Fiche de révision : Nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Décimaux et rationnels
3. Irrationnels et nombres réels
4. Intervalles réels
5. Opérations et valeur absolue
6. Révisions et appartenances

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels est noté IN et contient les nombres 0, 1, 2, 3, 4
• Entiers relatifs : Ensemble contenant les nombres entiers négatifs, zéro et les nombres entiers positifs.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note IN ⊂ Z.

Compléments

• Les nombres 14 et −8 appartiennent respectivement à IN et à Z, tandis que 9,5 et 7,4 n’appartiennent pas à ces ensembles.

💡 Astuce mémo

IN s’élargit vers Z en ajoutant les nombres négatifs

📖 2. Décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres vérifient l’inclusion IN ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

Compléments

• Le nombre 15/7 appartient à Q mais pas à D, tandis que 7/4 = 1,75 appartient à D.

💡 Astuce mémo

Écriture sur une puissance de 10 → nombre décimal

📖 3. Irrationnels et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombre qui n’est pas rationnel.
• Nombres réels : Ensemble formé de l’union des nombres rationnels Q et des nombres irrationnels I, soit IR = Q ∪ I.

★ À maîtriser

• Les nombres √2, √3, π/2, π, π/3 et √7 sont irrationnels.

Compléments

• Les nombres réels sont représentés sur une droite et l’ensemble IR correspond à l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

• Dans l’exercice proposé, −4 appartient à Z, 3,2 est indiqué dans I, √64 = 8 appartient à IN, √2 appartient à IR, 4/3 appartient à Q, −3/4 = −0,75 est indiqué dans I et π appartient à IR.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction ; irrationnel = non rationnel

📖 4. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle ouvert : Pour a < b, la condition a < x < b se note x ∈ ]a ; b[.

📝 Points essentiels

• Les conditions a < x ≤ b et a ≤ x < b se notent respectivement x ∈ ]a ; b] et x ∈ [a ; b[.

• Les intervalles non bornés comprennent ]−∞ ; a[, [a ; +∞[, ]a ; +∞[ et ]−∞ ; +∞[ selon que la borne est exclue ou incluse.

• Lorsque les deux bornes sont égales, ]a ; a[, [a ; a[ et ]a ; a] sont vides, tandis que [a ; a] = {a}.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 5. Opérations et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Les exemples donnés montrent que la valeur absolue d’un nombre négatif est sa valeur positive correspondante, tandis que la valeur absolue d’un nombre positif ou de zéro conserve cette valeur.

★ À maîtriser

📌 L’intersection I ∩ J d’intervalles contient uniquement les nombres communs à I et J, tandis que leur union I ∪ J regroupe les nombres appartenant à I ou à J.

Compléments

• Pour I = [3 ; 5] et J = [2 ; 6], on obtient I ∩ J = [4 ; 5] et I ∪ J = [3 ; 6].

• Les exemples de valeur absolue sont |−7| = 7, |−2| = 2, |7| = 7, |2| = 2, |0| = 0, |2 − π| = π − 2 et |2 − √2| = 2 − √2.

💡 Astuce mémo

Intersection = partie commune ; union = regroupement

📖 6. Révisions et appartenances

📝 Points essentiels

• Les symboles et leur signification sont:
  • ∈ : appartient
  • ∉ : n’appartient pas
  • ⊂ : est inclus
  • ⊄ : n’est pas inclus
  • ∪ : union
  • ∩ : intersection
  • ∅ : ensemble vide

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques