QCM : Statistique descriptive et représentations (75 questions)
Questions et réponses du QCM
1. Concernant les objectifs de la statistique descriptive :
Elle remplace le recueil des données par le calcul de valeurs caractéristiques.
Elle résume les données au moyen de la médiane ou de l’écart-type.
Elle peut représenter les données recueillies à l’aide de graphiques.
Elle vise à étendre les résultats d’un échantillon à toute la population étudiée.
Elle peut présenter les données recueillies sous forme de tableaux synthétiques.
Elle résume les données au moyen de la médiane ou de l’écart-type. · Elle peut représenter les données recueillies à l’aide de graphiques. · Elle peut présenter les données recueillies sous forme de tableaux synthétiques.
Explication
La statistique descriptive met en forme les données avec des tableaux ou des graphiques et les résume par des valeurs caractéristiques. L’extension des résultats à la population relève de la statistique inférentielle, tandis que le calcul de résumés ne remplace pas le recueil des données.
2. Une équipe a recueilli des mesures et veut en donner une synthèse descriptive. Quelles démarches correspondent à cet objectif ?
Elle transforme les données en conclusions généralisables à toute la population étudiée.
Elle organise les observations dans un tableau pour rendre leur présentation lisible.
Elle remplace les observations individuelles par une estimation de la population entière.
Elle calcule une moyenne ou une médiane pour résumer les valeurs observées.
Elle trace un graphique pour présenter les données recueillies de manière synthétique.
Elle organise les observations dans un tableau pour rendre leur présentation lisible. · Elle calcule une moyenne ou une médiane pour résumer les valeurs observées. · Elle trace un graphique pour présenter les données recueillies de manière synthétique.
Explication
Un tableau et un graphique sont des formes de mise en présentation des données, tandis qu’une moyenne ou une médiane les résume. Généraliser à toute la population ou remplacer les observations par une estimation correspond à l’inférence, pas à l’objectif descriptif décrit ici.
3. Une étude recense les chaînes de montagnes et relève une information pour chacune. Concernant la population et les individus :
La population étudiée peut être notée par un oméga majuscule.
Une chaîne de montagnes de l’ensemble étudié peut être notée par un oméga minuscule.
La population désigne ici les informations relevées pour chaque chaîne de montagnes.
Chaque chaîne de montagnes étudiée constitue un individu ou une unité statistique.
La population étudiée est l’ensemble des chaînes de montagnes concernées par l’enquête.
La population étudiée peut être notée par un oméga majuscule. · Une chaîne de montagnes de l’ensemble étudié peut être notée par un oméga minuscule. · Chaque chaîne de montagnes étudiée constitue un individu ou une unité statistique. · La population étudiée est l’ensemble des chaînes de montagnes concernées par l’enquête.
Explication
La population est l’ensemble concerné par l’étude, ici les chaînes de montagnes, et chacune est un individu ou une unité statistique, parfois noté ω. La population peut être notée Ω; les informations relevées ne sont pas la population elle-même.
4. Pour une variable recueillie auprès de plusieurs individus, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
La série statistique rassemble les données recueillies pour une variable donnée.
Une observation correspond à l’individu isolé, sans la modalité associée.
Une observation est formée d’une modalité et de la série statistique correspondante.
Une observation associe un individu à la modalité qui lui est attribuée.
La série statistique désigne l’ensemble des modalités possibles de la variable.
La série statistique rassemble les données recueillies pour une variable donnée. · Une observation associe un individu à la modalité qui lui est attribuée.
Explication
Une observation ou donnée est le couple constitué d’un individu et de la modalité qui lui est associée. La série statistique est l’ensemble des données recueillies pour une variable; elle ne se confond ni avec les seules modalités ni avec un individu isolé.
5. Concernant les modalités et les données statistiques :
Le nombre d’observations est généralement inférieur au nombre de modalités.
Le nombre de modalités est généralement inférieur au nombre d’observations.
Une modalité est une valeur effectivement observée pour un individu.
Une donnée désigne une valeur possible qui n’a pas été relevée chez un individu.
Une modalité correspond à une valeur possible, même si aucun individu ne la présente.
Le nombre de modalités est généralement inférieur au nombre d’observations. · Une modalité correspond à une valeur possible, même si aucun individu ne la présente.
Explication
Une modalité est une valeur possible et peut ne pas avoir été observée ; le nombre de modalités est généralement inférieur au nombre d’observations. Une donnée, à l’inverse, est effectivement observée, et les observations sont généralement plus nombreuses que les modalités.
6. Une enquête relève plusieurs variables pour chaque personne et comporte des non-réponses ainsi que des erreurs de saisie. Concernant le tableau de données :
Le tableau comporte généralement une colonne d’identification et deux colonnes par variable étudiée.
Le nettoyage consiste à conserver les lignes incomplètes et à corriger les valeurs mesurées.
Une colonne permet généralement d’identifier les personnes incluses dans l’enquête.
Le tableau prévoit généralement une ligne par personne et une colonne pour chaque variable.
Le nettoyage peut corriger les erreurs de saisie et supprimer des lignes incomplètes.
Une colonne permet généralement d’identifier les personnes incluses dans l’enquête. · Le tableau prévoit généralement une ligne par personne et une colonne pour chaque variable. · Le nettoyage peut corriger les erreurs de saisie et supprimer des lignes incomplètes.
Explication
Le tableau comprend généralement une ligne par individu, une colonne d’identification et une colonne par variable. Le nettoyage peut corriger les erreurs de saisie et supprimer les lignes où des valeurs manquent ; il ne consiste pas à conserver les lignes incomplètes.
7. Une enquête relève le nombre d’enfants, la taille et un code INSEE égal à 1 ou 2. Quelles propositions caractérisent ces variables ?
La taille est quantitative continue, car elle mesure une grandeur physique.
L’âge est quantitatif discret, car il est souvent exprimé en années.
Le nombre d’enfants est quantitatif, car ses modalités résultent d’un comptage.
La distinction entre mesure continue et discrète demeure théorique en pratique.
Le code INSEE est quantitatif, car ses modalités sont des nombres.
La taille est quantitative continue, car elle mesure une grandeur physique. · Le nombre d’enfants est quantitatif, car ses modalités résultent d’un comptage. · La distinction entre mesure continue et discrète demeure théorique en pratique.
Explication
Le nombre d’enfants résulte d’un comptage et la taille d’une mesure ; le premier est discret et la seconde continue. La distinction entre continu et discret est théorique puisque toute mesure comporte une imprécision. Le code INSEE est un codage, et l’âge est présenté comme une variable continue.
8. Une enquête classe les personnes selon leur diplôme le plus élevé et leur goût pour la lecture. Parmi les propositions suivantes concernant ces variables, lesquelles sont exactes ?
Le diplôme le plus élevé est qualitatif ordinal, car ses modalités sont naturellement ordonnées.
Une variable ordinale est quantitative dès que ses modalités peuvent être rangées.
Les modalités d’une variable ordinale forment une échelle dont les écarts peuvent différer.
Le goût pour la lecture est nominal, car ses modalités expriment une préférence personnelle.
Le goût pour la lecture est qualitatif ordinal lorsque ses modalités suivent un ordre naturel.
Le diplôme le plus élevé est qualitatif ordinal, car ses modalités sont naturellement ordonnées. · Les modalités d’une variable ordinale forment une échelle dont les écarts peuvent différer. · Le goût pour la lecture est qualitatif ordinal lorsque ses modalités suivent un ordre naturel.
Explication
Le diplôme le plus élevé et le goût pour la lecture sont des variables ordinales lorsque leurs modalités sont naturellement ordonnées. Leur échelle exprime un ordre, mais les écarts entre modalités ne sont pas nécessairement égaux. Un ordre naturel ne rend pas la variable quantitative.
9. Une enquête attribue un rang à chaque personne, classe les tailles en catégories et associe un numéro à chaque département. Quelles propositions sont exactes ?
Les rangs ordonnent les personnes, sans garantir des écarts égaux entre rangs successifs.
Les rangs constituent une échelle quantitative continue dans un classement.
Les catégories « petit », « moyen » et « grand » définissent une variable ordinale.
Les numéros départementaux indiquent un ordre naturel entre les départements français.
Le numéro départemental relève d’un codage fondé sur l’ordre alphabétique des noms.
Les rangs ordonnent les personnes, sans garantir des écarts égaux entre rangs successifs. · Les catégories « petit », « moyen » et « grand » définissent une variable ordinale. · Le numéro départemental relève d’un codage fondé sur l’ordre alphabétique des noms.
Explication
Un rang classe les individus, mais les écarts entre rangs successifs ne sont pas nécessairement égaux. Les catégories « petit », « moyen » et « grand » ont un ordre naturel ; les numéros départementaux sont un codage lié à l’ordre alphabétique, et non un classement naturel.
10. Une enquête code les catégories de sexe par 1 et 2, et relève la spécialité scolaire. Concernant ces variables qualitatives nominales, cochez les propositions exactes :
Une variable nominale est quantitative lorsque ses modalités reçoivent un code numérique.
L’addition des codes numériques permet de résumer les catégories nominales observées.
Le sexe et la spécialité scolaire sont des exemples de variables nominales.
Une variable nominale possède des modalités naturellement ordonnées par leurs noms.
Les valeurs codées 1 et 2 mesurent une quantité propre aux catégories de sexe.
Le sexe et la spécialité scolaire sont des exemples de variables nominales.
Explication
Le sexe et la spécialité scolaire sont des exemples de variables qualitatives nominales. Leurs modalités ne sont ni quantitatives ni ordonnées naturellement ; les codes numériques servent au traitement et leur addition n’a pas de sens.
11. Concernant les effectifs et les modalités d’une variable :
Dans un tableau d’effectifs, l’effectif de la modalité xi se note mi.
L’effectif d’une modalité désigne le nombre de modalités observées dans la population.
Dans un tableau d’effectifs, l’effectif de la modalité xi se note xi.
L’effectif d’une modalité compte les individus qui possèdent cette modalité.
Dans un tableau d’effectifs, la modalité de la ligne i est notée xi.
L’effectif d’une modalité compte les individus qui possèdent cette modalité. · Dans un tableau d’effectifs, la modalité de la ligne i est notée $$x_i$$.
Explication
L’effectif dénombre les individus présentant la modalité, et dans un tableau d’effectifs la modalité se note xi tandis que son effectif se note ni. La notation mi ne désigne pas l’effectif dans cette convention.
12. Avant d’analyser les réponses à une enquête, quelle(s) proposition(s) est(sont) juste(s) ?
Il faut établir les modalités de la variable avant de conduire l’étude.
Il faut identifier la variable étudiée avant de choisir les traitements statistiques.
Il faut choisir les traitements avant de déterminer le type de variable étudiée.
Il faut préciser la population concernée par l’enquête avant les traitements statistiques.
Il faut définir les modalités sans préciser la population de l’enquête.
Il faut établir les modalités de la variable avant de conduire l’étude. · Il faut identifier la variable étudiée avant de choisir les traitements statistiques. · Il faut préciser la population concernée par l’enquête avant les traitements statistiques.
Explication
La préparation d’une étude consiste à définir la population, la variable, ses modalités et son type, car les traitements en dépendent. Choisir les traitements avant de connaître le type de variable inverse cette démarche; définir les modalités sans préciser la population omet un élément nécessaire.
13. Les modalités ordinales 1,2,3 ont respectivement des effectifs 2,3,5 et des fréquences 0,2,0,3,0,5. Concernant les cumuls :
À la modalité 3, la fréquence cumulée vaut 0,5, la fréquence de cette modalité.
À la modalité 3, la fréquence cumulée additionne les fréquences des trois modalités.
À la modalité 2, l’effectif cumulé additionne les effectifs des modalités 1 et 2.
À la modalité 2, l’effectif cumulé vaut 3, l’effectif de cette modalité.
À la modalité 3, l’effectif cumulé atteint 10, soit la taille de la population.
À la modalité $$3$$, la fréquence cumulée additionne les fréquences des trois modalités. · À la modalité $$2$$, l’effectif cumulé additionne les effectifs des modalités $$1$$ et $$2$$. · À la modalité $$3$$, l’effectif cumulé atteint $$10$$, soit la taille de la population.
Explication
Le cumul à la modalité 2 comprend les modalités inférieures ou égales, donc son effectif serait 2+3=5. À la dernière modalité, les fréquences cumulées totalisent 1 et les effectifs cumulés totalisent 2+3+5=10; les propositions donnant seulement l’effectif ou la fréquence de la modalité 2 ou 3 confondent valeur simple et cumul.
14. Une série quantitative comporte de nombreuses modalités et doit être répartie en intervalles. Quelles propositions sont exactes ?
Les classes doivent être deux à deux disjointes pour éviter les recouvrements.
Un regroupement en classes convient surtout lorsque la variable possède peu de modalités.
Le regroupement en classes permet de réunir de façon cohérente plusieurs modalités.
La réunion des classes doit couvrir l’ensemble des modalités de la série.
L’amplitude d’une classe correspond à la longueur de son intervalle.
Les classes doivent être deux à deux disjointes pour éviter les recouvrements. · Le regroupement en classes permet de réunir de façon cohérente plusieurs modalités. · La réunion des classes doit couvrir l’ensemble des modalités de la série. · L’amplitude d’une classe correspond à la longueur de son intervalle.
Explication
Le regroupement en classes est notamment utile lorsque la variable quantitative comporte de nombreuses modalités; les classes doivent être disjointes et couvrir l’ensemble des modalités. L’amplitude désigne la longueur de l’intervalle, tandis que l’affirmation sur les variables comportant peu de modalités inverse la raison de regrouper.
15. On regroupe des mesures en classes, dont certaines ont des amplitudes inégales. Concernant leur représentation pour les calculs ultérieurs :
Les classes peuvent avoir des amplitudes différentes sans empêcher leur traitement statistique ultérieur.
La classe ]10 ; 20] est représentée par la valeur 15 pour les calculs ultérieurs.
Une classe d’amplitude différente des autres peut être représentée par son centre.
Le centre de la classe ]10 ; 20] est égal à 10, sa borne ouverte.
Pour une classe d’amplitude 8, le centre est situé à 6 unités de sa borne inférieure.
Les classes peuvent avoir des amplitudes différentes sans empêcher leur traitement statistique ultérieur. · La classe ]10 ; 20] est représentée par la valeur 15 pour les calculs ultérieurs. · Une classe d’amplitude différente des autres peut être représentée par son centre.
Explication
Les amplitudes des classes peuvent différer, et chaque classe est représentée par son centre pour les calculs ultérieurs. Le centre d’une classe d’amplitude différente des autres reste son centre. Celui de ]10 ; 20] vaut 210+20=15; il ne correspond donc pas à sa borne inférieure. Pour une classe d’amplitude 8, le centre se situe à 4 unités de sa borne inférieure, et non à 6.
16. Pour un histogramme à classes d’amplitudes inégales, une classe a une amplitude de 4 et contient 20 individus. Quelles propositions décrivent correctement sa représentation ?
La hauteur du rectangle représente ici l’effectif brut, comme dans un diagramme en colonnes qualitatif.
La densité d’effectifs de cette classe vaut 420=5 individus par unité.
L’axe vertical peut représenter des densités d’effectifs plutôt que les effectifs bruts.
La densité d’effectifs se calcule en multipliant l’effectif par l’amplitude de la classe.
Des rectangles de même hauteur garantissent une lecture correcte des effectifs malgré les amplitudes inégales.
La densité d’effectifs de cette classe vaut $$\frac{20}{4}=5$$ individus par unité. · L’axe vertical peut représenter des densités d’effectifs plutôt que les effectifs bruts.
Explication
La densité d’effectifs se calcule en divisant l’effectif par l’amplitude : di=aini=420=5. Avec des amplitudes différentes, l’histogramme utilise les densités; des rectangles de même hauteur peuvent induire une interprétation erronée, et la hauteur ne représente pas l’effectif brut comme dans un diagramme en colonnes qualitatif.
17. Des données sont regroupées en classes d’amplitudes différentes. Concernant leur polygone cumulatif et les choix de classes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
Deux choix distincts de position et d’amplitude des classes produisent des histogrammes de même allure.
Pour construire le polygone cumulatif, on relie les densités cumulées relevées aux bornes inférieures.
À chaque borne supérieure, on calcule l’effectif cumulé, puis on relie les points obtenus.
Le calcul d’une densité par amplitude suppose que les individus se concentrent à une borne de classe.
Diviser l’effectif d’une classe par son amplitude suppose une répartition uniforme dans cette classe.
À chaque borne supérieure, on calcule l’effectif cumulé, puis on relie les points obtenus. · Diviser l’effectif d’une classe par son amplitude suppose une répartition uniforme dans cette classe.
Explication
Le polygone cumulatif des effectifs se construit en calculant l’effectif cumulé à chaque borne supérieure, puis en reliant les points. Diviser un effectif par l’amplitude revient à supposer une répartition uniforme dans la classe; les choix de position et d’amplitude peuvent modifier fortement l’allure d’un histogramme, et la méthode décrite ne porte pas sur des densités cumulées.
18. Concernant la représentation en colonnes des modalités qualitatives, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
Les modalités qualitatives sont ordonnées sur l’axe horizontal selon leur fréquence décroissante.
La largeur de chaque rectangle traduit l’importance de l’effectif associé à la modalité.
Les rectangles sont placés selon un ordre numérique imposé par l’axe horizontal gradué.
Chaque modalité est représentée par un rectangle dont la hauteur indique son effectif ou sa fréquence.
Les secteurs d’un diagramme en colonnes ont une aire proportionnelle aux fréquences observées.
Chaque modalité est représentée par un rectangle dont la hauteur indique son effectif ou sa fréquence.
Explication
La hauteur des rectangles représente l’effectif ou la fréquence, et l’axe horizontal ne porte pas d’échelle numérique. Les modalités n’ont pas d’ordre privilégié et la largeur des rectangles n’a pas de signification liée aux modalités ; les secteurs caractérisent un autre type de diagramme.
19. Un diagramme circulaire représente quatre modalités de fréquences exactes 0,10 ; 0,20 ; 0,30 et 0,40. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) concernant la construction des secteurs ?
Les rectangles d’un diagramme en colonnes ont des largeurs proportionnelles aux fréquences.
Les angles se calculent en multipliant chaque fréquence par 180∘.
Un diagramme unicolonne répartit les modalités en secteurs angulaires proportionnels aux fréquences.
La modalité de fréquence 0,30 correspond à un secteur d’angle 108∘.
Les fréquences arrondies doivent remplacer les fréquences exactes dans les calculs d’angles.
La modalité de fréquence 0,30 correspond à un secteur d’angle $$108^\circ$$.
Explication
L’angle vaut la fréquence multipliée par 360∘ ; ainsi, 0,30×360∘=108∘. Une fréquence de 0,20 donne 72∘, et les calculs doivent utiliser les fréquences exactes pour éviter le cumul des arrondis. Le diagramme unicolonne utilise des sous-rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences. Dans un diagramme en colonnes, la largeur des rectangles n’est pas liée aux fréquences.
20. Pour une variable ordinale, trois modalités consécutives ont des effectifs respectifs de 8, 13 et 9. Quelles sont les réponses exactes au sujet des modes locaux et global ?
Le mode global désigne un maximum local, même lorsque l’effectif maximal est ailleurs.
Un mode local exige que l’effectif de la modalité soit inférieur à celui de ses voisines.
La modalité centrale constitue un mode local, car son effectif dépasse celui de ses voisines.
La modalité centrale est aussi le mode global parmi les trois modalités présentées.
Une variable nominale possède un mode défini comme une modalité dépassant ses voisines ordonnées.
La modalité centrale constitue un mode local, car son effectif dépasse celui de ses voisines. · La modalité centrale est aussi le mode global parmi les trois modalités présentées.
Explication
L’effectif 13 dépasse les deux effectifs voisins, ce qui fait de la modalité centrale un mode local ; parmi les trois modalités données, c’est aussi le maximum global. Un mode local correspond à un pic, et le mode global est le maximum des effectifs. La comparaison avec les modalités précédentes et suivantes suppose un ordre, contrairement au cas nominal.
21. Deux distributions continues sont regroupées en classes : les classes de la première ont même amplitude, celles de la seconde des amplitudes différentes. Parmi les propositions suivantes concernant le choix des modes, laquelle(s) est(sont) exacte(s) ?
Pour une classe modale de même amplitude, le mode conventionnel est son centre.
Dans la seconde distribution, la classe modale est celle dont la densité est maximale.
Dans la seconde distribution, le mode conventionnel est le milieu de la classe d’effectif maximal.
Dans la première distribution, la classe modale est celle dont l’effectif est maximal.
Une répartition avec au moins deux maxima locaux est qualifiée de multimodale.
Pour une classe modale de même amplitude, le mode conventionnel est son centre. · Dans la seconde distribution, la classe modale est celle dont la densité est maximale. · Dans la première distribution, la classe modale est celle dont l’effectif est maximal. · Une répartition avec au moins deux maxima locaux est qualifiée de multimodale.
Explication
À amplitudes égales, on repère la classe d’effectif maximal et son centre donne le mode conventionnel. Lorsque les amplitudes diffèrent, c’est la densité maximale qui détermine la classe modale, puis son centre le mode. Deux maxima locaux ou davantage caractérisent une répartition multimodale ; dans le cas d’amplitudes différentes, le choix ne repose pas sur l’effectif maximal seul.
22. Une série ordonnée de 61 personnes présente des effectifs cumulés aux différentes modalités. Concernant la détermination de sa médiane, quelles propositions sont exactes ?
Les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées peuvent chacun servir au repérage.
Pour 61 personnes, la médiane correspond à la 30e donnée ordonnée.
Dans l’exemple des âges, le cumul passe de 25 à 35 entre 13 et 14 ans.
Il faut calculer simultanément les effectifs cumulés et les fréquences cumulées.
On repère le premier cumul au moins égal à 30,5 pour identifier la médiane.
Les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées peuvent chacun servir au repérage. · Dans l’exemple des âges, le cumul passe de 25 à 35 entre 13 et 14 ans. · On repère le premier cumul au moins égal à 30,5 pour identifier la médiane.
Explication
Le seuil est N/2=30,5, et la médiane est la première donnée atteignant ou dépassant ce rang, soit la 31e. Dans l’exemple, le cumul atteint 35 à 14 ans; on peut utiliser les effectifs ou les fréquences cumulées, sans devoir calculer les deux.
23. Dans une liste ordonnée de 80 observations, on repère les quartiles selon leurs rangs. Concernant ces repères, quelles propositions sont exactes ?
La valeur de Q3 correspond à environ 25 % des individus situés au-dessous.
La valeur de Q2 correspond au seuil de 25 % des individus.
Environ la moitié des données se situe entre Q1 et Q3.
Le rang de Q3 est immédiatement après le rang 20.
Le rang de Q1 est immédiatement après le rang 20.
Environ la moitié des données se situe entre $$Q_1$$ et $$Q_3$$. · Le rang de $$Q_1$$ est immédiatement après le rang 20.
Explication
Pour N=80, le rang de Q1 suit N/4=20, tandis que celui de Q3 suit 3N/4=60. Q2 est la médiane, et environ 50 % des données se trouvent entre Q1 et Q3; Q3 correspond à 75 % des individus au-dessous de sa valeur.
24. Un échantillon a pour extrema 2 et 18, avec Q1 = 6, la médiane égale à 10 et Q3 = 14. Concernant sa boîte à moustaches :
L’écart interdécile se calcule en soustrayant D1 de D9.
La boîte s’étend de 6 à 14 et comporte une ligne au niveau de 10.
L’étendue vaut 16 et renseigne sur l’étalement des valeurs observées.
Sur le segment gradué, le rectangle s’étend de la médiane à Q3.
La boîte représente les quartiles Q1, Q3 et les extrema, sans Q2.
L’écart interdécile se calcule en soustrayant D1 de D9. · La boîte s’étend de 6 à 14 et comporte une ligne au niveau de 10. · L’étendue vaut 16 et renseigne sur l’étalement des valeurs observées.
Explication
La boîte va de Q1 à Q3 et sa ligne médiane correspond à Q2. L’écart interdécile est D9 − D1 ; l’étendue vaut 18 − 2 = 16. Le rectangle ne part pas de la médiane, et la représentation inclut bien Q2 ainsi que les deux extrema.
25. Une série est regroupée en deux classes : [4 ; 9[ d’effectif 2 et [9 ; 14[ d’effectif 4. Pour estimer sa moyenne et interpréter les écarts à celle-ci :
Le calcul approché utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative.
La classe [4 ; 9[ a pour centre 6,5 et pour amplitude 5.
La somme pondérée des écarts à la moyenne vaut le nombre total d’individus.
Pour la première classe, le calcul utilise son extrémité supérieure, soit 9.
La somme pondérée des écarts algébriques à la moyenne est nulle.
Le calcul approché utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative. · La classe [4 ; 9[ a pour centre 6,5 et pour amplitude 5. · La somme pondérée des écarts algébriques à la moyenne est nulle.
Explication
La somme pondérée des écarts à la moyenne est nulle. Pour une série groupée, on utilise les centres des classes ; [4 ; 9[ a une amplitude de 5 et un centre de 6,5. La somme des écarts ne vaut pas l’effectif total, et on ne remplace pas la classe par son extrémité supérieure.
26. Une série comporte les valeurs 2, 5, 5 et 8 ; une autre donnée est regroupée dans la classe [10 ; 14[. À propos du calcul de la moyenne :
Remplacer une valeur de classe par son centre conserve nécessairement la valeur exacte de chaque individu.
Pour la première série, la moyenne est la somme des quatre valeurs divisée par quatre.
La moyenne de la première série vaut 5, car sa médiane est 5.
Remplacer la valeur de la classe par son centre suppose une modalité commune aux individus concernés.
Le centre de la classe [10 ; 14[ utilisé comme valeur représente 12.
Pour la première série, la moyenne est la somme des quatre valeurs divisée par quatre. · Remplacer la valeur de la classe par son centre suppose une modalité commune aux individus concernés. · Le centre de la classe [10 ; 14[ utilisé comme valeur représente 12.
Explication
La première série a pour moyenne (2 + 5 + 5 + 8) / 4 = 5. Remplacer les observations d’une classe par son centre revient à supposer qu’elles ont toutes cette modalité ; le centre de [10 ; 14[ est 12. La moyenne ne se confond pas avec la médiane, et cette substitution constitue une hypothèse, pas une conservation des valeurs individuelles exactes.
27. On calcule une moyenne avec des fréquences pour une série non regroupée, puis pour une série regroupée en classes. Quelles sont les réponses exactes au sujet des formules ?
Avec regroupement, la formule pondère les bornes de chaque classe par leurs fréquences.
Avec regroupement en classes, chaque centre de classe est pondéré par sa fréquence.
Pour les classes, la fréquence d’une classe est son effectif divisé par l’effectif total.
Sans regroupement, chaque valeur observée est pondérée par sa fréquence dans la moyenne.
Sans regroupement, la moyenne pondérée par les fréquences utilise les effectifs comme poids directs.
Avec regroupement en classes, chaque centre de classe est pondéré par sa fréquence. · Pour les classes, la fréquence d’une classe est son effectif divisé par l’effectif total. · Sans regroupement, chaque valeur observée est pondérée par sa fréquence dans la moyenne.
Explication
Sans regroupement, la moyenne est la somme des produits fréquence-valeur. Avec regroupement, on pondère les centres de classe par les fréquences, chaque fréquence étant l’effectif divisé par l’effectif total. Les effectifs directs ne sont pas les poids de la formule en fréquences, et les bornes ne remplacent pas les centres.
28. Dans une série de notes, on ajoute une note exceptionnellement basse. Concernant la moyenne et la médiane, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
La moyenne peut s’appliquer à une variable ordinale dépourvue de valeurs quantitatives.
La moyenne comme la médiane résument la position centrale de la série.
La médiane est généralement moins sensible qu’une moyenne à une observation aberrante.
La moyenne et la médiane s’appliquent toutes deux aux variables ordinales.
La note exceptionnelle peut modifier la médiane plus fortement que la moyenne.
La moyenne comme la médiane résument la position centrale de la série. · La médiane est généralement moins sensible qu’une moyenne à une observation aberrante.
Explication
La moyenne et la médiane sont deux mesures de position centrale, mais la médiane résiste mieux aux observations aberrantes. La moyenne concerne les variables quantitatives, tandis que la médiane s’applique aussi aux variables ordinales. Une valeur extrême peut fortement modifier la moyenne sans perturber autant la médiane.
29. Trois notes sont 14, 15 et 16. On ajoute ensuite une note de 0. Concernant l’évolution de la moyenne et de la médiane :
Après l’ajout de 0, la médiane devient 11,25.
La moyenne initiale est égale à 15, comme la médiane initiale.
La médiane initiale vaut 14, car elle est la plus petite note.
Après l’ajout de 0, la moyenne devient 11,25.
La moyenne reste égale à 15 après l’ajout de 0.
La moyenne initiale est égale à 15, comme la médiane initiale. · Après l’ajout de 0, la moyenne devient 11,25.
Explication
Pour les notes 14, 15 et 16, la moyenne et la médiane valent 15. Après l’ajout de 0, la moyenne est 45/4 = 11,25, tandis que la médiane reste 15 : la valeur exceptionnelle modifie la moyenne, pas la médiane dans cet exemple.
30. Une série d’âges contient des valeurs comprises entre 18 et 42 ans, avec une observation exceptionnelle. Concernant les indicateurs de dispersion :
La variance est la moyenne des écarts absolus à la moyenne.
L’étendue de la série est égale à 24 ans.
L’intervalle interquartile contient les 50 % centraux de la population.
L’étendue est calculée en additionnant les valeurs extrêmes observées.
L’étendue décrit la répartition de toutes les observations entre les extrêmes.
L’étendue de la série est égale à 24 ans. · L’intervalle interquartile contient les 50 % centraux de la population.
Explication
L’étendue vaut 42 − 18 = 24 ans, mais elle ne décrit pas la répartition des observations et peut être peu représentative en présence d’une valeur exceptionnelle. L’intervalle interquartile, délimité par les premier et troisième quartiles, contient 50 % de la population. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, et l’étendue est une différence, non une somme.
31. Une étudiante obtient 12 à un examen de moyenne 14 et d’écart-type 2, puis 8 à un examen de moyenne 10 et d’écart-type 4. Concernant les valeurs centrées réduites :
Sa valeur centrée réduite se calcule en divisant la moyenne par l’écart-type.
La valeur centrée réduite divise l’écart à la moyenne par la variance.
Sa valeur centrée réduite au premier examen est −1.
L’écart-type s’exprime dans la même unité que la note mesurée.
L’écart-type est exprimé dans l’unité carrée de la variable.
Sa valeur centrée réduite au premier examen est −1. · L’écart-type s’exprime dans la même unité que la note mesurée.
Explication
La valeur centrée réduite se calcule en divisant l’écart entre la note et la moyenne par l’écart-type, et non par la variance. Au premier examen, la valeur est (12 − 14)/2 = −1 ; au second, elle est (8 − 10)/4 = −0,5. L’écart-type s’exprime dans la même unité que la note, tandis que la variance porte sur des carrés d’écarts et s’exprime dans l’unité carrée.
32. Pour comparer les PNB par habitant de groupes de pays et leur dispersion, cochez les propositions exactes :
Plusieurs indicateurs complémentaires peuvent résumer une série statistique.
Une moyenne élevée ou faible se juge sans tenir compte de la population comparée.
La variance des 28 pays est inférieure à celle observée dans l’Union européenne.
L’interprétation d’une moyenne nécessite un contexte ou une comparaison pertinente.
La moyenne est de 2 385 pour les membres de l’Union européenne.
Plusieurs indicateurs complémentaires peuvent résumer une série statistique. · L’interprétation d’une moyenne nécessite un contexte ou une comparaison pertinente. · La moyenne est de 2 385 pour les membres de l’Union européenne.
Explication
Une moyenne doit être interprétée dans son contexte et par comparaison; les indicateurs de tendance centrale et de dispersion sont complémentaires. La moyenne du PNB par habitant des membres de l’Union européenne est de 2 385. La variance totale des 28 pays, 137 088 622, dépasse celle de l’Union européenne seule, 73 110 246; on ne juge donc pas une moyenne dans l’absolu.
33. Concernant la comparaison des groupes et les distributions conjointes :
L’effectif conjoint dénombre les individus ayant l’une ou l’autre des deux modalités considérées.
Un rapport intergroupe sur variance totale proche de 1 indique un lien fort entre les variables.
Le couple (X, Y) est défini sur la population et prend pour modalités des couples (x, y).
L’effectif conjoint compte les individus ayant simultanément les modalités considérées des deux variables.
Un rapport intergroupe sur variance totale proche de 0 indique un lien fort entre les variables.
Un rapport intergroupe sur variance totale proche de 1 indique un lien fort entre les variables. · Le couple (X, Y) est défini sur la population et prend pour modalités des couples (x, y). · L’effectif conjoint compte les individus ayant simultanément les modalités considérées des deux variables.
Explication
Un rapport proche de 1 traduit un lien fort, tandis qu’un rapport proche de 0 traduit un lien faible. Le couple de variables prend bien les couples de modalités comme modalités, et l’effectif conjoint compte les individus présentant les deux modalités simultanément.
34. Une table de contingence porte sur N=40 individus ; une case contient nij=6 et les sommes de lignes et de colonnes sont calculées. Quelles propositions décrivent correctement ces données ?
La somme de la colonne associée à yj est notée Lj et donne l’effectif de cette modalité.
La fréquence conjointe de cette case vaut Li6 parmi les individus de la ligne.
La distribution conjointe associe un effectif ou une fréquence à chaque couple de modalités.
La somme de la ligne associée à xi est notée Li et donne l’effectif de cette modalité.
La fréquence conjointe de cette case vaut 406=0,15 dans la population étudiée.
La distribution conjointe associe un effectif ou une fréquence à chaque couple de modalités. · La somme de la ligne associée à $$x_i$$ est notée $$L_i$$ et donne l’effectif de cette modalité. · La fréquence conjointe de cette case vaut $$\frac{6}{40}=0,15$$ dans la population étudiée.
Explication
La fréquence conjointe est l’effectif de la case divisé par l’effectif total, soit 6/40=0,15. Les sommes des lignes sont notées Li, celles des colonnes Cj, et la distribution conjointe décrit les couples de modalités.
35. Dans une table, nij=8 individus appartiennent simultanément à xi et yj ; la modalité yj regroupe 20 individus sur un total de 50. Parmi les propositions suivantes concernant les fréquences conditionnelles, lesquelles sont exactes ?
La fréquence de xi conditionnellement à yj vaut 208=0,40.
La fréquence de xi conditionnellement à yj vaut 508=0,16.
La distribution conditionnelle décrit les modalités d’une variable sans fixer de modalité de l’autre.
La fréquence conjointe de la case utilise le total de la modalité conditionnante comme dénominateur.
La fréquence conjointe de la case vaut 508=0,16 dans la population.
La fréquence de $$x_i$$ conditionnellement à $$y_j$$ vaut $$\frac{8}{20}=0,40$$. · La fréquence conjointe de la case vaut $$\frac{8}{50}=0,16$$ dans la population.
Explication
La fréquence conditionnelle divise l’effectif conjoint par le total de la modalité conditionnante, soit 8/20=0,40. La fréquence conjointe utilise l’effectif total, soit 8/50=0,16 ; une distribution conditionnelle fixe une modalité de l’autre variable.
36. Pour étudier graphiquement X selon Y, une analyste prépare une barre pour chacune des modalités de Y. Concernant cette représentation :
Elle attribue une hauteur de 100 à chaque barre, puis la partage selon les modalités de X.
Des répartitions identiques dans toutes les barres indiquent l’absence de lien selon cette analyse.
Elle attribue une hauteur de 100 à chaque barre, puis la partage selon les modalités de Y.
Dans l’exemple lecture-spécialité, la modalité goût moyen correspond à 100 % de spécialité ES.
La représentation de X conditionnellement à Y suffit à mettre en évidence un éventuel lien.
Elle attribue une hauteur de 100 à chaque barre, puis la partage selon les modalités de X. · Des répartitions identiques dans toutes les barres indiquent l’absence de lien selon cette analyse. · Dans l’exemple lecture-spécialité, la modalité goût moyen correspond à 100 % de spécialité ES. · La représentation de X conditionnellement à Y suffit à mettre en évidence un éventuel lien.
Explication
Chaque modalité de Y correspond à un rectangle de hauteur 100, partagé proportionnellement aux modalités de X. Des répartitions identiques suggèrent l’absence de lien ; dans l’exemple, le goût moyen correspond à 100 % de ES. Une seule des deux distributions conditionnelles suffit, car elles conduisent à la même conclusion.
37. À propos des graphiques conditionnels et des effectifs théoriques :
Des boîtes à moustaches peuvent comparer des sous-populations avec de petits échantillons quantitatifs.
Dans l’exemple, la série ES compte 80 % d’individus lisant beaucoup et 20 % moyennement.
Un effectif théorique décrit le nombre attendu sous indépendance, en conservant les marges observées.
Les histogrammes de l’exemple suggèrent un lien fort entre goût pour la lecture et spécialité.
Un effectif théorique décrit le nombre attendu sous dépendance, en conservant les marges observées.
Un effectif théorique décrit le nombre attendu sous indépendance, en conservant les marges observées. · Les histogrammes de l’exemple suggèrent un lien fort entre goût pour la lecture et spécialité.
Explication
L’effectif théorique correspond à l’effectif conjoint attendu sous l’hypothèse d’indépendance, avec les mêmes marges. Les histogrammes de l’exemple suggèrent un lien fort ; les boîtes à moustaches nécessitent de grands échantillons et une variable quantitative, et pour ES la répartition indiquée est 20 % lisant beaucoup et 80 % moyennement.
38. Pour une table de contingence, quelle démarche permet de calculer le chi-deux d’indépendance ?
Un chi-deux non nul indique que les variables sont indépendantes, sans renseigner sur l’importance du lien.
Pour chaque case, on élève au carré l’écart observé-théorique, puis on le rapporte au théorique.
Le chi-deux est la somme, sur les cases, des écarts au carré divisés par les effectifs théoriques.
Pour chaque case, on divise l’écart observé-théorique par l’effectif théorique avant de le mettre au carré.
Une valeur nulle du chi-deux indique l’indépendance entre les deux variables étudiées.
Pour chaque case, on élève au carré l’écart observé-théorique, puis on le rapporte au théorique. · Le chi-deux est la somme, sur les cases, des écarts au carré divisés par les effectifs théoriques. · Une valeur nulle du chi-deux indique l’indépendance entre les deux variables étudiées.
Explication
Chaque contribution est le carré de l’écart entre effectif observé et théorique, divisé par l’effectif théorique, puis les contributions sont additionnées. Un chi-deux nul indique l’indépendance, tandis qu’un chi-deux non nul indique un lien, sans en mesurer à lui seul l’importance.
39. Dans une enquête de N=40 sujets, deux variables ont respectivement 2 et 3 modalités, avec χ2=20. Concernant le coefficient phi :
Le coefficient vaut ϕ=20/40, soit environ 0,71.
Le coefficient phi mesure l’écart entre observés et théoriques sans normalisation par la population.
Un coefficient phi égal à 1 correspond à l’indépendance des variables.
La valeur maximale du chi-deux dans cette situation est 20.
Le dénominateur de la formule vaut 40[min(2,3)−1]=40.
Le coefficient vaut $$\phi=\sqrt{20/40}$$, soit environ $$0{,}71$$. · Le dénominateur de la formule vaut $$40[\min(2,3)-1]=40$$.
Explication
La plus petite modalité est 2, donc N[min(p,q)−1]=40 et ϕ=20/40≈0,71. Le chi-deux maximal est 40, phi égal à 1 traduit une dépendance totale, et phi normalise le chi-deux par sa valeur maximale.
40. Une analyse donne ϕ=0,42 pour deux variables catégorielles. Quelles propositions décrivent correctement l’intensité et la dépendance ?
Un coefficient de 0,42 se situe entre les seuils de 0,3 et 0,5.
La convention classe un coefficient de 0,42 parmi les liens forts.
Une dépendance totale signifie que les modalités des deux variables restent indéductibles.
Selon la convention indiquée, cette valeur correspond à un lien moyen.
Une dépendance totale permettrait de déduire sans erreur une modalité à partir de l’autre.
Un coefficient de $$0{,}42$$ se situe entre les seuils de $$0{,}3$$ et $$0{,}5$$. · Selon la convention indiquée, cette valeur correspond à un lien moyen. · Une dépendance totale permettrait de déduire sans erreur une modalité à partir de l’autre.
Explication
La convention situe un lien moyen entre 0,3 et 0,5, donc 0,42 relève de cette catégorie. La dépendance totale permet de connaître sans erreur la modalité d’une variable à partir de celle de l’autre.
41. Une équipe étudie toutes les personnes concernées par une enquête et souhaite analyser un lien linéaire entre deux mesures quantitatives. Quelles propositions sont exactes ?
La théorie des sondages étudie le choix des sujets d’une enquête exhaustive.
Une enquête portant sur tous les sujets concernés constitue un sondage.
La corrélation linéaire vise un lien linéaire entre deux variables quantitatives.
L’analyse porte sur un recensement, puisqu’elle inclut tous les sujets concernés.
La corrélation linéaire sert à étudier un lien entre des variables qualitatives quelconques.
La corrélation linéaire vise un lien linéaire entre deux variables quantitatives. · L’analyse porte sur un recensement, puisqu’elle inclut tous les sujets concernés.
Explication
Une enquête exhaustive portant sur tous les sujets concernés est un recensement. La corrélation linéaire examine un lien linéaire entre variables quantitatives; la théorie des sondages concerne le choix des sujets d’une étude, et une enquête exhaustive n’est pas un sondage.
42. Dans une étude, les données sont d’abord recueillies, puis classées, analysées et interprétées. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?
Une étude statistique comprend le recueil, le dépouillement, le traitement et l’interprétation.
Le dépouillement rassemble les données et peut les organiser par classement ou codage.
La statistique inférentielle décrit les données sans extrapoler depuis un échantillon.
La statistique descriptive résume les données et peut les représenter graphiquement.
Le traitement des données précède leur recueil dans les étapes d’une étude statistique.
Une étude statistique comprend le recueil, le dépouillement, le traitement et l’interprétation. · Le dépouillement rassemble les données et peut les organiser par classement ou codage. · La statistique descriptive résume les données et peut les représenter graphiquement.
Explication
Le dépouillement sert à rassembler et organiser les données, notamment par classement ou codage; les étapes incluent aussi recueil, traitement et interprétation. La statistique descriptive représente et résume les données, tandis que l’inférentielle extrapole à partir d’un échantillon.
43. Concernant les variables qualitatives nominales et ordinales :
Une variable est un renseignement recueilli sur les modalités d’une population.
Une variable est un renseignement recueilli sur les individus d’une population.
Une variable nominale présente des catégories dépourvues d’ordre naturel entre elles.
Une variable ordinale présente des modalités sans ordre naturel entre elles.
Une variable ordinale possède des modalités organisées selon un ordre naturel.
Une variable est un renseignement recueilli sur les individus d’une population. · Une variable nominale présente des catégories dépourvues d’ordre naturel entre elles. · Une variable ordinale possède des modalités organisées selon un ordre naturel.
Explication
Les catégories nominales n’ont pas d’ordre naturel, tandis que les modalités ordinales en possèdent un. Une variable correspond à un renseignement recueilli sur les individus ; remplacer les individus par les modalités est incorrect.
44. Dans une enquête, on relève le nombre de frères et sœurs et la taille mesurée des participants. Quelles propositions sont exactes ?
L’effectif d’une modalité correspond au nombre de modalités observées dans la population.
Pour une modalité donnée, l’effectif compte les individus qui possèdent cette modalité.
Le nombre de frères et sœurs est une variable quantitative discrète issue d’un comptage.
La taille mesurée est une variable quantitative continue issue de la mesure d’une grandeur.
La taille mesurée est une variable quantitative discrète issue d’un comptage d’unités.
Pour une modalité donnée, l’effectif compte les individus qui possèdent cette modalité. · Le nombre de frères et sœurs est une variable quantitative discrète issue d’un comptage. · La taille mesurée est une variable quantitative continue issue de la mesure d’une grandeur.
Explication
Le nombre de frères et sœurs résulte d’un comptage, alors que la taille relève d’une mesure. L’effectif dénombre les individus ayant une modalité, et non les modalités distinctes ; la taille n’est pas issue d’un comptage.
45. Une série ordinale compte 20 individus ; ses effectifs cumulés sont 6, 11 et 20. Pour une autre série continue en classes, l’effectif cumulé dépasse immédiatement 10 dans la classe [30 ; 40[. Concernant ces indices :
Le mode global est la modalité dont l’effectif est le plus élevé dans la série.
Le premier quartile se détermine en comparant les effectifs cumulés à 5 individus.
La médiane de la série continue est approchée par le centre de la classe médiane.
La médiane ordinale est la modalité dont l’effectif cumulé dépasse immédiatement 10.
Le troisième quartile se détermine en comparant les effectifs cumulés à 15 individus.
Le mode global est la modalité dont l’effectif est le plus élevé dans la série. · Le premier quartile se détermine en comparant les effectifs cumulés à 5 individus. · La médiane de la série continue est approchée par le centre de la classe médiane. · La médiane ordinale est la modalité dont l’effectif cumulé dépasse immédiatement 10. · Le troisième quartile se détermine en comparant les effectifs cumulés à 15 individus.
Explication
Le mode global correspond au plus grand effectif, et la médiane ordinale dépasse immédiatement la moitié de l’effectif total, soit 10. Pour la série continue, le centre de la classe médiane est utilisé comme approximation ; les seuils des quartiles sont 20/4=5 et 3×20/4=15.
46. Une variable quantitative prend les valeurs 2 et 6, avec des effectifs respectifs de 3 et 1. Parmi les propositions suivantes concernant ses indices, laquelle(lesquelles) est(sont) exacte(s) ?
La moyenne convient à une variable qualitative ordinale dont les modalités sont classées.
L’écart interquartile se calcule en retranchant le premier quartile de la médiane.
L’étendue de cette série vaut 8, car elle correspond à la somme des deux valeurs observées.
La moyenne pondérée de cette série vaut 3, car la somme pondérée est divisée par 4.
La variance se calcule en retranchant le carré de la moyenne à la moyenne des carrés.
La moyenne pondérée de cette série vaut 3, car la somme pondérée est divisée par 4. · La variance se calcule en retranchant le carré de la moyenne à la moyenne des carrés.
Explication
La moyenne vaut ((3×2)+(1×6))/4=3, et la variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. L’étendue est le maximum moins le minimum ; l’écart interquartile est Q3−Q1, et la moyenne ne s’applique pas aux variables qualitatives ordinales.
47. Dans un tableau de contingence de 40 individus, une case est située dans une ligne d’effectif 12 et une colonne d’effectif 10. Concernant le calcul sous hypothèse d’indépendance :
Le calcul de l’effectif théorique utilise les effectifs marginaux de la ligne et de la colonne concernées.
Le chi-deux additionne, sur les cases, les contributions calculées à partir des effectifs observés et théoriques.
L’effectif théorique de cette case s’obtient en divisant 40 par le produit des deux marges.
L’effectif théorique de cette case est obtenu en multipliant 12 par 10 puis en divisant par 40.
Pour calculer le chi-deux, on rapporte au théorique le carré de l’écart entre observé et théorique.
Le calcul de l’effectif théorique utilise les effectifs marginaux de la ligne et de la colonne concernées. · Le chi-deux additionne, sur les cases, les contributions calculées à partir des effectifs observés et théoriques. · L’effectif théorique de cette case est obtenu en multipliant 12 par 10 puis en divisant par 40. · Pour calculer le chi-deux, on rapporte au théorique le carré de l’écart entre observé et théorique.
Explication
L’effectif théorique vaut 4012×10=3, car il est calculé à partir des deux marges et de l’effectif total. Le chi-deux additionne pour chaque case Tij(Oij−Tij)2 ; inverser le rapport des marges et du total donne une formule erronée.
48. Une étude donne un coefficient phi de 0,42 pour deux variables. Concernant l’interprétation de ce coefficient :
Une valeur supérieure à 0,5 est classée comme un lien fort.
Une valeur de 0,42 est classée comme un lien faible.
Le coefficient phi appartient à l’intervalle allant de zéro à un.
La valeur zéro correspond à l’indépendance entre les variables.
Selon la convention, une valeur de 0,42 correspond à un lien moyen.
Une valeur supérieure à 0,5 est classée comme un lien fort. · Le coefficient phi appartient à l’intervalle allant de zéro à un. · La valeur zéro correspond à l’indépendance entre les variables. · Selon la convention, une valeur de 0,42 correspond à un lien moyen.
Explication
La valeur 0,42 se situe entre 0,3 et 0,5, donc le lien est moyen. Phi varie de zéro pour l’indépendance à un pour la dépendance totale ; une valeur supérieure à 0,5 correspond à un lien fort, et non faible.
49. Dans un tableau statistique, quelle distinction permet de reconnaître un tableau de données d’un tableau d’effectifs ?
Dans un tableau de données, les modalités sont associées à leur nombre d’observations plutôt qu’aux individus.
Un tableau de données indique l’effectif de chaque modalité, tandis qu’un tableau d’effectifs donne chaque observation individuelle.
Un tableau de données présente les observations individuelles, tandis qu’un tableau d’effectifs compte les observations par modalité.
La population de l’exercice sur les pays européens comprend les pays dont la superficie est donnée pour 1995.
Dans la série des fautes de l’exercice 10, l’échantillon compte 15 élèves.
Un tableau de données présente les observations individuelles, tandis qu’un tableau d’effectifs compte les observations par modalité.
Explication
Un tableau de données rapporte les valeurs observées pour les individus ; un tableau d’effectifs associe à chaque modalité son nombre d’observations. Dans un tableau de données, les modalités ne sont donc pas simplement associées à leurs effectifs, et les deux types de tableaux ne s’inversent pas comme indiqué. La population évoquée dans l’exercice sur les pays européens comprend 15 pays dont la population, et non la superficie, est donnée pour 1995. Enfin, la série des fautes de l’exercice 10 porte sur 50 élèves, et non 15.
50. Dans une série quantitative, la modalité 4 a l’effectif le plus élevé et les valeurs observées vont de 2 à 9. Concernant le mode et l’étendue :
L’étendue se calcule en additionnant la plus petite et la plus grande valeur observées.
Le mode désigne une modalité de la variable, et non le nombre maximal d’observations.
L’étendue fournit un premier indice de dispersion pour une variable quantitative.
L’étendue de la série vaut 7, différence entre les valeurs extrêmes 9 et 2.
Le mode de la série est la modalité 4, associée à l’effectif maximal.
Le mode désigne une modalité de la variable, et non le nombre maximal d’observations. · L’étendue fournit un premier indice de dispersion pour une variable quantitative. · L’étendue de la série vaut 7, différence entre les valeurs extrêmes 9 et 2. · Le mode de la série est la modalité 4, associée à l’effectif maximal.
Explication
La modalité 4 est le mode puisqu’elle possède l’effectif le plus élevé ; le mode est une modalité, non cet effectif. L’étendue vaut 9−2=7 et constitue un premier indice de dispersion ; additionner les valeurs extrêmes ne correspond pas à sa définition.
51. Une série de 50 nombres de fautes présente les effectifs 5, 4, 6, 5, 6, 3, 2, 5, 10 et 4 pour les modalités de 0 à 9. Concernant son mode et son étendue, quelles propositions sont exactes ?
L’étendue vaut 9, différence entre les valeurs extrêmes 9 et 0.
L’étendue vaut 8, différence entre les valeurs extrêmes 9 et 1.
La modalité 8 est le mode, car elle possède l’effectif le plus élevé.
La modalité 5 est le mode, car son effectif atteint le maximum de la série.
Les modalités 0, 2 et 4 sont aussi des maxima locaux de la série.
L’étendue vaut 9, différence entre les valeurs extrêmes 9 et 0. · La modalité 8 est le mode, car elle possède l’effectif le plus élevé. · Les modalités 0, 2 et 4 sont aussi des maxima locaux de la série.
Explication
La modalité 8, d’effectif 10, est le mode, et les modalités 0, 2 et 4 sont également des maxima locaux. L’étendue est 9 − 0 = 9 ; les propositions attribuant le mode à 5 ou une étendue de 8 reposent sur des valeurs erronées.
52. À propos de la médiane et des quartiles d’une série ordonnée :
La médiane désigne la modalité qui apparaît le plus fréquemment dans la série.
La médiane partage les observations en deux parties contenant chacune au moins la moitié des valeurs.
Le premier quartile correspond au seuil sous lequel se trouvent au moins 25 % des observations.
Le troisième quartile est le seuil sous lequel se trouvent au moins 25 % des observations.
Le deuxième quartile correspond à la médiane de la série ordonnée.
La médiane partage les observations en deux parties contenant chacune au moins la moitié des valeurs. · Le premier quartile correspond au seuil sous lequel se trouvent au moins 25 % des observations. · Le deuxième quartile correspond à la médiane de la série ordonnée.
Explication
La médiane partage la série ordonnée en deux parties d’au moins la moitié des observations, et le deuxième quartile est la médiane. Le premier quartile marque le seuil des 25 %, tandis que le troisième marque celui des 75 % ; la modalité la plus fréquente est le mode.
53. Une variable quantitative présente une variance nulle. Quelles propositions décrivent correctement sa dispersion et son écart-type ?
Une variance nulle indique une dispersion autour de la moyenne supérieure à zéro.
Son écart-type décrit la position centrale des valeurs plutôt que leur dispersion.
Les valeurs de la variable ne présentent aucune dispersion autour de leur moyenne.
Son écart-type est nul, puisque la variance vaut zéro.
L’écart-type mesure l’éloignement des valeurs autour de leur médiane.
Les valeurs de la variable ne présentent aucune dispersion autour de leur moyenne. · Son écart-type est nul, puisque la variance vaut zéro.
Explication
Une variance nulle implique un écart-type nul et l’absence de dispersion autour de la moyenne. L’écart-type caractérise la dispersion, non la position centrale, et il se rapporte ici à la moyenne plutôt qu’à la médiane.
54. Dans l’enquête de 1963, on examine les élèves ayant choisi « Employé » ainsi que les filles. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :
Parmi les élèves ayant choisi « Employé », 75,6 % sont des filles.
Dans l’enquête, les garçons représentent 50,5 % de l’échantillon.
Un pourcentage par ligne rapporte chaque effectif au total de sa colonne.
Les 75,6 % et 15,3 % décrivent des fréquences conditionnelles distinctes.
Parmi les filles, 15,3 % ont choisi « Employé » dans cette enquête.
Parmi les élèves ayant choisi « Employé », 75,6 % sont des filles. · Les 75,6 % et 15,3 % décrivent des fréquences conditionnelles distinctes. · Parmi les filles, 15,3 % ont choisi « Employé » dans cette enquête.
Explication
Parmi les élèves ayant choisi « Employé », 75,6 % sont des filles. Dans l’échantillon, les garçons représentent 49,5 %, et non 50,5 %. Un pourcentage par ligne rapporte chaque effectif au total de sa ligne, tandis qu’un pourcentage par colonne le rapporte au total de sa colonne. Ainsi, 75,6 % et 15,3 % décrivent des fréquences conditionnelles distinctes : parmi les filles, 15,3 % ont choisi « Employé ».
55. Dans une table de contingence, les distributions conditionnelles d’une variable sont identiques pour chaque modalité de l’autre. Parmi les propositions suivantes concernant le lien entre les variables, lesquelles sont exactes ?
Un lien total entre variables est associé à une valeur de ϕ égale à 0,5.
Cette identité des distributions conditionnelles correspond à une situation d’indépendance entre les variables.
Une identité des distributions conditionnelles caractérise une dépendance entre les variables étudiées.
Le coefficient ϕ mesure quantitativement l’importance du lien et vaut 1 pour un lien total.
Les effectifs théoriques d’indépendance servent de référence pour comparer les effectifs observés au moyen du χ².
Cette identité des distributions conditionnelles correspond à une situation d’indépendance entre les variables. · Le coefficient ϕ mesure quantitativement l’importance du lien et vaut 1 pour un lien total. · Les effectifs théoriques d’indépendance servent de référence pour comparer les effectifs observés au moyen du χ².
Explication
Des distributions conditionnelles identiques caractérisent l’indépendance ; les effectifs théoriques permettent de mesurer l’écart aux observations avec le χ². Le coefficient ϕ quantifie l’intensité du lien et le lien total correspond à ϕ = 1, non à 0,5.
56. Pour une case d’un tableau de contingence, l’effectif observé vaut 12 et l’effectif théorique sous indépendance vaut 8. Quelles propositions concernant ces notions sont exactes ?
La contribution de la case se calcule en divisant l’écart observé-théorique par l’effectif observé.
L’effectif théorique est celui attendu dans cette case sous l’hypothèse d’indépendance.
L’effectif théorique est l’effectif relevé directement dans la case du tableau observé.
La contribution de cette case au χ² vaut 4, selon la formule de l’écart au carré divisé par l’effectif théorique.
Le coefficient ϕ désigne l’effectif théorique obtenu à partir des marges du tableau.
L’effectif théorique est celui attendu dans cette case sous l’hypothèse d’indépendance.
Explication
L’effectif théorique représente l’effectif attendu sous indépendance, calculé à partir des marges. Ici, la contribution vaut (12−8)2/8=2, et non 4 ; ϕ mesure l’intensité du lien, tandis que la formule de contribution utilise l’écart au carré divisé par l’effectif théorique.
57. Dans une enquête, chaque client doit indiquer son moyen de transport habituel parmi plusieurs choix. Quelles propositions décrivent la variable statistique ?
La réponse associée à un client constitue une modalité de la variable étudiée.
Un client peut fournir deux modalités si ses moyens de transport habituels sont différents.
La variable associe à chaque client l’ensemble des réponses qu’il pourrait éventuellement choisir.
À chaque client étudié est associée une seule réponse concernant son moyen de transport habituel.
La question devient une variable même si certaines réponses possibles ne sont pas exprimables.
La réponse associée à un client constitue une modalité de la variable étudiée. · À chaque client étudié est associée une seule réponse concernant son moyen de transport habituel.
Explication
Une variable associe à chaque individu une réponse et une seule, et toutes les réponses possibles doivent être exprimables. La réponse observée est une modalité de la variable, tandis que l’ensemble des réponses qu’un client pourrait choisir n’est pas la réponse qui lui est associée. Plusieurs réponses pour un individu, ou des réponses possibles qui ne sont pas exprimables, ne respectent pas cette définition.
58. Une étude porte sur le rang de satisfaction des usagers, le nombre d’appels reçus et la durée d’attente mesurée en secondes. Quels graphiques conviennent pour représenter les effectifs ou les fréquences de ces variables ?
Le diagramme en bâtons est réservé aux variables quantitatives continues non regroupées.
La durée d’attente continue regroupée en classes se représente par un diagramme en bâtons.
Le rang de satisfaction, variable qualitative ordinale, peut être représenté par un diagramme en bâtons.
Une variable qualitative discrète peut être représentée par un diagramme en bâtons.
Le nombre d’appels, variable quantitative discrète, peut être représenté par un diagramme en bâtons.
Le rang de satisfaction, variable qualitative ordinale, peut être représenté par un diagramme en bâtons. · Une variable qualitative discrète peut être représentée par un diagramme en bâtons. · Le nombre d’appels, variable quantitative discrète, peut être représenté par un diagramme en bâtons.
Explication
Les diagrammes en bâtons représentent les effectifs ou fréquences des variables qualitatives ordinales, qualitatives discrètes et quantitatives discrètes. Une durée continue regroupée en classes ne relève pas de cette liste, et le graphique n’est pas réservé aux variables continues.
59. Dans une enquête municipale, on relève le code postal des clients, l’âge des participants et les résultats d’une élection parmi 78 candidats. Quelle classification est correcte ?
Pour les 78 candidats, le résultat élu ou non élu est une variable qualitative nominale.
Dans un tableau de production d’or par continent, les individus sont les tonnes produites.
Le code postal des clients est une variable qualitative nominale, même s’il contient des chiffres.
L’âge compté en années révolues est une variable quantitative continue puisqu’il mesure une durée.
L’âge mesuré comme durée peut être considéré comme une variable quantitative continue.
Pour les 78 candidats, le résultat élu ou non élu est une variable qualitative nominale. · Le code postal des clients est une variable qualitative nominale, même s’il contient des chiffres. · L’âge mesuré comme durée peut être considéré comme une variable quantitative continue.
Explication
Le code postal est une variable qualitative nominale ; l’âge est discret lorsqu’il est compté en années révolues et continu lorsqu’il est considéré comme une mesure du temps. Pour les candidats, le résultat élu ou non élu est qualitatif nominal ; dans le tableau de données sur l’or, les individus sont les continents.
60. Un histogramme comporte des classes d’amplitudes inégales. Parmi les propositions suivantes concernant son tracé et les mesures de dispersion, lesquelles sont exactes ?
Lorsque les classes ont des amplitudes inégales, leur hauteur correspond à leur effectif brut.
Pour une classe, la hauteur du rectangle s’obtient en divisant son effectif par son amplitude.
Les classes d’âge des femmes mariées ont une amplitude constante de 12 ans.
L’écart-type s’obtient en élevant la variance au carré.
La variance est la moyenne des carrés des valeurs, diminuée du carré de la moyenne.
Pour une classe, la hauteur du rectangle s’obtient en divisant son effectif par son amplitude. · La variance est la moyenne des carrés des valeurs, diminuée du carré de la moyenne.
Explication
Pour les femmes mariées de l’exemple, les classes d’âge ont une amplitude constante de 10 ans, et non de 12 ans. Pour un histogramme à classes d’amplitudes inégales, la hauteur de chaque rectangle s’obtient en divisant l’effectif de la classe par son amplitude. La variance est la moyenne pondérée des carrés des valeurs diminuée du carré de la moyenne, et l’écart-type est la racine carrée de la variance; l’effectif brut ne donne pas la hauteur dans ce cas, et l’écart-type ne s’obtient pas en élevant la variance au carré.
61. Trois groupes comprennent respectivement 50, 65 et 35 copies, avec des totaux de points de 450, 715 et 455. Concernant la moyenne globale, quelles propositions sont exactes ?
La moyenne globale est de 11 points, comme la moyenne simple des moyennes.
La moyenne globale se calcule en divisant la somme des totaux par l’effectif total.
La moyenne globale s’obtient en faisant la moyenne simple des trois moyennes de groupe.
Les trois groupes réunis totalisent 1620 points pour 150 copies.
La moyenne globale des copies est de 10,8 points.
La moyenne globale se calcule en divisant la somme des totaux par l’effectif total. · Les trois groupes réunis totalisent 1620 points pour 150 copies. · La moyenne globale des copies est de 10,8 points.
Explication
On additionne les totaux des groupes, soit 450+715+455=1620, puis on divise par l’effectif total de 150 copies : 1620/150=10,8. La moyenne simple des moyennes de groupe ne convient pas lorsque les effectifs diffèrent.
62. Dans un histogramme à classes d’amplitude identique, une classe possède 8 étages et un étage vaut 6 individus. Parmi les propositions suivantes, laquelle(lesquelles) est(sont) exacte(s) ?
Dans l’exemple étudié, la classe centrée en 120 représente 63 individus répartis sur 9 étages.
Les cinq classes de l’exemple totalisent 151 individus selon leurs effectifs indiqués.
Pour les 18 villes étudiées, le nombre moyen d’habitants est de 18 millions.
L’effectif de cette classe se calcule en multipliant 8 par 6, soit 48 individus.
L’effectif de cette classe se calcule en divisant 8 par 6, soit environ 1,33 individu.
Dans l’exemple étudié, la classe centrée en 120 représente 63 individus répartis sur 9 étages. · L’effectif de cette classe se calcule en multipliant 8 par 6, soit 48 individus.
Explication
Avec des classes de même amplitude, l’effectif est le nombre d’étages multiplié par l’effectif correspondant à un étage : ici, 8×6=48. Dans l’exemple, la classe centrée en 120 a bien 63 individus sur 9 étages ; les 18 villes ont une moyenne de 14 millions et les cinq classes totalisent 161 individus.
63. Concernant les distributions conjointes et conditionnelles, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?
Dans un profil colonne, la distribution est conditionnée par les modalités portées en lignes.
Un profil ligne conditionne la distribution sur les modalités de la variable placée en lignes.
Une distribution conjointe donne les effectifs ou fréquences associés à chaque couple de modalités.
Pour construire une distribution conditionnelle, on rapporte chaque effectif à l’effectif total.
Dans l’exemple des accidents, la part nocturne diminue avec la gravité, de 39 % à 34 %.
Un profil ligne conditionne la distribution sur les modalités de la variable placée en lignes. · Une distribution conjointe donne les effectifs ou fréquences associés à chaque couple de modalités.
Explication
Dans un profil colonne, la distribution est conditionnée par les modalités portées en colonnes, tandis qu’un profil ligne conditionne sur les modalités portées en lignes. La distribution conjointe décrit les effectifs ou fréquences associés à chaque couple de modalités. Pour construire une distribution conditionnelle, chaque effectif de la modalité considérée est rapporté à la marge correspondante, et non à l’effectif total. Dans l’exemple des accidents, la part nocturne augmente avec la gravité, de 34 % pour les blessés légers à 39 % pour les personnes tuées.
64. Un tableau de contingence compte 80 observations ; une case se trouve dans une ligne de marge 20 et une colonne de marge 30. Concernant les effectifs théoriques et l’indépendance :
Pour calculer un effectif théorique, on divise le produit des marges par la marge de la ligne.
L’effectif théorique de cette case sous indépendance est 8020×30=7,5.
Sous indépendance, la distribution conditionnelle d’une variable est identique pour chaque modalité de l’autre.
« Parmi les célibataires, 25 % sont des hommes » décrit le statut conditionnellement au sexe.
Le khi-deux s’obtient en additionnant les contributions Tij(Oij−Tij)2 des cases.
L’effectif théorique de cette case sous indépendance est $$\frac{20\times30}{80}=7,5$$. · Sous indépendance, la distribution conditionnelle d’une variable est identique pour chaque modalité de l’autre. · Le khi-deux s’obtient en additionnant les contributions $$\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$$ des cases.
Explication
L’effectif théorique vaut le produit des marges divisé par l’effectif total : 20×30/80=7,5. Le khi-deux additionne les contributions indiquées, et l’indépendance implique des distributions conditionnelles identiques entre modalités de l’autre variable. La phrase sur les célibataires conditionne le sexe au statut, et le dénominateur de l’effectif théorique est l’effectif total.
65. Pour comparer l’intensité de liens mesurés dans des tableaux de contingence, parmi les propositions suivantes concernant le coefficient d’association, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?
Avec χ2=12, N=100 et min(p,q)−1=2, le coefficient vaut ϕ=12/200≈0,245.
Dans la formule de ϕ, le khi-deux est divisé par N(p+q−1) avant la racine carrée.
Chez les plus de 30 ans, le coefficient d’association est environ 0,11, contre 0,16 chez les moins de 30 ans.
Pour les moins de 30 ans, le khi-deux vaut 21,56 et le coefficient est proche de 0,16.
Dans l’étude de 2 000 élèves, le khi-deux vaut 115,78 et signale un lien plutôt faible.
Avec $$\chi^2=12$$, $$N=100$$ et $$\min(p,q)-1=2$$, le coefficient vaut $$\phi=\sqrt{12/200}\approx0,245$$. · Dans l’étude de 2 000 élèves, le khi-deux vaut 115,78 et signale un lien plutôt faible.
Explication
La formule donne ϕ=χ2/[N(min(p,q)−1)] ; les valeurs proposées conduisent à 12/200≈0,245. L’étude des 2 000 élèves rapporte bien un khi-deux de 115,78 et un lien plutôt faible. Pour les moins de 30 ans, les valeurs sont 15,11 et environ 0,11 ; pour les plus de 30 ans, elles sont 21,56 et environ 0,16.
66. Pour étudier l’association entre deux variables qualitatives dans un échantillon, quelle démarche permet ensuite d’en apprécier l’intensité ?
Dans l’étude de l’acné, le coefficient φ proche de 0,115 traduit un lien moyen entre traitement et guérison.
Les taux de réussite observés s’expliquent par une plus forte présence des filles au concours A, plus difficile.
On part des effectifs observés, calcule les effectifs théoriques, puis le khi-deux et le coefficient φ.
Les taux de réussite de 75 % chez les filles et 40 % chez les garçons indiquent des résultats contradictoires.
Dans l’étude de l’acné, un coefficient φ d’environ 0,32 caractérise un lien faible entre traitement et guérison.
On part des effectifs observés, calcule les effectifs théoriques, puis le khi-deux et le coefficient φ.
Explication
La démarche consiste à établir les effectifs observés, calculer les effectifs théoriques, puis le khi-deux et φ. Pour l’acné, φ vaut environ 0,115 et le lien est plutôt faible, non moyen ni égal à 0,32. Les taux globaux de réussite ne sont pas contradictoires : les garçons passent davantage le concours A, plus difficile, tandis que les filles passent davantage le B.
67. Parmi les propositions suivantes concernant l’intensité des liens entre variables qualitatives, laquelle est exacte ?
Dans l’exercice électoral, le lien entre résultat et catégorie sociologique est moyen, avec φ proche de 0,36.
Dans l’exercice électoral, l’association avec l’attitude du député est qualifiée de forte malgré φ proche de 0,27.
Le lien entre résultat électoral et catégorie sociologique donne un khi-deux proche de 2,57.
Un lien total signifie qu’une modalité d’une variable détermine automatiquement celle de l’autre, avec φ égal à 1 dans les tableaux concernés.
Pour le lien entre résultat électoral et attitude du député, φ vaut environ 0,25 et indique un lien faible.
Un lien total signifie qu’une modalité d’une variable détermine automatiquement celle de l’autre, avec φ égal à 1 dans les tableaux concernés.
Explication
Un lien total correspond à une détermination automatique entre les modalités et, dans les tableaux étudiés, φ vaut 1. Le lien entre résultat et catégorie sociologique a φ ≈ 0,25 et celui avec l’attitude du député φ ≈ 0,27 ; les deux sont plutôt faibles. Le khi-deux de 2,57 correspond à l’attitude du député, non à la catégorie sociologique.
68. Les statistiques descriptives obtenues dans les exemples portant sur l’âge et l’attente téléphonique comprennent :
Pour les 20 sujets, l’âge moyen est de 35,7 ans, avec une variance de 216,31 et un écart-type de 14,7.
Pour les 22 consommateurs, l’attente moyenne est d’environ 6,07 minutes et son écart-type d’environ 2,46 minutes.
Pour les 20 sujets, l’écart-type d’âge vaut 216,31 ans et sa variance vaut 14,7.
Pour ces 20 sujets, la médiane d’âge est 35 ans et le premier quartile est 25 ans.
Pour les 22 consommateurs, l’attente moyenne est d’environ 2,46 minutes et son écart-type d’environ 6,07 minutes.
Pour les 20 sujets, l’âge moyen est de 35,7 ans, avec une variance de 216,31 et un écart-type de 14,7. · Pour les 22 consommateurs, l’attente moyenne est d’environ 6,07 minutes et son écart-type d’environ 2,46 minutes. · Pour ces 20 sujets, la médiane d’âge est 35 ans et le premier quartile est 25 ans.
Explication
Les 20 sujets ont un âge moyen de 35,7 ans, une variance de 216,31 et un écart-type de 14,7 ; la médiane est 35 et le premier quartile 25. Pour les 22 consommateurs, la moyenne d’attente est environ 6,07 minutes et l’écart-type environ 2,46 minutes. Les deux dernières propositions intervertissent des statistiques.
69. Quelles sont les réponses exactes au sujet des moyennes, variances et écarts-types calculés dans ces exemples ?
Pour les 100 clients, l’attente moyenne est de 13,65 minutes, la variance de 46,43 et l’écart-type de 6,81 minutes.
Pour les 40 lycéens, l’écoute moyenne est de 84,5 minutes, la variance de 1 974,75 et l’écart-type de 44,44 minutes.
Pour les 40 lycéens, l’écoute moyenne est de 44,44 minutes et l’écart-type de 84,5 minutes.
Pour les 70 enfants, le score moyen est proche de 7,70 et la variance de 5,51.
Pour les 70 enfants, le score moyen est proche de 5,51, sa variance de 7,70 et son écart-type de 2,77.
Pour les 100 clients, l’attente moyenne est de 13,65 minutes, la variance de 46,43 et l’écart-type de 6,81 minutes. · Pour les 40 lycéens, l’écoute moyenne est de 84,5 minutes, la variance de 1 974,75 et l’écart-type de 44,44 minutes. · Pour les 70 enfants, le score moyen est proche de 5,51, sa variance de 7,70 et son écart-type de 2,77.
Explication
Les statistiques des lycéens sont 84,5 minutes, 1 974,75 et 44,44 minutes ; celles des enfants sont environ 5,51, 7,70 et 2,77. Pour les clients, elles valent 13,65 minutes, 46,43 et 6,81 minutes. Les distracteurs inversent ou substituent des valeurs entre moyenne, variance et écart-type.
70. Pour une série continue regroupée en classes, un analyste estime la moyenne à partir des effectifs et des centres de classe. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?
Dans l’exemple des énergies renouvelables, la classe médiane est [20;25[ et la médiane approchée vaut 22,5.
Dans l’exemple des énergies renouvelables, la classe médiane est [25;30[ et la médiane vaut 27,5.
Pour calculer la moyenne approchée, on divise la somme des centres de classe par le nombre de classes.
La moyenne approchée se calcule en pondérant chaque effectif par la borne supérieure de sa classe.
Avec des effectifs ni et des centres ci, la moyenne approchée est Xˉ=N1∑inici.
Dans l’exemple des énergies renouvelables, la classe médiane est $$[20;25[$$ et la médiane approchée vaut $$22,5$$. · Avec des effectifs $$n_i$$ et des centres $$c_i$$, la moyenne approchée est $$\bar X=\frac{1}{N}\sum_i n_i c_i$$.
Explication
La moyenne approchée pondère chaque centre de classe par son effectif, puis divise la somme par l’effectif total N. Dans l’exemple, la classe médiane est [20;25[, dont le centre est 22,5. Les bornes supérieures ne remplacent pas les centres, et la moyenne n’est pas la somme non pondérée des centres divisée par le nombre de classes.
71. Pour une série regroupée en classes, avec des centres de classe et leurs effectifs connus, quelles caractéristiques de dispersion peut-on calculer ?
L’écart-type approché correspond à la variance élevée au carré, sans extraction de racine.
La variance approchée s’obtient en retranchant le carré de la moyenne à la moyenne pondérée des carrés des centres.
Pour approcher un quartile, on repère sa classe grâce aux effectifs cumulés puis on prend son centre.
La classe contenant un quartile se repère avec les effectifs simples, puis sa borne supérieure donne l’approximation.
La moyenne pondérée des carrés des centres utilise les effectifs de chaque classe et leur total.
La variance approchée s’obtient en retranchant le carré de la moyenne à la moyenne pondérée des carrés des centres. · Pour approcher un quartile, on repère sa classe grâce aux effectifs cumulés puis on prend son centre. · La moyenne pondérée des carrés des centres utilise les effectifs de chaque classe et leur total.
Explication
La variance approchée est la moyenne pondérée des carrés des centres diminuée du carré de la moyenne, et l’écart-type est sa racine carrée. Pour un quartile, on repère le rang dans les effectifs cumulés et on retient le centre de la classe correspondante.
72. Dans une case d’un tableau croisé, l’effectif observé est 14 et l’effectif théorique est 10 ; quelles affirmations concernant le khi-deux sont exactes ?
Le khi-deux du tableau s’obtient en additionnant les contributions calculées pour chacune des cases.
Le khi-deux du tableau correspond à la moyenne des contributions calculées pour toutes les cases.
Le numérateur de la contribution est le carré de l’écart entre effectif observé et effectif théorique.
La contribution de cette case au khi-deux vaut 1014−10=0,4.
La contribution de cette case au khi-deux vaut 10(14−10)2=1,6.
Le khi-deux du tableau s’obtient en additionnant les contributions calculées pour chacune des cases. · Le numérateur de la contribution est le carré de l’écart entre effectif observé et effectif théorique. · La contribution de cette case au khi-deux vaut $$\frac{(14-10)^2}{10}=1,6$$.
Explication
La contribution vaut 10(14−10)2=1016=1,6 : l’écart est élevé au carré puis rapporté à l’effectif théorique. Le khi-deux est la somme des contributions, et non leur moyenne.
73. Pour étudier deux variables qualitatives, un analyste dispose de leurs effectifs croisés et de leurs marges. Quelle démarche permet d’évaluer l’intensité de leur liaison ?
Les nombres p et q correspondent aux nombres de modalités des deux variables qualitatives.
Il calcule les effectifs théoriques à partir des marges, puis les contributions et le khi-deux.
La valeur de phi permet d’apprécier l’intensité de la liaison après le calcul du khi-deux.
Dans le calcul de phi, N désigne le nombre de modalités de la variable ayant le plus de modalités.
Il calcule ensuite phi avec ϕ=N[min(p,q)−1]χ2, où N est la taille de la population.
Les nombres $$p$$ et $$q$$ correspondent aux nombres de modalités des deux variables qualitatives. · Il calcule les effectifs théoriques à partir des marges, puis les contributions et le khi-deux. · La valeur de phi permet d’apprécier l’intensité de la liaison après le calcul du khi-deux. · Il calcule ensuite phi avec $$\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N[\min(p,q)-1]}}$$, où $$N$$ est la taille de la population.
Explication
La démarche passe des effectifs théoriques aux contributions, puis au khi-deux et à phi. Dans sa formule, N est la taille de la population, tandis que p et q sont les nombres de modalités des deux variables.
74. Concernant les exemples de liaison entre variables qualitatives, quelles propositions sont exactes ?
Pour les catégories socioprofessionnelles et la fréquence de lecture, le khi-deux vaut 11,66.
Pour le taux de fécondité et le continent, le khi-deux est d’environ 133,28.
Pour le taux de fécondité et le continent, la liaison est qualifiée de faible à modérée.
Pour les catégories socioprofessionnelles et la fréquence de lecture, le coefficient phi vaut environ 0,56.
La liaison entre catégories socioprofessionnelles et fréquence de lecture est qualifiée de faible à modérée.
Pour les catégories socioprofessionnelles et la fréquence de lecture, le khi-deux vaut 11,66. · Pour le taux de fécondité et le continent, le khi-deux est d’environ 133,28. · La liaison entre catégories socioprofessionnelles et fréquence de lecture est qualifiée de faible à modérée.
Explication
L’exemple sur les catégories socioprofessionnelles et la lecture donne un khi-deux de 11,66 et une liaison faible à modérée, avec phi égal à 0,22. Pour le taux de fécondité et le continent, le khi-deux est d’environ 133,28 et phi d’environ 0,56, ce qui correspond à une liaison assez forte.
75. Un histogramme présente des classes et leurs effectifs ; quelle description du polygone des effectifs est exacte ?
Il relie les milieux des classes aux fréquences cumulées correspondantes.
Il relie les bornes inférieures des classes aux amplitudes correspondantes.
Il relie les centres des classes aux fréquences relatives correspondantes.
Il relie les centres des classes aux valeurs d’effectifs correspondantes.
Il relie les bornes supérieures des classes aux effectifs cumulés correspondants.
Il relie les centres des classes aux valeurs d’effectifs correspondantes.
Explication
Le polygone des effectifs joint les centres des classes aux effectifs correspondants et peut être ajouté à l’histogramme. Les autres descriptions substituent aux centres, aux effectifs ou aux deux des bornes, des fréquences ou des amplitudes.
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Que fait la statistique descriptive des données recueillies ?
Elle les met en forme et les résume à l’aide de valeurs caractéristiques.
Quels outils la statistique descriptive utilise-t-elle pour mettre en forme les données ?
Des tableaux et des graphiques.
Quelles valeurs caractéristiques résument les données en statistique descriptive ?