QCM : Statistique descriptive et dispersion — 38 questions

Explication

La statistique descriptive décrit une population d’individus statistiques au moyen de caractères et des modalités qu’ils prennent. L’utilisation de lois aléatoires et de probabilités relève plutôt d’autres domaines de la statistique.

Explication

Un calcul statistique n’a de sens que si l’on comprend la mesure utilisée, son objectif et le résultat obtenu. Produire une valeur numérique ne garantit donc pas que le phénomène étudié soit correctement compris.

Explication

La population est l’ensemble des éléments que l’étude cherche à examiner, ici toutes les voitures immatriculées dans la ville. Une voiture particulière serait un individu statistique, tandis qu’une couleur serait une modalité d’un caractère.

Explication

Un individu statistique est un élément appartenant à la population, par exemple une entreprise précise. L’ensemble des entreprises constitue la population, et le critère de comparaison correspond à un caractère statistique.

Explication

Le caractère statistique est le critère qui sert à décrire ou classer les individus ; ici, il s’agit du salaire. Un employé est un individu statistique et l’ensemble des employés forme la population.

Explication

L’effectif total est la somme des effectifs associés à toutes les modalités, soit $12 + 28 = 40$ individus. Le nombre 12 correspond à l’effectif d’une modalité particulière et non à l’effectif total.

Explication

Une variable qualitative décrit des catégories ou des états qui ne sont pas mesurés numériquement, tandis qu’une variable quantitative correspond à une mesure ou à un nombre. Les effectifs et les modalités sont des éléments associés à l’étude d’une variable, pas les deux types de variables eux-mêmes.

Explication

Le nombre d’enfants prend des valeurs distinctes et séparées, ce qui en fait une variable discrète ; le poids peut prendre de nombreuses valeurs décimales, ce qui le rend continu. La couleur des yeux et la profession sont des caractères qualitatifs, non des variables quantitatives.

Explication

Une classe rassemble plusieurs valeurs dans un même intervalle afin de faciliter la lecture de la distribution. La création de classes ne supprime pas les valeurs atypiques et ne remplace pas automatiquement les effectifs par des fréquences.

Explication

Une variable continue peut prendre une infinité de valeurs, ce qui rend le regroupement en intervalles généralement nécessaire. Une variable qualitative ne se traite pas naturellement par des classes numériques.

Explication

L’amplitude est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure, donc $35 - 20 = 15$. Le centre de classe, qui serait $27{,}5$, mesure le milieu et non la largeur de l’intervalle.

Explication

Les bornes sont les deux valeurs qui délimitent l’intervalle : une borne inférieure et une borne supérieure. Elles ne correspondent ni à des effectifs ni nécessairement à des valeurs effectivement observées.

Explication

Dans [60 ; 70[, la borne gauche 60 est incluse tandis que la borne droite 70 est exclue. La valeur 70 appartient donc à l’intervalle suivant, [70 ; 80[.

Explication

Le centre est la moyenne des deux bornes : $C_i = \frac{1\,200 + 1\,500}{2} = 1\,350$ €. L’écart de 300 € correspond à l’amplitude de la classe, pas à son centre.

Explication

La fréquence se calcule par $f_i = \frac{n_i}{N} = \frac{18}{60} = 0{,}30$, soit 30 %. Le nombre 18 est l’effectif, tandis que la fréquence exprime une proportion.

Explication

Les fréquences représentent les proportions de toute la population et leur somme vaut donc 1, soit 100 %, à un léger écart d’arrondi près. L’effectif total et l’amplitude sont des grandeurs différentes.

Explication

La fréquence cumulée croissante additionne les proportions jusqu’à la valeur donnée, bornes incluses. La proportion des individus ayant une valeur supérieure ou égale correspond à la fréquence cumulée décroissante.

Explication

Un secteur circulaire ou un diagramme en tuyau d’orgue permet de comparer les effectifs ou fréquences de catégories qualitatives. L’histogramme correspond plutôt à une variable quantitative continue regroupée en classes.

Explication

Pour une variable quantitative discrète, un bâton est placé sur chaque valeur et sa hauteur représente l’effectif ou la fréquence. Le rectangle d’un histogramme sert à représenter des classes quantitatives continues.

Explication

La densité se calcule en divisant l’effectif par l’amplitude, donc $d_i=\frac{18}{6}=3$. Multiplier ces deux grandeurs donnerait une quantité qui ne correspond pas à la définition de la densité.

Explication

Le mode est la valeur ou la modalité la plus fréquemment observée. La valeur qui partage la série en deux parts égales est la médiane, et non le mode.

Explication

La médiane partage la série statistique ordonnée en deux sous-ensembles égaux. La fréquence la plus élevée caractérise le mode, tandis que la moyenne utilise toutes les valeurs avec leur pondération.

Explication

Pour une variable discrète, on utilise les effectifs ou fréquences cumulés et l’on choisit la première modalité atteignant ou dépassant le seuil médian. La modalité la plus fréquente donne le mode, pas la médiane.

Explication

Pour une variable continue, le seuil $0,5$ ou $N/2$ permet d’identifier la classe médiane, dans laquelle la médiane est estimée par interpolation linéaire. La classe la plus fréquente correspond à la recherche du mode, pas à celle de la médiane.

Explication

Les quartiles partagent la série en quatre parts égales : leurs seuils cumulés sont $0,25$, $0,50$ et $0,75$. En particulier, $Q_2$ est la médiane, tandis que $Q_1$ et $Q_3$ marquent les seuils de 25 % et 75 %.

Explication

L’intervalle interquartile compris entre $Q_1$ et $Q_3$ contient 50 % des observations centrales. Les quatre cinquièmes correspondent à l’intervalle interdécile, et non à l’intervalle interquartile.

Explication

La moyenne arithmétique s’obtient en divisant la somme de toutes les valeurs observées par le nombre total d’observations. La médiane, et non la moyenne, repose sur la position des valeurs dans une série ordonnée.

Explication

Chaque valeur doit être multipliée par son effectif, puis la somme obtenue est divisée par l’effectif total $N$. Additionner les valeurs sans leurs effectifs ne tient pas compte des répétitions.

Explication

La moyenne se calcule directement comme la somme des produits de chaque valeur par sa fréquence relative. Une division supplémentaire par $N$ serait inadaptée puisque les fréquences intègrent déjà la pondération relative.

Explication

Le centre de chaque classe sert de valeur représentative pour calculer une moyenne estimée. Cette méthode ne restitue pas la moyenne exacte, car les valeurs individuelles à l’intérieur des classes ne sont pas connues.

Explication

Toutes les observations participent au calcul, de sorte qu’une valeur très éloignée peut déplacer fortement la moyenne. La médiane est généralement moins sensible aux valeurs extrêmes, mais la moyenne n’est pas transformée en médiane.

Explication

Les taux et les ratios peuvent nécessiter une moyenne géométrique, harmonique ou quadratique plutôt qu’une moyenne arithmétique. L’étendue et la fréquence cumulée décrivent d’autres aspects de la série et ne constituent pas des types de moyenne adaptés à cette difficulté.

Explication

La moyenne globale est obtenue en pondérant chaque moyenne de sous-population par son effectif, puis en divisant par la somme des effectifs. Une moyenne simple des moyennes donnerait le même poids à des groupes de tailles différentes.

Explication

Par définition de la moyenne pondérée, les écarts positifs et négatifs se compensent dans la somme $\sum_i n_i(x_i-\bar{x})$. La variance repose sur les carrés des écarts et ne correspond donc pas à cette somme signée.

Explication

L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, soit $19-7=12$. Elle ne correspond ni à la somme des deux extrêmes ni à leur moyenne.

Explication

L’étendue est calculée à partir du minimum et du maximum, ce qui la rend très sensible aux valeurs extrêmes. Elle ne renseigne pas sur la façon dont les autres observations se répartissent entre ces deux bornes.

Explication

La variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne, d’où le facteur $\frac{1}{N}$ et le carré des écarts. Une somme d’écarts non élevés au carré s’annule, tandis que la valeur absolue définit une autre mesure.

Explication

Le calcul commence par la moyenne, qui sert de référence pour déterminer chaque écart ; ces écarts sont ensuite élevés au carré et moyennés. Calculer d’abord l’étendue ou les fréquences au carré ne suit pas la définition de la variance.