Fiche de révision : Statistique descriptive et représentations

📋 Plan du Cours

1. Objectifs de la statistique descriptive
2. Population et échantillon
3. Variables et données statistiques
4. Variables quantitatives et qualitatives nominales
5. Effectifs et fréquences
6. Cumul et regroupement en classes
7. Graphiques des variables quantitatives
8. Diagrammes des variables qualitatives
9. Le mode et les répartitions modales
10. Médiane des séries et des classes
11. Quartiles, déciles et centiles
12. Boîtes à moustaches, dispersion et moyenne
13. Moyenne et médiane
14. Dispersion, variance, écart-type et valeurs réduites
15. Comparaison des groupes et distributions conditionnelles
16. Graphiques, effectifs théoriques et test du khi-deux
17. Coefficient phi et intensité du lien
18. Population et types de variables
19. Indices statistiques univariés
20. Analyse de deux variables et mesure de liaison
21. Tableaux de données, effectifs, mode et étendue
22. Effectifs cumulés, quantiles, moyenne et dispersion
23. Séries regroupées et comparaisons
24. Lecture des fréquences conditionnelles
25. Indépendance, distributions conditionnelles et intensité du lien
26. Indicateurs et représentations statistiques
27. Population, individus, variables, effectifs et fréquences
28. Médiane et quartiles
29. Histogrammes et dispersion
30. Comparaison de prix par valeurs réduites
31. Moyennes pondérées de groupes
32. Histogrammes et séries regroupées en classes
33. Distributions conjointes, indépendance et intensité du lien
34. Lien entre variables qualitatives
35. Exemples de statistiques descriptives
36. Médiane, moyenne et dispersion des séries groupées
37. Analyse des tableaux croisés

📖 1. Objectifs de la statistique descriptive

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique descriptive : Met en forme les données recueillies, notamment par des tableaux et des graphiques, puis les résume à l’aide de valeurs caractéristiques comme la moyenne, la médiane ou l’écart-type.

📖 2. Population et échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble concerné par l’étude statistique, qui peut être composé de personnes, d’objets, de situations ou de pays, et se note souvent Ω.
• Individu : Élément de la population étudiée et se note parfois ω.
• Échantillon : Partie de la population étudiée lorsque l’étude exhaustive est trop coûteuse ou manque de temps.

📝 Points essentiels

• Le numéro attribué à un individu dans un tableau sert de codage et n’a pas de valeur numérique.

• Le nombre d’individus de l’échantillon est sa taille, notée N.

• La statistique inférentielle permet d’étudier si les résultats obtenus sur un échantillon peuvent être étendus à la population entière.

💡 Astuce mémo

Population entière vs échantillon prélevé

📖 3. Variables et données statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable : Renseignement ou question qui associe à chaque individu une réponse et une seule, parmi des réponses possibles exprimables.
• Modalité : Réponses possibles d’une variable, c’est-à-dire les valeurs qu’elle peut prendre.
• Donnée : Couple formé d’un individu et de la modalité qui lui est associée.
• Série statistique : Ensemble des données recueillies pour une variable.

★ À maîtriser

📌 Une modalité est une valeur possible d’une variable, tandis qu’une donnée est une valeur effectivement observée pour un individu.

Compléments

• Le nombre de modalités k d’une variable est généralement inférieur au nombre d’observations N.

• Le tableau des données comprend généralement une ligne par individu, une colonne identifiant les individus et une colonne par variable étudiée.

• Le tableau des données brutes peut être nettoyé en corrigeant les erreurs de saisie et en supprimant les lignes comportant des valeurs manquantes dues à une non-réponse ou à l’impossibilité d’effectuer une mesure.

📖 4. Variables quantitatives et qualitatives nominales

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable quantitative : Variable dont les modalités numériques résultent d’une mesure ou d’un comptage.
• Variable qualitative ordinale : Variable non quantitative dont les modalités sont naturellement ordonnées.
• Variable qualitative ordinale : N’est pas quantitative et ses modalités possèdent un ordre naturel.
• Variable qualitative nominale : N’est ni quantitative ni ordinale ; ses modalités sont simplement désignées par leur nom, sans propriété particulière.

★ À maîtriser

📌 Un rang est ordinal parce qu’il classe les individus, mais les écarts entre rangs successifs ne sont pas nécessairement égaux.

📌 Les nombres qui codent les modalités d’une variable qualitative servent à faciliter son traitement et n’ont pas de valeur numérique, de sorte que leur addition n’a pas de sens.

Compléments

• Le nombre d’enfants est un exemple de variable quantitative discrète, tandis que la taille et l’âge sont des exemples de variables quantitatives continues.

• La distinction entre variable quantitative discrète et continue est théorique, car toute mesure est soumise à une imprécision, même si le phénomène mesuré peut être continu.

• Le début du numéro d’INSEE codé par 1 pour un homme et 2 pour une femme n’est pas une variable quantitative, car ces nombres ne mesurent rien.

• Le diplôme le plus élevé et le goût pour la lecture sont des variables qualitatives ordinales, car leurs modalités sont naturellement ordonnées.

• Pour une variable ordinale, les modalités forment une échelle ordinale et leurs écarts ne sont pas nécessairement égaux.

• La variable « Taille » codée par les modalités « petit », « moyen » et « grand » est ordinale, car ces modalités ont un ordre naturel.

📌 Le numéro d’un département est un codage lié à l’ordre alphabétique de son nom et ne constitue donc pas une variable ordinale.

• Le sexe et la spécialité scolaire sont des exemples de variables qualitatives nominales.

• Les modalités ordinales de l’avis majoritaire sur une Europe à 28 sont :

  • très favorable
  • plutôt favorable
  • plutôt défavorable
  • très défavorable

• Les modalités d’une variable nominale forment une échelle nominale.

💡 Astuce mémo

Mesurer ou compter pour le quantitatif ; ordonner sans mesurer pour l’ordinal

📖 5. Effectifs et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif d’une modalité : Le nombre d’individus qui possèdent cette modalité.

★ À maîtriser

📌 Un tableau d’effectifs comporte une ligne par modalité et est plus lisible qu’un tableau de données, mais il fait perdre des informations individuelles.

📐 Formule - La fréquence de la modalité $x_i$ est $f_i = \frac{n_i}{N}$, où $n_i$ est son effectif et $N$ la taille de la population.

📌 Avant une étude statistique, il faut définir la population, la variable étudiée et ses modalités, car les traitements dépendent du type de variable.

Compléments

• Dans un tableau d’effectifs, les modalités sont notées $x_i$ et l’effectif de la modalité $x_i$ est noté $n_i$.

• Pour une variable, la somme des effectifs vaut $N$ et la somme des fréquences vaut 1.

• Si une modalité a un effectif de 5 dans une population de 20 individus, sa fréquence est 0,25, soit 25 %.

📖 6. Cumul et regroupement en classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif cumulé : L’effectif cumulé de la modalité i est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales.
• Fréquence cumulée : La fréquence cumulée de la modalité i est la somme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales.
• Regroupement en classes : Consiste à réunir de façon cohérente plusieurs modalités, notamment lorsque la variable quantitative en possède beaucoup.
• Amplitude d’une classe : La longueur de l’intervalle qui la représente.

★ À maîtriser

📌 Les classes d’un regroupement doivent être deux à deux disjointes et leur réunion doit couvrir l’ensemble des modalités.

Compléments

• Le dernier effectif cumulé est égal à la taille de la population et la dernière fréquence cumulée est égale à 100 %.

• Les classes n’ont pas nécessairement la même amplitude et, pour les calculs ultérieurs, chaque classe est représentée par son centre.

• Dans un intervalle, un crochet tourné vers l’intérieur inclut la borne correspondante, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut.

• Un tableau regroupé en classes présente des intervalles, mais les modalités de la variable restent des nombres et ne deviennent pas des intervalles.

• Le centre de la classe ]10 ; 20] est 15.

📖 7. Graphiques des variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Représente les effectifs ou les fréquences des modalités d’une variable quantitative discrète par des traits verticaux dont la hauteur correspond à la valeur représentée.
• Histogramme : Représente les effectifs ou les fréquences d’une variable quantitative continue par des rectangles associés aux classes, dont la hauteur correspond à la valeur représentée.
• Polygone des effectifs : La ligne brisée qui joint les centres des classes aux valeurs d’effectifs correspondantes ; il est parfois ajouté à l’histogramme.

★ À maîtriser

📌 Pour représenter des classes d’amplitudes différentes par un histogramme, on place sur l’axe vertical les densités d’effectifs ou de fréquences plutôt que les effectifs ou les fréquences bruts.

📐 Formule - Pour une classe i d’amplitude $a_i=b_{i+1}-b_i$, la densité d’effectifs est $d_i=\frac{n_i}{a_i}$ et la densité de fréquences est $\frac{f_i}{a_i}$.

• Pour les classes d’amplitudes différentes, on calcule l’effectif cumulé à chaque borne supérieure, puis on représente ces valeurs par des points reliés pour former le polygone cumulatif.

Compléments

• Pour tracer un diagramme en bâtons, on place les modalités sur l’axe horizontal et les effectifs ou les fréquences sur l’axe vertical, puis on trace à chaque modalité un bâton de hauteur correspondante.

• Les diagrammes en bâtons des effectifs et des fréquences d’une même variable ne diffèrent que par l’échelle verticale, les fréquences s’obtenant en divisant les effectifs par $N$.

• Dans un histogramme, les bornes des classes sont placées sur l’axe horizontal en respectant l’échelle choisie, et les effectifs ou fréquences sont portés sur l’axe vertical.

• Pour des classes de même amplitude, les effectifs ou les fréquences cumulés peuvent être représentés par des histogrammes cumulatifs et un polygone cumulatif.

📌 Lorsque les classes ont des amplitudes différentes, des rectangles de même hauteur peuvent donner une interprétation fausse des effectifs représentés.

• Diviser l’effectif d’une classe par son amplitude revient à supposer que les individus sont uniformément répartis dans cette classe.

• Le choix de la position et de l’amplitude des classes peut modifier fortement l’allure d’un histogramme.

💡 Astuce mémo

Amplitudes inégales → effectifs bruts trompeurs

📖 8. Diagrammes des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en secteurs : Représente les modalités d’une variable qualitative par des secteurs d’un disque ou d’un demi-disque dont l’angle, ou l’aire, est proportionnel à l’effectif ou à la fréquence.
• Diagramme unicolonne : Représente les modalités par des sous-rectangles dont les aires sont proportionnelles à leurs effectifs ou à leurs fréquences.

★ À maîtriser

• Un diagramme en colonnes représente chaque modalité qualitative par un rectangle dont la hauteur correspond à son effectif ou à sa fréquence, sur un axe horizontal sans échelle numérique.

Compléments

• Dans un diagramme en colonnes, les rectangles ont généralement la même largeur, mais leur largeur n’a pas de signification liée aux modalités.

• Pour un diagramme en secteurs circulaire, l’angle d’une modalité est égal à sa fréquence multipliée par $360^\circ$.

📌 Pour calculer les angles d’un diagramme en secteurs, on utilise les fréquences exactes plutôt que leurs valeurs arrondies afin d’éviter le cumul des erreurs d’arrondi.

📖 9. Le mode et les répartitions modales

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : La modalité la plus représentée dans l’échantillon.
• Mode local : Pour une variable ordinale ou quantitative à modalités ordonnées, une modalité dont l’effectif dépasse celui de la modalité qui la précède et de celle qui la suit.
• Répartition multimodale : Une répartition est multimodale lorsque deux modalités ou plus présentent des maxima locaux; elle est bimodale lorsque deux modalités en présentent.
• Répartition uniforme : Lorsque toutes les modalités émergent également et qu’elle ne possède aucun mode pertinent.

★ À maîtriser

📌 Le mode global correspond au maximum global des effectifs, tandis que les modes locaux correspondent aux maxima locaux parmi les modalités ordonnées.

Compléments

📌 Pour une variable quantitative continue regroupée en classes de même amplitude, la classe modale est celle dont l’effectif est maximal et le mode conventionnel est le centre de cette classe.

📌 Pour une variable quantitative continue regroupée en classes d’amplitudes différentes, la classe modale est celle dont la densité est maximale et le mode est le centre de cette classe.

• Dans l’exemple des heures de pointe au restaurant, les modes sont 12 h 30 et 19 h 30, chacun ayant un effectif maximal de 18.

💡 Astuce mémo

Mode global : plus grand effectif ; mode local : pic parmi les modalités voisines

📖 10. Médiane des séries et des classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Pour une variable ordinale ou quantitative, la donnée dont le rang se situe immédiatement après $\frac{N}{2}$ dans la liste des données écrites par ordre croissant.

★ À maîtriser

• La médiane partage les observations ordonnées de sorte qu’environ la moitié des données est inférieure ou égale à celle-ci et l’autre moitié lui est supérieure ou égale.

• Pour déterminer la médiane d’une variable ordinale, discrète ou continue sans regroupement en classes, on calcule les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées, puis on repère la valeur correspondant au premier cumul supérieur ou égal à N/2 ou à 50 %.

• Pour une variable continue regroupée en classes, la classe médiane est celle dont l’effectif cumulé est immédiatement supérieur à N/2 ; une valeur approchée de la médiane est le centre de cette classe.

📐 Formule - Pour une classe médiane d’intervalles [x₁ ; x₂], la valeur approchée de la médiane est $\mathrm{Méd}=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}$.

Compléments

• Pour 12 âges ordonnés, la règle retenue choisit la 7e donnée comme médiane; dans l’exemple présenté, elle vaut 18 ans.

📌 Lorsque N est pair et que la variable est quantitative, certains auteurs prennent la moyenne des deux données centrales, mais cette convention n’est pas celle retenue ici car elle ne s’applique pas généralement aux variables ordinales.

• Pour 61 personnes, la médiane est la 31e donnée ordonnée ; dans le tableau d’effectifs de l’exemple, les effectifs cumulés passent de 25 pour la modalité 13 à 35 pour la modalité 14, donc la médiane vaut 14 ans.

📌 Pour déterminer une médiane, on peut utiliser les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées, mais il est inutile de calculer les deux.

• Pour une variable de taille N = 20 dont les effectifs cumulés sont 6, 13, 18 et 20, la médiane est la modalité 1, car 13 est le premier effectif cumulé supérieur à N/2 = 10.

• Pour la variable frontière F observée dans 28 pays, le premier effectif cumulé supérieur à N/2 = 14 est 16, correspondant à la modalité 3 ; la médiane vaut donc 3.

• Pour le PNB par habitant regroupé en classes d’amplitude 10, la classe médiane est ]10 ; 20] et la médiane approchée vaut 15.

📌 Le regroupement par classes rend les données plus lisibles mais fait perdre les valeurs observées à l’intérieur des classes, de sorte que la médiane calculée à partir des classes est approchée plutôt qu’exacte.

📌 La méthode de médiane par centre de classe suppose que les données sont uniformément réparties à l’intérieur de chaque classe.

• Pour des classes d’amplitudes différentes, on calcule les effectifs cumulés aux bornes supérieures des classes, puis on relie ces points pour obtenir le polygone cumulatif et lire graphiquement une valeur approchée de la médiane.

📖 11. Quartiles, déciles et centiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Quartiles : Les quartiles sont les valeurs qui partagent une liste ordonnée en quatre parts : Q1 est la donnée de rang immédiatement après N/4, Q2 celle de rang immédiatement après N/2 et Q3 celle de rang immédiatement après 3N/4.
• Écart interquartile : L’écart interquartile est la différence Q3 − Q1 et constitue un indice de dispersion des données.
• Déciles : Les déciles partagent la liste ordonnée en dix parts : Di est la donnée de rang immédiatement après iN/10, D5 est la médiane et environ 80 % des données se trouvent entre D1 et D9.
• Centiles : Les centiles partagent la liste ordonnée en 100 parts et comprennent les 99 valeurs C1 à C99, où Ci est la donnée de rang immédiatement après iN/100.

★ À maîtriser

📌 Q2 est la médiane ; Q1 correspond à 25 % des individus au-dessous de sa valeur et Q3 à 75 % des individus au-dessous de sa valeur.

Compléments

• Environ 50 % des données se situent entre Q1 et Q3.

• Le terme quantile désigne de façon générale la médiane, les quartiles, les déciles et les centiles.

📖 12. Boîtes à moustaches, dispersion et moyenne

🔑 Notions clés & Définitions

• Boîte à moustaches : Une boîte à moustaches représente les trois quartiles Q1, Q2 égal à la médiane et Q3, ainsi que les extrema xmin et xmax.
• Moyenne : La moyenne d’une variable quantitative est la somme de ses valeurs divisée par la taille N de la population.
• Écart interdécile : L’écart interdécile est la différence D9 − D1 et mesure l’étalement des données entre le premier et le neuvième décile.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour k modalités xi d’effectifs ni, la moyenne est $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_i x_i$, avec $N=\sum_{i=1}^{k}n_i$.

Compléments

• L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observées et, comme l’écart interquartile, indique l’étalement des données.

• Pour construire une boîte à moustaches sur un segment gradué de xmin à xmax, on trace un rectangle de Q1 à Q3, puis une ligne au niveau de la médiane.

• Pour la variable frontière F, Q1 = 2, Q3 = 5, l’écart interquartile vaut 3 et l’étendue vaut 8.

• La moyenne est la valeur qui, si elle était attribuée à chaque individu, donnerait le même total que les valeurs observées.

📐 Formule - La somme des écarts algébriques des valeurs à leur moyenne est nulle : $\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\bar{x})=0$.

📌 Pour calculer une moyenne après regroupement en classes, on remplace chaque valeur xi par le centre ci de sa classe et on calcule $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_i c_i$.

• La classe [4 ; 9[ a une amplitude de 5 et un centre égal à 6,5.

📖 13. Moyenne et médiane

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une série de N données, la moyenne s’écrit $\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_i}{N}$.

📐 Formule - Pour une variable quantitative sans regroupement en classes, la moyenne s’écrit $\overline{X}=\sum_{j=1}^{k}f_jx_j$, où $f_j=\frac{n_j}{N}$.

📌 La moyenne et la médiane résument toutes deux la position centrale d’une série, mais la moyenne ne s’applique qu’aux variables quantitatives tandis que la médiane s’applique aussi aux variables ordinales.

• La médiane est plus robuste que la moyenne face aux observations aberrantes, car une valeur exceptionnelle peut fortement modifier la moyenne sans perturber la médiane.

Compléments

• Remplacer chaque valeur d’une classe par son centre revient à supposer que tous les individus de cette classe ont pour modalité ce centre.

📐 Formule - Pour une variable quantitative regroupée en classes, la moyenne s’écrit $\overline{X}=\sum_{j=1}^{k}f_jc_j$, où $c_j$ est le centre de la classe et $f_j=\frac{n_j}{N}$.

• Pour les notes 14, 15 et 16, la moyenne et la médiane valent toutes deux 15 ; en ajoutant une note de 0, la moyenne devient 11,25 tandis que la médiane reste 15.

💡 Astuce mémo

La moyenne est calculable sur les seules variables quantitatives ; la médiane s’étend aux variables ordinales.

📖 14. Dispersion, variance, écart-type et valeurs réduites

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale observées dans la série.
• Variance : La moyenne des carrés des écarts entre ses données et leur moyenne.
• Écart-type : La racine carrée de sa variance et se note $\sigma(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.
• Intervalle interquartile : L’intervalle délimité par le premier et le troisième quartile, qui contient 50 % de la population.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable quantitative prenant les modalités $x_i$ avec effectifs $n_i$ sur un total de $N$ données, la variance s’écrit $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_i(x_i-\overline{X})^2$.

📐 Formule - La formule simplifiée de la variance est $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}n_ix_i^2-\overline{X}^{2}$.

• Contrairement à la variance, l’écart-type s’exprime dans l’unité de la variable et représente globalement l’écart des données à leur moyenne.

📐 Formule - La variable centrée réduite associée à une variable quantitative $X$ est $Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma(X)}$.

• Pour un étudiant ayant obtenu 11 au premier examen (moyenne 13, écart-type 1,6) et 9 au second (moyenne 10,5, écart-type 2,4), les notes centrées réduites sont respectivement −1,25 et −0,625 ; il se situe donc mieux par rapport au groupe au second examen.

Compléments

• L’étendue ne tient compte que des deux valeurs extrêmes et ne décrit pas la répartition des observations entre elles ; des valeurs extraordinaires peuvent donc la rendre peu représentative.

📌 Pour calculer la variance, il faut utiliser la valeur exacte de la moyenne, car son arrondi peut entraîner une erreur importante ou même un résultat négatif apparent.

📌 Dans la formule simplifiée de la variance, seules les modalités sont élevées au carré, et il faut ensuite soustraire le carré de la moyenne.

📐 Formule - Pour une variable quantitative sans regroupement en classes, la variance s’écrit aussi $\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{k}f_i x_i^2-\overline{X}^{2}$.

📐 Formule - Avec un regroupement en classes, la variance se calcule en remplaçant les modalités par les centres de classe : $\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{k}f_i c_i^2-\overline{X}^{2}$.

• Dans l’exemple des deux groupes d’enfants, les groupes A et B ont la même moyenne de 10 et la même étendue de 12, mais leurs variances sont respectivement 8,44 et 21,56, ce qui indique une dispersion plus forte dans le groupe B.

• Pour certaines variables comme le QI, la taille ou le poids dans des populations suffisamment grandes et assez régulières, environ 95 % des observations se trouvent entre la moyenne moins deux écarts-types et la moyenne plus deux écarts-types.

💡 Astuce mémo

Les écarts positifs et négatifs se neutralisent ; leur mise au carré les rend positifs.

📖 15. Comparaison des groupes et distributions conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable couple : Le couple (X, Y) est une variable définie sur la population Ω dont les modalités sont les couples (x, y), où x est une modalité de X et y une modalité de Y.
• Effectif conjoint : L’effectif conjoint des modalités xᵢ et yⱼ est le nombre d’individus ayant simultanément ces deux modalités ; il se note nᵢⱼ.

• Distribution conjointe : Distribution qui donne les effectifs ou les fréquences associés à chaque couple de modalités.
• Distribution conditionnelle : Distribution qui décrit la répartition des modalités d’une variable pour une modalité donnée de l’autre variable.
• Fréquence conditionnelle : La fréquence de xᵢ conditionnellement à yⱼ est la proportion d’individus ayant la modalité xᵢ parmi ceux ayant la modalité yⱼ.
• Distribution marginale : Distribution qui donne la répartition des modalités d’une variable sans distinguer celles de l’autre variable.

★ À maîtriser

• Les indicateurs complémentaires sont :
  • le mode
  • la médiane
  • la moyenne
  • l’étendue
  • l’écart interquartile
  • la variance
  • l’écart-type

📌 Une moyenne ou un écart-type ne s’interprète pas dans l’absolu : il faut tenir compte du contexte et comparer les populations ou leur évolution dans le temps.

• Le rapport entre la variance intergroupe et la variance totale est compris entre 0 et 1 ; proche de 1, il indique un lien fort, et proche de 0, un lien faible.

• Les distributions marginales des effectifs s’obtiennent en sommant les lignes pour X et les colonnes pour Y ; ces sommes sont notées Lᵢ et Cⱼ.

📐 Formule - La fréquence conjointe est la proportion d’individus ayant simultanément les modalités xᵢ et yⱼ : $f_{ij}=\frac{n_{ij}}{N}$.

📌 Une fréquence conjointe rapporte un effectif de couple de modalités à l’effectif total, tandis qu’une fréquence conditionnelle rapporte cet effectif au total de la modalité sur laquelle on conditionne.

Compléments

• Pour les 28 pays répartis en trois groupes, les moyennes du PNB par habitant sont de 2 385 pour les membres de l’UE, 5 312 pour les pays en passe d’adhérer et 1 853 pour la Turquie, la Bulgarie et la Roumanie.

• La variance totale du PNB par habitant des 28 pays est 137 088 622, supérieure à la variance de 73 110 246 observée dans l’UE seule.

• Pour le PNB par habitant et l’appartenance à l’UE répartie en trois modalités, la variance intergroupe est 94 016 853 et le rapport à la variance totale vaut 0,69, ce qui indique un lien fort.

• Le tableau des effectifs conjoints est aussi appelé table de contingence, tableau croisé ou distribution conjointe des effectifs.

💡 Astuce mémo

Une table croisée : les cases au centre, les sommes des lignes et colonnes sur les marges.

📖 16. Graphiques, effectifs théoriques et test du khi-deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif théorique : Un effectif théorique est l’effectif conjoint que l’on obtiendrait si les variables étaient indépendantes, avec les mêmes marges que le tableau observé.

★ À maîtriser

• Pour représenter X conditionnellement à Y, on trace un rectangle de hauteur 100 pour chaque modalité de Y, puis on le partage proportionnellement aux modalités de X.

📌 Si la répartition de X est identique pour toutes les modalités de Y, Y n’a pas d’influence sur X et les variables ne présentent pas de lien selon cette analyse graphique.

• Dans l’exemple, les histogrammes des distributions conditionnelles conduisent à conclure qu’il semble exister un lien fort entre le goût pour la lecture et la spécialité scolaire.

📐 Formule - L’effectif théorique de la case située à la ligne i et à la colonne j est $T_{ij}=\frac{L_i C_j}{N}$, où $L_i$ est la marge de la ligne, $C_j$ celle de la colonne et $N$ l’effectif total.

• 🔄 Le calcul du chi-deux d’indépendance suit quatre étapes :
  1. Calculer les écarts entre effectifs observés et théoriques.
  2. Élever chaque écart au carré.
  3. Diviser chaque carré par l’effectif théorique correspondant.
  4. Additionner les contributions de toutes les cases.

📐 Formule - Le chi-deux d’indépendance est la somme des contributions de toutes les cases : $\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$.

📌 Un chi-deux nul indique l’indépendance, tandis qu’un chi-deux non nul indique que les variables sont liées ; sa seule valeur ne permet pas encore de juger l’importance du lien.

Compléments

• Pour les variables goût pour la lecture et spécialité scolaire, les distributions de la spécialité conditionnellement au goût sont : goût fort, 83,33 % en L, 8,33 % en ES et 8,33 % en S ; goût moyen, 100 % en ES ; goût faible, 100 % en S.

📌 Une seule des deux distributions conditionnelles suffit pour mettre en évidence un lien entre deux variables, car les deux représentations conduisent à la même conclusion.

📌 Des boîtes à moustaches peuvent comparer les sous-populations pour mettre en évidence un lien si les échantillons sont grands et si la variable étudiée est quantitative.

• Dans l’exemple, la distribution de X conditionnellement à Y donne, pour les séries L, ES et S, respectivement 100 %, 20 % et 20 % d’individus lisant beaucoup, 0 %, 80 % et 0 % lisant moyennement, et 0 %, 0 % et 80 % lisant peu.

• Dans l’exemple, l’effectif théorique de la case Moyen-S vaut $T_{23}=\frac{4\times5}{20}=1$.

• Les effectifs théoriques ne doivent pas être arrondis en nombres entiers ; il faut conserver au moins deux chiffres après la virgule afin de limiter les erreurs d’arrondi cumulées.

📌 Les effectifs conjoints observés sont notés $O_{ij}$, tandis que les effectifs théoriques sous indépendance sont notés $T_{ij}$.

• Le chi-deux est nul si et seulement si chaque effectif observé est égal à l’effectif théorique correspondant.

💡 Astuce mémo

Écart, carré, division par l’effectif théorique, puis somme.

📖 17. Coefficient phi et intensité du lien

🔑 Notions clés & Définitions

• Dépendance totale : La dépendance totale signifie que connaître la modalité d’une variable permet de déduire sans erreur la modalité de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient phi mesure l’importance du lien par rapport au chi-deux maximal : $\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N\,[\min(p,q)-1]}}$.

• Le coefficient phi varie de 0 pour l’indépendance à 1 pour la dépendance totale.

• Selon la convention présentée, le lien est faible si phi est inférieur à 0,3, moyen si phi est compris entre 0,3 et 0,5, et fort si phi est supérieur à 0,5.

📌 Une enquête exhaustive porte sur tous les sujets concernés et constitue un recensement, tandis qu’une enquête partielle porte sur une partie des sujets et constitue un sondage.

• 🔄 Les étapes d’une étude statistique sont :
  1. Le recueil des données
  2. Le dépouillement des données
  3. Le traitement des données
  4. L’interprétation des résultats

📌 La statistique descriptive représente graphiquement les données et les résume par des caractéristiques numériques, tandis que la statistique inductive ou inférentielle extrapole à partir d’un échantillon à l’aide d’un modèle mathématique et du calcul des probabilités.

Compléments

• Le chi-deux vérifie $0\leq\chi^2\leq N\,[\min(p,q)-1]$, où p et q sont les nombres de modalités de X et Y, et N la taille de la population.

• Dans l’exemple, p=q=3, N=20 et $\chi^2=29{,}33$ donnent $\phi=\sqrt{\frac{29{,}33}{40}}=0{,}86$, ce qui correspond à un lien fort entre le goût pour la lecture et la spécialité scolaire.

• La théorie des sondages étudie la manière de choisir les sujets sur lesquels porte une étude statistique.

• Le dépouillement rassemble les données et les organise, notamment en les classant ou en les codant.

• Le coefficient de corrélation linéaire sert à étudier un lien linéaire entre deux variables quantitatives, et une droite de régression linéaire peut ensuite approximer les données et permettre des prédictions.

💡 Astuce mémo

Phi proche de 0 : indépendance ; phi proche de 1 : dépendance totale.

📖 18. Population et types de variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble des individus étudiés, de taille totale N.
• Échantillon : Une partie de la population étudiée.
• Variable : Une variable est un renseignement recueilli sur les individus d’une population et peut être qualitative ou quantitative.
• Effectif : Nombre d’individus ayant la modalité xi.
• Fréquence : Effectif ni d’une modalité xi divisé par la taille totale N de la population.

📝 Points essentiels

📌 Une variable qualitative nominale possède des modalités catégorielles sans ordre hiérarchique, tandis qu’une variable qualitative ordinale possède des modalités ayant un ordre naturel.

📌 Une variable quantitative discrète prend des valeurs issues d’un comptage, tandis qu’une variable quantitative continue prend des valeurs issues de la mesure d’une grandeur physique.

💡 Astuce mémo

Nominal : catégories sans ordre ; ordinal : catégories ordonnées

📖 19. Indices statistiques univariés

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Modalité ayant le plus grand effectif et, par conséquent, la plus grande fréquence.
• Médiane : Pour une variable ordinale ou quantitative discrète, modalité dont l’effectif cumulé dépasse immédiatement N/2.

📝 Points essentiels

• Pour une variable quantitative continue regroupée en classes, la médiane est approchée par le centre de la classe médiane, dont l’effectif cumulé dépasse immédiatement N/2.

• Le premier et le troisième quartiles se déterminent en comparant les effectifs cumulés respectivement à N/4 et à 3N/4.

📐 Formule - Pour des valeurs xi d’effectifs ni, la moyenne vérifie $\bar X=\frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N}$.

• L’étendue est la différence entre la valeur maximale observée et la valeur minimale observée, tandis que l’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile.

📐 Formule - La variance d’une variable quantitative vérifie $\operatorname{Var}(X)=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_i x_i^2}{N}-\bar X^2$.

📌 La moyenne s’applique aux variables quantitatives, mais pas aux variables qualitatives nominales ou ordinales.

📖 20. Analyse de deux variables et mesure de liaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution conjointe : La distribution conjointe de deux variables est donnée par les effectifs nij associés aux modalités (xi, yj), ou par les fréquences conjointes fij = nij/N.
• Effectifs marginaux : Les effectifs marginaux sont les sommes des lignes et des colonnes d’une table de contingence et donnent les effectifs propres à chacune des deux variables.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’indépendance, l’effectif théorique de la case (i,j) est $T_{ij}=\frac{L_i C_j}{N}$, où Li et Cj sont les effectifs marginaux de la ligne et de la colonne.

📐 Formule - Le coefficient de liaison est $\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$, où Oij est l’effectif observé et Tij l’effectif théorique sous indépendance.

📌 Une valeur de χ² proche de zéro indique une indépendance, tandis qu’une valeur significativement différente de zéro indique que les variables sont liées.

Compléments

📌 Les fréquences d’une même ligne conditionnelle ne doivent pas être additionnées, car chaque fréquence peut avoir pour dénominateur une partie différente de la population.

📐 Formule - Le coefficient ϕ mesure l’importance du lien et vérifie $\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N[\min(p,q)-1]}}$.

• La convention classe le lien comme faible si ϕ < 0,3, moyen si ϕ est compris entre 0,3 et 0,5, et fort si ϕ > 0,5.

• Le coefficient ϕ est compris entre 0 et 1, avec 0 pour l’indépendance et 1 pour la dépendance totale.

💡 Astuce mémo

Écart aux effectifs d’indépendance → mesure de la liaison

📖 21. Tableaux de données, effectifs, mode et étendue

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur observées; elle constitue un premier indice de dispersion.
• Mode : La modalité qui possède l’effectif le plus élevé.

★ À maîtriser

📌 Dans un tableau de données, les valeurs observées sont les données de chaque individu, tandis que dans un tableau d’effectifs, chaque modalité est associée à son nombre d’observations.

📌 Le mode est la modalité associée au plus grand effectif; il s’applique à toutes les variables et peut ne pas être unique.

Compléments

• La population de l’exercice 9 comprend les 15 pays de l’Union européenne dont la population est donnée pour 1995 en millions d’habitants.

• Dans la série des nombres de fautes des élèves à la dictée de l’exercice 10, les valeurs observées vont de 0 à 9 et l’échantillon compte 50 élèves.

• Dans une série de 50 notes comptant les nombres de fautes, les effectifs des modalités 0 à 9 sont respectivement 5, 4, 6, 5, 6, 3, 2, 5, 10 et 4 ; le mode est 8 et les autres maxima locaux sont 0, 2 et 4.

• Pour une série de nombres de fautes allant de 0 à 9, l’étendue est égale à 9.

📖 22. Effectifs cumulés, quantiles, moyenne et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Partage une série ordonnée en deux parties contenant chacune au moins la moitié des observations.
• Écart-type : Caractérise la dispersion des valeurs d’une variable quantitative autour de leur moyenne.
• Quartiles : Délimitent les seuils sous lesquels se trouvent respectivement au moins 25 % et 75 % des observations ordonnées.

★ À maîtriser

• Pour obtenir les effectifs cumulés d’une série ordonnée, on additionne successivement les effectifs des modalités jusqu’à chaque modalité considérée.

• Pour calculer la moyenne générale de groupes de tailles et de moyennes différentes, on multiplie chaque moyenne de groupe par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total.

Compléments

• Les pourcentages cumulés de x₁ à x₈ sont :

  • 12 %
  • 32 %
  • 32 %
  • 54 %
  • 80 %
  • 90 %
  • 96 %
  • 100 %

• Une série dont l’écart-type ou la variance vaut zéro ne présente aucune dispersion autour de sa moyenne.

📖 23. Séries regroupées et comparaisons

★ À maîtriser

• Le tableau du district de Poplar répartit les usines et entreprises selon leur localité (Bow, Bromley ou Poplar) et leur nombre de salariés : dans l’ordre [100; 200[, [200; 500[, [500; 1000[ et [1000; 5000[, les effectifs de Bow sont 6, 4, 1 et 2, ceux de Bromley 3, 4, 3 et 1, et ceux de Poplar 15, 8, 2 et 1.

Compléments

• Pour une série répartie en classes, l’exercice 29 demande de construire l’histogramme en tenant compte des amplitudes des classes et des densités d’effectifs.

📌 Pour comparer des temps d’identification provenant de populations différentes, l’exercice 29 demande de situer chaque temps par rapport à la moyenne et à l’écart-type de sa population d’origine.

• Dans l’exercice 31, les 150 copies sont réparties entre trois groupes de correction : 50 copies avec une moyenne de 9, 65 avec une moyenne de 11 et 35 avec une moyenne de 13.

• Le taux d’activité est le pourcentage d’actifs par rapport à la population totale.

• L’analyse du tableau de Poplar consiste à déterminer les effectifs marginaux et la taille totale, puis à calculer des pourcentages selon la localité ou la tranche de salariés et à étudier la médiane, la moyenne et l’écart-type du nombre de salariés à partir des effectifs marginaux.

📖 24. Lecture des fréquences conditionnelles

★ À maîtriser

📌 Dans un tableau de fréquences, un pourcentage par colonne rapporte chaque effectif au total de sa colonne, tandis qu’un pourcentage par ligne le rapporte au total de sa ligne.

Compléments

• Dans l’enquête de 1963 auprès de 2000 élèves de troisième, les effectifs par sexe sont 990 garçons et 1010 filles, soit respectivement 49,5 % et 50,5 % de l’échantillon.

• Dans le tableau des choix professionnels de 1963, 75,6 % des élèves ayant choisi « Employé » sont des filles, alors que 15,3 % des filles ont choisi « Employé ».

💡 Astuce mémo

La fréquence par colonne conditionne sur la colonne ; la fréquence par ligne conditionne sur la ligne.

📖 25. Indépendance, distributions conditionnelles et intensité du lien

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif théorique : L’effectif attendu sous l’hypothèse d’indépendance des deux variables, calculé à partir des marges du tableau.
• Contribution au χ² : La contribution d’une case au χ² d’indépendance est calculée par $\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$, où $O_{ij}$ est l’effectif observé et $T_{ij}$ l’effectif théorique.

★ À maîtriser

• Dans un tableau de contingence, des distributions conditionnelles identiques d’une variable pour toutes les modalités de l’autre sont présentées comme un cas où les deux variables sont indépendantes.

• Pour étudier la distribution d’une variable selon l’autre dans une table de contingence, on calcule les fréquences conditionnelles par modalité de la variable conditionnante, on les représente graphiquement, puis on commente les différences observées pour apprécier un lien éventuel.

Compléments

• Dans un tableau d’effectifs observés, les effectifs théoriques d’indépendance servent de référence pour évaluer l’écart entre les données observées et une situation d’indépendance au moyen de χ².

• Le coefficient ϕ est utilisé dans les exercices comme mesure quantitative de l’importance du lien entre deux variables, et un lien total est associé à ϕ = 1.

• Pour comparer les traitements A et B contre l’acné, l’exercice rapporte 497 guérisons sur 710 personnes sous A et 856 guérisons sur 1070 personnes sous B.

• Dans l’étude des concours A, B et C, la comparaison des pourcentages de réussite des filles et des garçons séparément pour chaque concours est distinguée de leur comparaison après regroupement des trois concours.

• Le coefficient ϕ est utilisé pour évaluer l’intensité du lien entre deux variables dans l’étude présentée.

• Dans un tableau de contingence à deux variables, le lien maximal correspond à une répartition où les modalités d’une variable déterminent parfaitement celles de l’autre.

• L’exercice demande d’associer le lien maximal entre deux variables ayant respectivement 2 et 3 modalités à la valeur du coefficient ϕ associé au χ² d’indépendance.

💡 Astuce mémo

Des distributions conditionnelles qui varient selon les modalités indiquent un lien entre les variables.

📖 26. Indicateurs et représentations statistiques

📝 Points essentiels

• À chaque individu d’une population étudiée est associée une et une seule modalité de la variable.

• Les diagrammes en bâtons représentent les effectifs ou les fréquences d’une variable qualitative ordinale, qualitative discrète ou quantitative discrète.

📖 27. Population, individus, variables, effectifs et fréquences

★ À maîtriser

📌 Pour un tableau de données sur la production d’or, les individus sont les continents et la variable est la quantité d’or produite, de type quantitatif continu ; pour un tableau d’effectifs, les individus sont les tonnes d’or et la variable est le continent de production, de type qualitatif nominal.

• La production mondiale d’or se répartit entre :
  • l’Europe : 176 tonnes
  • l’Asie : 87 tonnes
  • l’Afrique : 431 tonnes
  • l’Amérique : 350 tonnes
  • l’Océanie : 56 tonnes

Compléments

• Pour décrire les élections en Haute-Garonne, on peut étudier soit les N électeurs et leur choix parmi 78 candidats, soit les 78 candidats et leur résultat « élu » ou « non élu » ; dans ce second cas, les effectifs sont 8 élus et 70 non élus.

• Le code postal est une variable qualitative nominale lorsqu’il est observé chez les clients passant à la caisse d’un magasin.

📌 L’âge peut être traité comme une variable quantitative discrète lorsqu’il est compté en années révolues, ou comme une variable quantitative continue lorsqu’il est considéré comme une mesure du temps.

• Dans l’exemple de production d’or, les fréquences arrondies sont de 16 % pour l’Europe, 8 % pour l’Asie, 39 % pour l’Afrique, 32 % pour l’Amérique et 5 % pour l’Océanie.

• Dans une représentation circulaire, les angles associés aux productions d’or sont de 58° pour l’Europe, 28° pour l’Asie, 142° pour l’Afrique, 114° pour l’Amérique et 18° pour l’Océanie.

• Pour les chômeurs en France au sens du BIT en mars 1989, les fréquences conjointes sont de 10,79 % d’hommes et 16,81 % de femmes de moins de 25 ans, de 24,48 % et 35,87 % entre 25 et moins de 50 ans, puis de 7,30 % et 6,72 % à 50 ans et plus.

• Pour les chômeurs de l’exemple, les fréquences marginales sont de 42,57 % d’hommes et 57,43 % de femmes ; les classes d’âge représentent 25,63 % des moins de 25 ans, 60,35 % des 25 à moins de 50 ans et 14,02 % des 50 ans et plus.

📌 Lorsque la dernière classe d’âge n’est pas bornée, un diagramme en barres est choisi plutôt qu’un diagramme circulaire pour représenter cette distribution.

• Pour une représentation circulaire, les angles des classes d’âge des chômeurs sont 92,27° pour les moins de 25 ans, 217,26° pour les 25 à moins de 50 ans et 50,47° pour les 50 ans et plus.

💡 Astuce mémo

Un tableau de données décrit les individus ; un tableau d’effectifs dénombre les individus selon leurs réponses.

📖 28. Médiane et quartiles

★ À maîtriser

• Pour déterminer une médiane ou un quartile dans une série discrète ordonnée, on repère le rang visé puis on choisit la première modalité dont l’effectif cumulé atteint ou dépasse ce rang.

Compléments

• Dans une série de 70 personnes dont les effectifs cumulés atteignent 35 à la valeur 11 et 47 à la valeur 45, la médiane est 45, correspondant à la 36e donnée.

• Dans la série précédente ramenée à 69 personnes, la médiane est 11, correspondant à la 35e donnée, car l’effectif cumulé atteint 35 à cette valeur.

📌 Lorsque la population est composée de deux sous-populations d’âges très différents et de tailles comparables, une médiane globale peut ne pas être représentative ; il peut être préférable de calculer une médiane par sous-population.

• Pour une série ordonnée de 225 646 personnes réparties selon le type de médaille, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile correspondent tous à la modalité « Chevaliers ».

📖 29. Histogrammes et dispersion

★ À maîtriser

📌 Pour un histogramme à classes d’amplitudes inégales, la hauteur des rectangles est calculée en divisant l’effectif de chaque classe par son amplitude.

📐 Formule - La variance se calcule par $\operatorname{Var}(X)=\frac{\sum_i n_i x_i^2}{N}-\left(\frac{\sum_i n_i x_i}{N}\right)^2$ et l’écart-type est la racine carrée de la variance.

Compléments

• Pour les femmes mariées de l’exemple, l’échantillon compte 60 personnes et les classes d’âge ont une amplitude constante de 10 ans.

• Pour les âges de 380 veufs remariés, la moyenne est environ 27,21 ans, la variance environ 6,10 ans carrés et l’écart-type environ 2,47 ans.

• Pour les âges groupés de 60 femmes mariées, la moyenne approchée est 48,17 ans, la variance approchée est 274,97 ans carrés et l’écart-type approché est 16,58 ans.

• Dans la série de 380 veufs remariés, la médiane est 28 ans, le premier quartile est 26 ans et le troisième quartile est 29 ans.

• Pour les âges groupés de 60 femmes mariées, la classe médiane est [38; 48[, le premier quartile appartient à [28; 38[ et le troisième quartile appartient à [58; 68[ ; leurs approximations par les centres de classe sont respectivement 43, 33 et 63 ans.

• Dans l’exemple des personnes de moins de 50 ans, la population compte 812 individus et les effectifs par classe d’âge de [0; 2[ à [40; 50[ sont 21, 79, 97, 155, 195, 140 et 125.

📖 30. Comparaison de prix par valeurs réduites

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour comparer le prix d’un article à ceux de sa catégorie, sa valeur réduite est $z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{\sigma_X}$, où $x_i$ est son prix, $\bar{x}$ le prix moyen et $\sigma_X$ l’écart-type des prix.

Compléments

• Dans l’exemple, les valeurs réduites du stylo, du livre et du répertoire sont respectivement 1, 0,5 et −0,5 ; le répertoire est le moins cher de sa catégorie et le stylo le plus cher.

• Chaque article possède sa propre variable réduite ; l’exemple comporte donc trois variables réduites, une pour le stylo, une pour le livre et une pour le répertoire.

📖 31. Moyennes pondérées de groupes

★ À maîtriser

• La moyenne de plusieurs groupes se calcule en additionnant les totaux de chaque groupe, puis en divisant cette somme par le nombre total d’observations.

📌 La moyenne globale n’est pas égale à la moyenne simple des moyennes de groupes lorsque les effectifs des groupes diffèrent ; elles coïncident si les effectifs sont identiques.

Compléments

📐 Formule - Pour les trois groupes de copies, les totaux sont $50\times9=450$, $65\times11=715$ et $35\times13=455$ ; le total est 1620 pour 150 copies, soit une moyenne globale de 10,8.

💡 Astuce mémo

Effectifs égaux : moyenne des moyennes ; effectifs inégaux : moyenne pondérée.

📖 32. Histogrammes et séries regroupées en classes

★ À maîtriser

• Lorsque les classes ont la même amplitude, l’effectif d’une classe se déduit en multipliant le nombre d’étages de son rectangle par l’effectif correspondant à un étage.

Compléments

• Dans l’exemple, une classe centrée en 120 a un effectif de 63 réparti sur 9 étages, donc chaque étage représente 7 individus.

• Les effectifs des cinq classes sont :

  • 14
  • 28
  • 63
  • 35
  • 21

• Pour 18 villes de plus de 10 millions d’habitants en 2000, la moyenne du nombre d’habitants est de 14 millions et l’écart type est d’environ 3,84 millions.

• Pour ces 18 villes, la médiane se situe dans la classe [12 ; 14[ et est approchée par 13 millions ; les quartiles sont approximativement Q1 = 11,3 et Q3 = 14,5 millions.

• Pour les 50 entreprises de Poplar employant plus de 100 salariés en 1898, 13 entreprises sur 50 sont à Bow, soit 26 %, et 4 sur 50 emploient entre 1 000 et 5 000 salariés, soit 8 %.

• Dans cette population de 50 entreprises, la classe médiane du nombre de salariés est [200 ; 500[, approchée par 350 salariés ; la moyenne est de 514 salariés et l’écart type d’environ 757,17 salariés.

📖 33. Distributions conjointes, indépendance et intensité du lien

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution conjointe : Distribution de deux variables qui décrit leurs effectifs ou fréquences pour chaque couple de modalités.

★ À maîtriser

• Pour construire une distribution conditionnelle, on calcule d’abord les marges de la variable qui conditionne, puis on rapporte chaque effectif de la modalité considérée à la marge correspondante.

📌 Dans un profil ligne, la distribution d’une variable est calculée conditionnellement aux modalités de l’autre variable portées en lignes ; dans un profil colonne, elle est calculée conditionnellement aux modalités portées en colonnes.

📌 Deux variables sont indépendantes lorsque la distribution conditionnelle de l’une est identique pour toutes les modalités de l’autre ; dans ce cas, leurs effectifs théoriques sont égaux aux effectifs observés et le coefficient du khi-deux vaut 0.

📐 Formule - L’effectif théorique de la case (i,j) est $T_{ij}=\frac{L_i C_j}{N}$, où $L_i$ et $C_j$ sont les marges de la ligne et de la colonne, et $N$ est l’effectif total.

📐 Formule - Le coefficient du khi-deux est $\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$, où $O_{ij}$ désigne l’effectif observé et $T_{ij}$ l’effectif théorique.

📐 Formule - Pour un tableau de contingence, le coefficient d’association est $\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N(\min(p,q)-1)}}$, où p et q sont les nombres de modalités des deux variables et N l’effectif total.

• Pour évaluer le lien entre deux variables à partir d’un échantillon, on établit le tableau des effectifs observés, calcule les effectifs théoriques, puis le khi-deux et enfin le coefficient φ.

Compléments

• Dans l’exemple des accidents, la part des accidents nocturnes augmente avec la gravité : elle est de 34 % pour les blessés légers, 37 % pour les blessés graves et 39 % pour les personnes tuées.

📌 « Parmi les célibataires, 25 % sont des hommes » décrit le sexe conditionnellement au statut, tandis que « parmi les hommes, 25 % sont célibataires » décrit le statut conditionnellement au sexe.

• Dans l’étude du choix professionnel selon le sexe auprès de 2 000 élèves, le coefficient du khi-deux vaut 115,78 et indique un lien plutôt faible.

• Pour les moins de 30 ans, l’association entre l’âge et le sport pratiqué donne χ² = 15,11 et φ ≈ 0,11 ; pour les plus de 30 ans, elle donne χ² = 21,56 et φ ≈ 0,16, les deux liens étant qualifiés de faibles.

• Dans l’étude de deux traitements contre l’acné, l’échantillon comprend 1 780 personnes et le coefficient φ est environ 0,115 ; le lien entre le traitement et la guérison est qualifié de plutôt faible.

• Dans l’étude des résultats aux concours, le taux de réussite est de 75 % chez les filles et de 40 % chez les garçons, mais les résultats ne sont pas contradictoires car les garçons passent davantage le concours A, plus difficile, et les filles le concours B.

• Pour décrire des bureaux de vote, on peut étudier la catégorie du bureau (A, B ou C), le nombre de voix obtenu par Johnny, qui permet de déduire un pourcentage, et l’attitude favorable ou non du député.

💡 Astuce mémo

Profil ligne : on conditionne par la ligne ; profil colonne : on conditionne par la colonne.

📖 34. Lien entre variables qualitatives

★ À maîtriser

• Dans l’exercice 58, le lien entre le résultat électoral (bon ou mauvais) et la catégorie sociologique du bureau (A, B ou C) donne χ² = 2,19 et ϕ ≈ 0,25, soit un lien plutôt faible.

📌 Un lien total entre deux variables signifie que la modalité de l’une détermine automatiquement celle de l’autre ; dans les deux tableaux proposés pour l’exercice 59, le coefficient ϕ vaut 1.

Compléments

• Dans l’exercice 58, le lien entre le résultat électoral et l’attitude du député (oui ou non) donne χ² = 18/7 ≈ 2,57 et ϕ ≈ 0,27, soit un lien plutôt faible.

• Dans l’exercice sur le traitement de la cirrhose, le coefficient ϕ vaut 0,16, ce qui indique un lien faible entre le traitement et l’évolution de la maladie dans l’échantillon de 137 personnes.

• Dans l’exercice sur les prospections commerciales, le coefficient ϕ vaut 0,32 et le corrigé conclut à un lien faible entre les deux variables étudiées.

• Dans l’étude de 568 femmes, le lien entre la couleur des cheveux et celle des yeux est qualifié de moyen et le coefficient ϕ vaut 0,36.

📖 35. Exemples de statistiques descriptives

📝 Points essentiels

• Pour les 20 sujets de l’exercice 1 de la première session 2016-2017, l’âge a une moyenne de 35,7, une variance de 216,31 et un écart-type de 14,7.

• Dans cet exercice, la médiane de l’âge est 35 et le premier quartile est 25 ; le troisième quartile ne peut pas être déterminé, car il se situe dans une classe supérieure non bornée.

• Pour les 22 consommateurs de l’exercice sur l’attente téléphonique, la durée moyenne est d’environ 6,07 minutes et l’écart-type d’environ 2,46 minutes.

• Dans l’exercice sur l’écoute télévisuelle de 40 lycéens, la moyenne est de 84,5 minutes, la variance de 1 974,75 et l’écart-type de 44,44 minutes.

• Dans l’exercice sur les 70 enfants, le score moyen est d’environ 5,51, la variance d’environ 7,70 et l’écart-type d’environ 2,77.

• Pour les 100 clients de l’exercice sur l’attente en caisse, la moyenne du temps d’attente est de 13,65 minutes, la variance de 46,43 et l’écart-type de 6,81 minutes.

📖 36. Médiane, moyenne et dispersion des séries groupées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une série regroupée en classes, la moyenne approchée est $\bar X=\frac{1}{N}\sum_i n_i c_i$, où $n_i$ est l’effectif et $c_i$ le centre de la classe.

📐 Formule - Pour une série regroupée, la variance approchée est $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum_i n_i c_i^2-\bar X^2$ et l’écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.

• Pour repérer la médiane ou un quartile dans une série groupée, on détermine son rang, on repère la classe contenant ce rang grâce aux effectifs cumulés, puis on approche la valeur par le centre de cette classe.

Compléments

• Pour la part des énergies renouvelables, la classe médiane est [20; 25[ et la médiane vaut 22,5.

• Dans une série groupée, l’approximation d’un quantile par le centre de sa classe fournit une valeur approchée, et non la valeur exacte des données individuelles.

📖 37. Analyse des tableaux croisés

★ À maîtriser

📐 Formule - La contribution de la case $(i,j)$ au khi-deux est $\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$, où $O_{ij}$ est l’effectif observé et $T_{ij}$ l’effectif théorique.

📐 Formule - Le coefficient du khi-deux est la somme des contributions des cases : $\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$.

📐 Formule - Le coefficient phi est calculé par $\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N\,[\min(p,q)-1]}}$, où $p$ et $q$ sont les nombres de modalités des deux variables et $N$ la taille de la population.

Compléments

• L’analyse d’une liaison entre deux variables qualitatives consiste à calculer les effectifs théoriques, les contributions au khi-deux, puis le khi-deux et le coefficient phi afin d’en apprécier l’intensité.

• Dans l’exemple des catégories socioprofessionnelles et de la fréquence de lecture, le khi-deux vaut 11,66 et le coefficient phi vaut 0,22 ; la liaison est qualifiée de faible à modérée.

• Dans l’exemple du taux de fécondité et du continent, le khi-deux vaut environ 133,28 et le coefficient phi environ 0,56 ; la liaison est qualifiée d’assez forte.

💡 Astuce mémo

Des écarts aux effectifs théoriques → une liaison mesurée par χ².

📊 Tableaux de synthèse

Moyenne et médiane