Fiche de révision : Statistique descriptive et dispersion

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la statistique descriptive
2. Vocabulaire statistique fondamental
3. Types de caractères statistiques
4. Classes et intervalles de valeurs
5. Bornes et centre de classe
6. Fréquences et cumuls
7. Graphiques des distributions
8. Mode et médiane
9. Quantiles et intervalles centraux
10. Moyenne arithmétique
11. Propriétés et limites de la moyenne
12. Mesurer la dispersion

📖 1. Fondements de la statistique descriptive

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Décrit une population constituée d’individus statistiques à l’aide de caractères et de leurs modalités.

★ À maîtriser

📌 En statistique descriptive, calculer une mesure ne suffit pas : il faut comprendre ce qui est calculé, pourquoi, et interpréter le résultat obtenu.

Compléments

• Pour maîtriser un calcul statistique, il faut refaire soi-même le raisonnement complet, idéalement à partir d’une feuille blanche, plutôt que de seulement lire une correction.

💡 Astuce mémo

Décrire → analyser → interpréter

📖 2. Vocabulaire statistique fondamental

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des éléments que l’on souhaite étudier, par exemple des personnes, des objets, des entreprises, des voitures, des productions, des stocks, des flux ou des consultations médicales.
• Individu statistique : Élément appartenant à la population étudiée.
• Caractère statistique : Critère utilisé pour décrire ou classer les individus d’une population.
• Modalité : Valeur ou catégorie que peut prendre un caractère statistique, éventuellement regroupée dans une classe pour une variable quantitative.
• Effectif : Nombre d’individus qui possèdent une modalité donnée, et l’effectif total N est la somme de tous les effectifs.

💡 Astuce mémo

Population = ensemble, individu = élément

📖 3. Types de caractères statistiques

★ À maîtriser

📌 Un caractère qualitatif possède des modalités qui sont des catégories ou des états non mesurés numériquement, tandis qu’un caractère quantitatif s’exprime par une valeur numérique correspondant à une mesure ou à un nombre.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs distinctes et séparées, tandis qu’une variable quantitative continue peut prendre une très grande quantité de valeurs, notamment décimales.

Compléments

• Les exemples de caractères qualitatifs sont:

  • le genre
  • la profession
  • la situation matrimoniale
  • la zone de résidence
  • la couleur d’une voiture

• Les exemples de caractères quantitatifs sont:

  • l’âge
  • le salaire
  • la taille
  • le poids
  • le nombre d’enfants
  • le prix
  • le nombre de sorties

💡 Astuce mémo

Q-QD-QC : qualitatif, quantitatif discret, quantitatif continu

📖 4. Classes et intervalles de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe de valeurs : Regroupe plusieurs valeurs dans un même intervalle afin de rendre une distribution statistique plus lisible.

★ À maîtriser

📌 Le regroupement en classes est généralement nécessaire pour une variable continue et peut aussi être utilisé pour une variable discrète lorsque cela améliore la lisibilité.

Compléments

• Les salaires peuvent être regroupés en classes telles que [1 200 ; 1 500[ € et [1 500 ; 1 700[ € au lieu de présenter chaque salaire séparément.

💡 Astuce mémo

Une population rangée dans des boîtes entre deux bornes

📖 5. Bornes et centre de classe

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude de classe : Longueur de l’intervalle, calculée comme la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure.
• Bornes de classe : Deux valeurs qui encadrent son intervalle : la borne inférieure et la borne supérieure.

📝 Points essentiels

📌 Dans l’intervalle [60 ; 70[, la borne gauche est incluse et la borne droite est exclue : 60 appartient à la classe, mais 70 appartient à la classe suivante [70 ; 80[.

📐 Formule — Le centre de classe se calcule par $C_i = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}$ ; pour [1 200 ; 1 500[, il vaut 1 350 €.

💡 Astuce mémo

Borne gauche incluse, borne droite exclue

📖 6. Fréquences et cumuls

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence fᵢ d’une modalité est la proportion d’individus correspondante, calculée par $f_i = \frac{n_i}{N}$.

★ À maîtriser

📌 La somme de toutes les fréquences vaut 1, soit 100 %, sauf un léger écart possible dû aux arrondis.

📌 La fréquence cumulée croissante donne la proportion d’individus ayant une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée, tandis que la fréquence cumulée décroissante donne la proportion ayant une valeur supérieure ou égale.

Compléments

• Pour 371 individus sur une population de 2 650, la fréquence vaut environ 0,14, soit 14 %.

💡 Astuce mémo

Effectif = nombre, fréquence = proportion

📖 7. Graphiques des distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de classe : La densité d’une classe est le quotient de son effectif ou de sa fréquence par son amplitude, soit $d_i = \frac{n_i}{a_i}$ ou $d_i = \frac{f_i}{a_i}$.

★ À maîtriser

• Pour un caractère qualitatif, on peut utiliser un secteur circulaire ou un diagramme en tuyau d’orgue pour comparer les catégories.

📌 Pour une variable quantitative discrète, le diagramme en bâtons représente chaque valeur par un bâton dont la hauteur correspond à l’effectif ou à la fréquence.

Compléments

📐 Formule — Dans un secteur circulaire, l’angle associé à la modalité i se calcule par $a_i = f_i \times 360^\circ$.

💡 Astuce mémo

Discret = bâtons, continu = histogramme

📖 8. Mode et médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Valeur ou modalité la plus fréquemment observée, correspondant à l’effectif ou à la fréquence la plus élevée.
• Médiane : Valeur du caractère qui partage la série statistique en deux sous-ensembles égaux.

📝 Points essentiels

• Pour une variable discrète, on calcule les cumuls croissants, on repère 0,5 ou N/2, puis on retient la première modalité qui atteint ou dépasse ce seuil.

• Pour une variable continue, on repère la classe médiane avec le seuil 0,5 ou N/2, puis on estime la médiane par interpolation linéaire dans cette classe.

💡 Astuce mémo

Mode = plus fréquent, médiane = partage en deux

📖 9. Quantiles et intervalles centraux

🔑 Notions clés & Définitions

• Quartiles : Les quartiles sont les valeurs qui partagent une série en quatre sous-ensembles égaux : Q₁ correspond à 0,25, Q₂ à 0,50 et Q₃ à 0,75 des fréquences cumulées croissantes.
• Déciles : Les déciles sont neuf valeurs qui partagent la série en dix sous-ensembles égaux, correspondant aux seuils cumulés 0,1, 0,2, jusqu’à 0,9.
• Centiles : Les centiles sont 99 valeurs qui partagent la série en cent sous-ensembles égaux, chaque intervalle contenant 1 % des observations.

★ À maîtriser

• L’intervalle interquartile [Q₁ ; Q₃] contient 50 % des observations centrales.

Compléments

• L’intervalle interdécile [D₁ ; D₉[ contient 80 % des observations.

💡 Astuce mémo

Quartiles 4, déciles 10, centiles 100

📖 10. Moyenne arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : Rapport entre la somme des valeurs observées et le nombre total d’observations.
• Masse : La masse totale est la somme $\sum_i n_i x_i$, représentant le total cumulé de la variable étudiée sur la population ou une sous-partie.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque les valeurs se répètent, la moyenne pondérée se calcule par $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_i n_i x_i$.

📐 Formule — Avec les fréquences, la moyenne se calcule directement par $\bar{x} = \sum_i f_i x_i$.

📌 Pour une variable continue regroupée en classes, on utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative et l’on obtient seulement une estimation de la moyenne.

Compléments

• Pour une variable discrète, on ajoute au tableau la colonne nᵢxᵢ, on additionne cette colonne, puis on divise par l’effectif total N.

💡 Astuce mémo

Pondérer les valeurs → obtenir la moyenne

📖 11. Propriétés et limites de la moyenne

★ À maîtriser

📌 La moyenne arithmétique est très sensible aux valeurs extrêmes, qui peuvent la tirer fortement vers elles et produire une valeur ne représentant aucun individu.

📌 La moyenne arithmétique n’est pas mathématiquement adaptée aux taux et aux ratios, qui peuvent nécessiter une moyenne géométrique, harmonique ou quadratique.

📐 Formule — La moyenne globale de plusieurs sous-populations est une moyenne pondérée de leurs moyennes : $\bar{x}_{global} = \frac{\sum_i N_i\bar{x}_i}{\sum_i N_i}$.

📐 Formule — La somme pondérée des écarts à la moyenne est toujours nulle : $\sum_i n_i(x_i-\bar{x})=0$.

• La somme pondérée des carrés des écarts à la moyenne est minimale, ce qui fonde le calcul de la variance : $\sum_i n_i(x_i-\bar{x})^2$.

Compléments

• Pour des notes dont la moitié vaut 0 et l’autre moitié vaut 20, la moyenne vaut 10 alors qu’aucun étudiant n’a obtenu une note proche de 10.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible aux extrêmes, médiane plus robuste

📖 12. Mesurer la dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : L’étendue, ou intervalle de variation, est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $IV = X_{max}-X_{min}$.
• Variance : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, calculée avec $V(X)=\frac{1}{N}\sum_i n_i(x_i-\bar{x})^2$ ou $V(X)=\sum_i f_i(x_i-\bar{x})^2$.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et mesure la dispersion moyenne autour de la moyenne dans la même unité que les données.

★ À maîtriser

📌 L’étendue est très sensible aux valeurs extrêmes et ne renseigne pas sur la répartition des observations entre le minimum et le maximum.

• 🔄 Le calcul de la variance suit ces étapes:
  1. Calculer la moyenne
  2. Calculer les écarts à la moyenne
  3. Élever les écarts au carré
  4. Faire la moyenne des carrés

📐 Formule — Le coefficient de variation est le rapport entre l’écart-type et la moyenne : $CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}$.

📌 Le coefficient de variation, sans dimension, permet de comparer la dispersion de séries exprimées dans des unités ou des ordres de grandeur différents.

Compléments

📐 Formule — La formule développée de König-Huygens donne $V(X)=\frac{1}{N}\sum_i n_i x_i^2-\bar{x}^2$, soit la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

💡 Astuce mémo

Écarts opposés → carré des écarts → variance → écart-type

📊 Tableaux de synthèse

Types de caractères et graphiques