathbb{R} et a≠0a \neq 0.

Quelle condition impose le coefficient a dans une fonction polynôme de degré 2 ?

Le coefficient aa doit être non nul.

Qu'est-ce que la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec α\alpha et β\beta réels.

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